楊　晉,　尹　祿,　姚雪峰

(1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所， 吉林 長(zhǎng)春　130033；

2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京　100049)

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功率譜密度指導(dǎo)超光滑鏡面加工

楊晉1,2,尹祿1,2,姚雪峰1

(1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所， 吉林 長(zhǎng)春130033；

2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京100049)

摘要：根據(jù)雙向反射分布函數(shù)反演功率譜密度，利用得到的功率譜密度函數(shù)指導(dǎo)鏡面加工，理論推導(dǎo)結(jié)果合理,已經(jīng)用于實(shí)際鏡面加工。

關(guān)鍵詞：功率譜密度； 雙向反射分布函數(shù)； 鏡面加工

0引言

光學(xué)反射鏡在很多領(lǐng)域都起著至關(guān)重要的作用，其表面的光滑程度則決定了反射光的質(zhì)量[1-2]。在很多光學(xué)精密儀器中，光學(xué)反射鏡的光滑度決定著整個(gè)儀器雜散光的水平[3]。在設(shè)計(jì)對(duì)雜散光水平要求較高的儀器設(shè)備時(shí)往往需要對(duì)每一個(gè)反射鏡的雜光水平提出指標(biāo)要求。目前，一般使用雙向反射分布函數(shù)(BRDF)來(lái)描述一個(gè)鏡面的雜散光水平，但是國(guó)內(nèi)反射鏡研磨機(jī)構(gòu)并沒(méi)有直接針對(duì)BRDF參數(shù)進(jìn)行反射鏡加工的情況，這給反射鏡設(shè)計(jì)者與加工者的參數(shù)對(duì)接提出了難題。鑒于此，文中對(duì)雙向反射分布函數(shù)與反射鏡面形評(píng)價(jià)作了研究，提出了根據(jù)BRDF指標(biāo)反演功率譜密度(PSD)再利用功率譜密度函數(shù)指導(dǎo)鏡面加工的方法。參考國(guó)外先進(jìn)水平的BRDF指標(biāo)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真建模,計(jì)算其功率譜密度函數(shù)，計(jì)算結(jié)果可指導(dǎo)超光滑鏡面加工。

1基本理論

1.1　光學(xué)元件的面形誤差與功率譜密度[4]

反射鏡等光學(xué)元件的面形誤差可以根據(jù)其對(duì)入射光線不同的作用效果分為3個(gè)頻段。周期小于0.12 mm是高頻段，該頻段屬于表面粗糙度。由于高頻段描述光學(xué)元件表面細(xì)微的起伏，微觀狀態(tài)下會(huì)對(duì)入射光線產(chǎn)生不確定方向的反射，在宏觀中反映為散射效應(yīng)。一般用均方根值RMS來(lái)評(píng)價(jià)：

(1)

式中:N----采樣點(diǎn)個(gè)數(shù);

x,y----表面位置橫、縱坐標(biāo);

Z(x,y)----表面輪廓高度分布。

周期介于0.12~33 mm之間的是中頻段，該頻段屬于表面波紋度。中頻段的誤差對(duì)成像的影響是一種衍射效應(yīng)，難以用一般光線追跡的方法計(jì)算其對(duì)成像質(zhì)量的影響，一般采用功率譜密度來(lái)評(píng)價(jià)：

(2)

式中：N----采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)；

D----采樣間隔；

fm----第m階空間頻率;

Z----表面起伏高度。

周期大于33mm的是低頻段，該頻段屬于表面面形。低頻段表面面形誤差主要影響入射光線主要能量的走向，與成像質(zhì)量相關(guān)，一般采用PV值來(lái)評(píng)價(jià)：

(3)

式中：x，y----表面位置橫、縱坐標(biāo)；

Z(x,y)----表面輪廓高度分布。

根據(jù)式(2)可以看出，功率譜密度本質(zhì)是表面面形函數(shù)各頻率分量傅里葉振幅的平方和，它可以確定各個(gè)頻率的分布情況，從而定量地計(jì)算出每一個(gè)頻率分量對(duì)成像質(zhì)量影響的貢獻(xiàn)。

由于功率譜密度與光學(xué)元件的尺寸、使用位置無(wú)關(guān)，而且包含豐富的頻譜信息，常用來(lái)評(píng)價(jià)光學(xué)元件的中頻誤差，但是它對(duì)整個(gè)頻段的分析都有著重要的意義。

1.2　雙向反射分布函數(shù)

雙向反射分布函數(shù)(BRDF)是用來(lái)描述任意表面反射、散射等光學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型。它是給定波長(zhǎng)λ以確定的入射角入射到某一表面上的輻照度E與某一出射角度下的輻亮度L的比值：

(4)

式中：θ，θi----分別為散射光和入射光與法線的夾角；

φ，φi----分別為散射光和入射光與主平面的夾角;

Ps,Pi----分別為散射光和入射光光功率;

Ωs----散射光線立體角。

雙向反射分布函數(shù)模型如圖1所示。

圖1　雙向反射分布函數(shù)模型

根據(jù)BRDF的定義可以看出，它能夠很方便地描述任意出射角下的光線強(qiáng)度，即雜散光強(qiáng)度。一般常采用改進(jìn)的哈維模型來(lái)描述光學(xué)元件表面的散射特性，在該模型中相應(yīng)的BRDF表達(dá)式可以寫(xiě)成：

(5)

式中：θs，θi----分別為散射光和反射射光與法線的夾角；

b0----散射角等于反射角時(shí)的BRDF值,是一個(gè)常量；

s----斜率；

l----肩寬。

哈維模型雙向反射分布函數(shù)如圖2所示。

圖2　哈維模型雙向反射分布函數(shù)

2雙向反射分布函數(shù)反演其鏡面功率譜密度

由于低雜散光測(cè)試儀對(duì)儀器雜光具有非常高的要求，對(duì)于影響儀器雜光的關(guān)鍵器件反射鏡來(lái)說(shuō)，僅僅提出高頻粗糙度的要求是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須配合中頻波紋度的指標(biāo)要求。目前,一般采用功率譜密度評(píng)價(jià)中頻誤差，國(guó)內(nèi)尚無(wú)直接針對(duì)雙向反射函數(shù)提出技術(shù)指標(biāo)的情況。文中提出了將所需達(dá)到的BRDF指標(biāo)換算成PSD的方法，利用PSD指導(dǎo)鏡面加工以達(dá)到所需BRDF的指標(biāo)。

BRDF與二維PSD的關(guān)系為[5-7]：

(6)

式中：f----空間頻率；

Q----與入射角、散射角以及光線偏振方向有關(guān)的光學(xué)因子。

二維空間頻率可以寫(xiě)為：

(7)

(8)

當(dāng)只考慮一維方向時(shí)，方位角φ等于零，空間頻率與入射角、散射角的關(guān)系可以寫(xiě)成：

(9)

至此PSD與BRDF都可以轉(zhuǎn)化為一維條件下入射角和散射角正弦的函數(shù)，其表達(dá)式為：

(10)

在不同偏振條件下，光學(xué)因子Q的表達(dá)式為[8]：

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：θs,θi----分別為散射光和入射光與法線的夾角;

φ----散射光與主平面的夾角;

ε----鏡面鍍膜材料的復(fù)折射率。

(15)

式中:n----折射率;

k----消光率。

3實(shí)驗(yàn)建模

由文獻(xiàn)[9]可知，美國(guó)國(guó)家航天局所使用鏡面的粗糙度為2nm，參考波長(zhǎng)為633nm時(shí)，b0=1.616 1,s=-1.852 6,l=5.062 5E-3，引用該組參數(shù)仿真鏡面BRDF。對(duì)于復(fù)折射率N中參數(shù)，取折射率n=1.2，消光率k=7；入射角選擇4.7°和45°。將上述參數(shù)代入式(10)，可以解出一維PSD，如圖3所示。

圖3　一維功率譜密度

根據(jù)文中方法引用美國(guó)航天局鏡面BRDF參數(shù)推導(dǎo)出的PSD已經(jīng)用于指導(dǎo)鏡面加工。

4結(jié)語(yǔ)

超光滑鏡面在精密光學(xué)儀器中發(fā)揮著關(guān)鍵的作用，文中所提出的雙向反射分布函數(shù)反演功率譜密度的方法可以建立超光滑鏡面雜散光指標(biāo)與鏡面加工指標(biāo)的直接聯(lián)系，對(duì)指導(dǎo)超光滑鏡面加工具有非常重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

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PSD guided ultra-smooth mirror finishing

YANG Jin1,2,YIN Lu1,2,YAO Xue-feng1

(1.Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences, Changchun 130033, China;

2.University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Abstract：Power spectral density, being deduced according to bidirectional reflectance distribution function, is used for guiding mirror finishing. The method is proved with theoretical derivation and has been applied to mirror finishing.

Key words：power spectral density; bidirectional reflectance distribution function; mirror finishing.

作者簡(jiǎn)介：楊晉(1988-)，男，漢族，中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所研究實(shí)習(xí)員，博士，主要從事分光系統(tǒng)的光學(xué)設(shè)計(jì)研究,E-mail：yangjinl@mail.ustc.edu.cn.

基金項(xiàng)目：國(guó)家重大科學(xué)儀器設(shè)備開(kāi)發(fā)專項(xiàng)項(xiàng)目(11YQ120023)

收稿日期：2014-06-13

中圖分類號(hào)：O 411.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-1374(2015)01-0044-04

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2015.1.09