王海舟

(硅湖職業(yè)技術學院, 江蘇 昆山　215332)

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定積分換元與積分不等式應用研究

王海舟

(硅湖職業(yè)技術學院, 江蘇 昆山215332)

摘要：針對工程設計中的定積分換元和積分不定式的具體應用相關問題進行研究。通過具體運算，整理出一套函數(shù)積分近似計算公式，為計算機編程提供了重要的數(shù)學模型。

關鍵詞：定積分; 積分不等式; 工程設計

0引言

對于現(xiàn)代的工程設計領域，定積分的積分不定式的出現(xiàn)，使得其工程設計的精度得到了很大提高。對于以前的那種定積分在計算上的大部分的計算難度和一些過程中的復雜程度。我們做了相應的改進和提高，減輕了其在計算上的一定難度,利用數(shù)學模型使其中一類定積分的計算過程變得不再那么復雜，簡單明了。相對以前的那種在精度上、計算要求上都不是很高的一些計算方法，可以利用計算器進行手工的計算，還可以在不同情況下，把它們分成相等的部分，來計算出誤差是多少。而對于精度要求比較高的過程設計計算來說，首先要做的就是把要進行使用的數(shù)學模型來編程，把其中積分區(qū)間的各個部分分得細一點。然后,再通過計算機對其中的數(shù)值來進行相應的計算。這種方法主要是針對在計算機中因為被積函數(shù)的原函數(shù)，不能使用其初等函數(shù)來表示積分中的近似計算可轉(zhuǎn)化為實質(zhì)的精確計算。

1定積分換元法的方法

定積分的換元法有很多種，其中在高等數(shù)學教材中主要運用以下定理：

定理1設f(x)連續(xù)，x=φ(t)有連續(xù)的導數(shù)，且φ′(t)≠0，則∫f(x)dx在[a,b]上存在，且

G(φ-1(x))+C

定理2若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，那么函數(shù)x=φ(t)滿足下列條件：其一是φ(α)=a，φ(β)=b；其二是φ′(t)在[α，β](或[β，α])上有著連續(xù)的導數(shù)，而且a≤φ(t)≤b(α≤t≤β)。于是，就有了

這其中定理1證明了只需要等式兩端去對x求導就行了。定理2也證明了一個簡單的問題，那就是從條件中可以看出,在等號兩邊的被積函數(shù)都是連續(xù)的，再通過微積分的基本公式來進行相應的證明。

1.1　定積分換元方法1

根據(jù)定理1，可以知道其中有一條關鍵的就是φ′(t)≠0，為什么說它是比較關鍵的，因為在滿足這個條件的時候，其保證了x=φ(t)的單調(diào)性。而這時函數(shù)x=φ(t)有著反函數(shù)，這樣，才能使不定積分的換元法有效的實施開展。所以，在不定積分換元法的最后要求，對于代換函數(shù)x=φ(t)需要有其自身的反函數(shù)t=φ-1(x)，不過，如果要對定理的條件進行專門研究，也可以用其它條件來代替，如果φ′(t)≠0，只要能夠保證函數(shù)x=φ(t)有自身的反函數(shù)就可以。

1.2　定積分換元方法2

1.3　微分函數(shù)dx=φ′(t)dt

在求不定積分時，可以將其看成是一個一般的微分函數(shù)去計算，因為其結(jié)果都是函數(shù)。實質(zhì)上沒有什么特別的意義，不過，去求定積分時，因為它的結(jié)果是數(shù)值，所以dx=φ′(t)dt函數(shù)在實質(zhì)上就有了一定的意義。其表示的是t軸上對于t處的一個增量dt，然后，在經(jīng)過相應的變換后，函數(shù)x也就有了一個增量dx，其在數(shù)值上等于φ′(t)dt。這就是把dt在x=φ(t)上放大后的倍數(shù)變成了|φ′(t)|的形式。

2定積分換元法的研究

先設f(x)在[a,b]上是連續(xù)的，以此來證明

那么就需要去證明，先令t=a+b-x，這樣x=a+b-t，這時dx=-dt，當x=a時，t=b,x=b時t=a。于是可以得到

最后得到[1]

可以利用這樣的一個公式，得到以下結(jié)論；設f(x)在[a,b]上是連續(xù)的，如果λ+μ≠0,那么令

λf(x)+μf(a+b-x)=g(x)

則可以得到

因為

λf(x)+μf(a+b-x)=g(x)

所以可以證明

由

得出

又因為其公式λ+μ≠0，所以

在這里比較特別的一點就是，如果要令f(x)+f(a+b-x)=g(x)的話，那么

這個定理的主要意義就是當f(x)的定積分不太容易求出時，就可以通過它的組合式g(x)的定積分來相應的解決。

3定積分換元的應用結(jié)果

因為

所以

類似于這樣的題目[3]，我們一般都考慮使用連續(xù)的分部積分法來進行計算，讓積分在等式兩邊出現(xiàn)，然后，通過方程再將其解答出來，這樣的計算量是很大的，而你要使用本例子中的方法，那么將會簡單的多。可以說是一種全新的突破，能夠做到真正的事半功倍。

4積分不等式的主要研究

0

這時，對于

這個積分不等式是不成立的。

0

就會成立，主要因為其中

所以由上可得

現(xiàn)在由

得出

所以得出函數(shù)積分不等式

u=xsinx

du=(sinx+xcosx)dx

然后就得出

并使之成立。再去證明第一個積分不等式的右邊，得出了相應的積分不等式

由于一些同類的不等式的不等程度和異類的不等程度相比小得多，那么現(xiàn)在就以

所以，最后得出兩個不定式

再求這個不等式的定積分，得出

綜上所述，將上面的積分不等式再進行整理，從而最終得出積分不等式

并使其成立。

5積分不等式的主要計算實例

即

其計算上的誤差

2.084 20-1.304 689=1.037 31

在積分區(qū)間未等分的情況下，積分的誤差是最大的[4]。所以，現(xiàn)在將其進行3等分，使

那么對應的

這樣再代入到上式中，可以得出

即得到

當積分被等分成3份的時候，積分的誤差變小了很多，其誤差是

1.753 371 193-1.534 336 015=0.219 035 178

如果想要得到更加精確的數(shù)值，那么就需要進行更加細致的等分[5]。

6定積分換元和積分不等式在工程設計中的應用

這個不等式能夠成立，得出第二步

再由第二步和第三步得出

然后同理得出第四步

將第四步和第三步代入到第二步中，并將u記作x，得出第五步

將其整理得到

是成立的。那么，同樣情況下，我們可以由第一步得出第六步

由第三、第四步得出第七步

這樣，就可以同理，由第一步得出第八步

函數(shù)，由第五步得出第九步函數(shù)

我們運用前面的方法，將第九、第八和第七步一起代入到第六步中，在這里要將u記作x來算。得出了第十步函數(shù)式

使得我們知道

這個函數(shù)式是成立的。由上面的種種解析，我們知道，當積分區(qū)間分布的越細密，那么，這個不等式的不相等的可能性越小，等積分的上限x無限接近與積分的下線b時，那么，在這過程中的不同程度上，會趨向于零[7]。在f(x)=e-x2為偶函數(shù)時，那么，對于和原點區(qū)間對稱的定積分，則可以利用其偶函數(shù)的性質(zhì)進行相應的簡化計算。

7主要探究實例

在積分中的區(qū)間未分開去算的話，積分的誤差是最大的[5]。我們應該將積分分成4個相同的區(qū)間?，F(xiàn)在是沒有分開的積分u=x2,當x=0.6時，u=0.36,當x=0.7時,u=0.49,當x=0.8時,u=0.64，當x=0.9時,u=0.81，當x=1時，u也等于1。這樣分別代入到積分不等式中，得出的計算結(jié)果是

0.048 471 539+0.040 497 119=

0.211 293 009

0.048 635 627+0.040 574 018=

0.212 345 798

0.212 345 798-0.211 293 900 9=0.001 052 798

可以看出，其誤差比計算誤差還要小。這就是對于積分區(qū)間在細分區(qū)間上的好處，如果想要更加的精確，那么就需要把積分區(qū)間分的更加詳細。這樣就會達到越詳細、越精確的效果。

8結(jié)語

在當前工程技術發(fā)展中，我們在利用科學技術進行相應計算的同時，也在不斷尋求更好的方法,使得在工程設計計算中的各項工作能夠做到精確度的不斷提升。在運用定積分換元和積分不等式，對工程設計進行計算時，往往會出現(xiàn)一些計算上或者是技術上的差錯，這些都需要我們?nèi)ミM行不斷的論證和探究，在進行計算時，采用計算機進行計算，然后，利用積分不等式以及定積分換元法細分區(qū)間的方法[7]，能夠方便在工程設計中出現(xiàn)，許多的因為被積函數(shù)不是初等函數(shù)的積分近似計算轉(zhuǎn)化為實質(zhì)上的運算。利用這樣的方法，經(jīng)過相關的研究和運算，整理出了一套函數(shù)的積分近似的計算公式，在為計算機編程的工作中，也作出了相當大的貢獻，為其在編程上提供了兩個重要的數(shù)學模型。這兩個模型使計算機在編程上更加方便，也大大提升了其工程設計的計算精度。

參考文獻：

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[4]李平樂.基于工程設計計算新的積分不等式的研究[J].沈陽工程學院學報:自然科學版,2011(4):382-384.

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[6]韓仲明.定積分的計算方法與技巧[J].考試周刊, 2011,53:80-81.

[7]高大維,馮世強,崔宇.不定積分與定積分第二類換元法的討論[J].高等函授學報：自然科學版,2011(4)：20-22.

[8]楊鏞.不定積分換元法的教學案例[J].教育教學論壇,2013(18)：244-245.

Application of definite integral element and integral inequality

WANG Hai-zhou

(Silicon Lake College, Kunshan 215332, China)

Abstract：Based on the examples of definite integral element and integral inequality applied in engineering, we put forward an approximate figure of function integral, to offer a set of mathematical model for programming.

Key words：definite integral； integral infinitive； engineering design.

作者簡介：王海舟(1982-)，男，漢族，江蘇海安人，硅湖職業(yè)技術學院講師，主要從事高等數(shù)學教學與應用方向研究,E-mail:40317414@qq.com.

收稿日期：2014-09-23

中圖分類號：O 172.2

文獻標志碼：A

文章編號：1674-1374(2015)01-0114-07

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2015.1.24