☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學 陳玲鈺

小議引導導數(shù)教學中的條件轉換

☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學 陳玲鈺

眾所周知，導數(shù)是一種用來研究函數(shù)單調性和最值的工具，有了導數(shù)這樣的工具，給我們研究更為復雜的函數(shù)帶來了很大的方便.對于剛剛接觸導數(shù)的學生而言，其在認知改變上有著極為嚴重的困擾，主要原因是：第一，對于導數(shù)概念還不完全理解，導數(shù)概念相比其他概念而言，形式化程度還是較高的；第二，用導數(shù)解決問題，主要依賴導數(shù)的工具性作用，在諸多考題對于導數(shù)的考查，更多的是體現(xiàn)在其后續(xù)如何轉化導數(shù)題中的條件，這一點對于初學者往往更難掌握，本文舉例說明.

一、基本工具性作用的轉化

導數(shù)最基本的工具性作用是用來研究函數(shù)單調性.從直觀圖形中，我們可以看出，函數(shù)在單調遞增過程中每一點處的導數(shù)均為正值，在單調遞減的過程中每一點處的導數(shù)均為負值.利用導數(shù)這一極為方便的單調性判別方式，對于更為復雜的函數(shù)我們不再需要研究其圖像來分析單調性，只需要通過一階導數(shù)的正負性的研究即可達到目的.

例1 已知函數(shù)f（x）=plnx+（p-1）x2+1，當p＞0時，討論函數(shù)f（x）的單調性.

注意：利用導數(shù)工具對于單調性的判別，學生往往已經將這樣的條件轉換變成一種下意識的處理，筆者認為在處理過程中求出導函數(shù)并非是重點和難點，難點在于后續(xù)如何對導函數(shù)進行介入討論（現(xiàn)階段而言，一般導函數(shù)模型圍繞二次函數(shù)為主），這種二次函數(shù)的討論模型主要圍繞張口、對稱軸、判別式，與二次函數(shù)經典討論區(qū)別不大.

二、模式識別條件的轉化

在很多場合，對于“模式識別”這一詞語褒貶不一.有些專家對其嗤之以鼻，認為模式識別是在教學生套用題型，是一種“教死書”、“死教書”的體現(xiàn)，認為這種方式教導的學生沒有創(chuàng)新能力.對此過于偏激的批評模式識別，筆者持保留意見.至少從中學生數(shù)學學習的理解和接受，以及中學數(shù)學無法擺脫應試的兩個方面來看，模式識別還將長期存在于當下中學數(shù)學教學中，其合理性在于：學生對知識尚處在起步認知階段，必須通過一定的解題訓練才能對本質有更深的認知，在這樣的訓練過程中模式記憶和識別是必不可少的，因此導數(shù)教學中如何解決一般性的條件轉化為已有知識體系中的模式是關鍵.

解析：由已知得g（x）=ln（x+1）+3-（-2x2+4ax+3）= ln（x+1）+2x2-4ax，所 以g′（x）

設h（x）=4x2+4（1-a）x+1-4a，對稱軸為

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a≤0.

注意：與例1不同，本題是已知單調性求解參數(shù)，從導數(shù)的角度來說，單調遞增即導函數(shù)在區(qū)間上大于等于0恒成立，對于學生腦海中“恒成立”問題是中學數(shù)學中比較常見的模式，其條件轉換完畢即思考常用的處理方式——參變分離，這里要指出一點，因一般問題涉及的是非常數(shù)函數(shù)，所以導函數(shù)大于等于0是滿足的，切勿忘了等號的選擇.從條件轉換處理來說，涉及單調性問題的求解一般均合理地轉化為導函數(shù)的恒成立，在腦海中如何處理恒成立模型便成了一種典型的模式識別，將類似的函數(shù)最值解決一系列問題.

例3 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值.（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求證：對于區(qū)間［-1，1］上任意兩個自變量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤4；

（3）若過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍.

分析：本題是一種陌生問題轉化為熟悉問題的模式識別.第（2）小題中如何理解“對于區(qū)間［-1，1］上任意兩個自變量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤4”？這種任意性決定了研究的充要條件是函數(shù)f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的差小于等于4即可，這種轉換是經過對“任意性”三個字的思考后得到的，進而將條件轉化為閉區(qū)間上最值的處理；第（3）小題的這種條件轉換對于學生而言有些生疏，如何處理三條切線？是求出其三個斜率，還是圖中研究怎樣存在切線的位置？其實，要找到切線最合理的方式是找到三個切點，即為什么存在這樣的三個切點！因此條件的轉化是研究有且僅有三個實根即可.

解：（1）f（x）=x3-3x.

（2）即求函數(shù)f（x）在［-1，1］上的最值，略.

（3）f′（x）=3（x2-1），設切點M（x0，y0），則M的縱坐標

因為過點A（1，m）可作曲線的三條切線，所以關于x0的方程有三個實根.

設g（x0），則g′（x0）0，得x0=0或x0=1.

所以g′（x0）在（-∞，0），（1，+∞）上為增函數(shù)，在（0，1）上為減函數(shù).

所以關于x0的方程有三個實根的充要條件是得-3＜m＜-2.

注意：上述例3中的第（3）小題，筆者給學生做過測試，很多學生在如何轉化“三條切線”這一條件上沒有領悟到函數(shù)與方程的思想，其實這樣的問題在函數(shù)零點問題研究中比比皆是，很多時候解決某函數(shù)零點問題轉化為不同函數(shù)的交點，不同函數(shù)交點可轉換為某一函數(shù)零點，在有了導數(shù)的背景之后，這種轉化的思想還需在教學中由教師不斷的滲透和加強.

從上述案例來看，導數(shù)教學本身難度并不大，其較難在于如何將問題順利地轉化為上一階段函數(shù)中的基本問題，在函數(shù)問題解決中常用的知識尋找合理的轉化途徑，找到問題解決的優(yōu)化方式.這種條件轉化的經驗需要在解題中不斷積累，也需要教師加以關注和總結.

1.柴賢亭.數(shù)學教學中的導數(shù)問題設計［J］.教學與管理，2012（10）.

2.鮑建生，等.導數(shù)變式教學研究［J］.數(shù)學教學，2013（1）.

3.吳志雄.培養(yǎng)高中生數(shù)學應用意識的策略與思考［J］.中學數(shù)學研究，2010（5）.