何偉宏

摘 要：數(shù)形結(jié)合是一個(gè)極富數(shù)學(xué)特色的信息轉(zhuǎn)換思想，根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論內(nèi)在聯(lián)系，將問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題，或者將圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題。通過數(shù)形結(jié)合，將抽象思維與形象思維有效結(jié)合起來，使問題化難為易，從而得以解決。這里主要從數(shù)形結(jié)合信息轉(zhuǎn)換的方法及注意點(diǎn)，在集合、函數(shù)、解析幾何等方面探究數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；學(xué)習(xí)；應(yīng)用

華羅庚先生指出：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非?！彼^數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系分析其代數(shù)含義，又提示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系與空間形式和諧地結(jié)合起來。

縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展史，數(shù)與形的結(jié)合不僅使幾何問題獲得了有力的代數(shù)工具，同時(shí)也使許多代數(shù)課題具有鮮明的直觀性，從而開拓了新的研究方向。數(shù)形結(jié)合思想貫穿于全部數(shù)學(xué)之中，數(shù)軸、計(jì)算法證幾何問題、三角法、復(fù)數(shù)法、向量法、解析法、圖解法等都是這一思想的具體應(yīng)用。

一、數(shù)形結(jié)合的三個(gè)途徑和三個(gè)原則

進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個(gè)途徑：一是通過坐標(biāo)系統(tǒng)的建立，引入?yún)⒆兞?，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解；二是轉(zhuǎn)化；三是構(gòu)造，即構(gòu)造幾何模型，構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造一個(gè)圖形。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法分析解決問題時(shí)，還要把握三個(gè)原則：一是等價(jià)原則，要注意圖形不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來的多面效應(yīng)；二是雙向性原則，即既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)代數(shù)抽象探索，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易失真；三是簡單原則，不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，而應(yīng)取決更有效、簡便和更宜達(dá)到教學(xué)。

二、數(shù)形結(jié)合方法的一些應(yīng)用

1.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合處理集合交、并、補(bǔ)的問題

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，解決有關(guān)集合的問題，是“形”之有效的。它使抽象的集合問題形象化、具體化，從而提高學(xué)生的解題能力。

例1.設(shè)集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N{（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，則集合M∩N中元素的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1 B. 2 C. 3 D. 4

分析：本題的幾何意義很明顯，集合M為單位圓上的點(diǎn)，集合N為拋物線上的點(diǎn)（如圖1），M∩N中元素只有兩個(gè)，圓與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)。

2.在二次函數(shù)方面的應(yīng)用

一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系。于是許多一元二次方程問題通過二次函數(shù)圖象來解決。

例2.如果方程x2+2ax+a2-a+5=0的兩個(gè)實(shí)根在方程x2+2ax+a2+a-7=0的兩實(shí)根之間，試求a的取值范圍。

分析：函數(shù)y1=x2+2ax+a2-a+5，y2=x2+2ax+a2+a-7的圖象都是開口向上且形狀相同又有公共對稱軸的拋物線，把問題歸結(jié)為兩條拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)間關(guān)系問題，同時(shí)要考慮頂點(diǎn)與x軸的位置關(guān)系。滿足題設(shè)條件是拋物線y1的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不大于零且大于拋物線y2的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)。（如圖2）

即-a+5≤0-a+5>a-7

解得5≤a<6

3.求值問題中的數(shù)形結(jié)合

用數(shù)形結(jié)合的方法解題，能最直接提示問題的本質(zhì)，直觀地看到問題的結(jié)果，只需稍加計(jì)算推導(dǎo)，就能得到確切的答案。其中許多代數(shù)極值問題，就潛藏著圖形背景，借助圖形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，畫一個(gè)圖形給問題的幾何直觀描述，從數(shù)形結(jié)合中找出問題的邏輯關(guān)系，啟發(fā)思維，巧妙求解。

例3.如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式（x-2）2+y2=3，那么的最大值是_______。

分析：等式（x-2）2+y2=3，有明顯的幾何意義，它表示坐標(biāo)平面上以（2，0）為圓心，r=為半徑的圓（如圖4）。而表示圓上的點(diǎn)（x，y）與坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）的連線的斜率，如此一來，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動(dòng)點(diǎn)A在以（2，0）為圓心，以為半徑的圓上移動(dòng)，求直線OA的斜率的最大值，由圖4可見，當(dāng)點(diǎn)A在第一象限，且與圓相切時(shí)，OA的斜率最大，經(jīng)簡單計(jì)算，得最大值為tan60°=。

4.構(gòu)造圖形，證明代數(shù)不等式

許多代數(shù)不等式，用中學(xué)代數(shù)知識去證明會(huì)有點(diǎn)力所不能及，若能借助幾何圖形，則問題迎刃而解。

例4.設(shè)a，b，c為△ABC的三邊的長，求證：

于是結(jié)論得證。

綜上所述，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，應(yīng)根據(jù)不同問題的不同特點(diǎn)，或者把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題來處理，或者把圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題來研究，從而把復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，達(dá)到化難為易的目的。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，把形象思維與抽象思維有機(jī)地結(jié)合起來，盡可能地先形象后抽象，不但能促進(jìn)這兩種思維能力同步發(fā)展，還為學(xué)生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造了條件。并且能夠有的放矢地幫助學(xué)生多角度、多層次地思考問題，可以養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣。激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，逐漸滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的意識。

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編輯 魯翠紅