姚　磊,　姚云飛,　王先超

(1.中央財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，北京100081；　2.阜陽(yáng)師范學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng)236032；

3.阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng)236032)

?

關(guān)于一大類第二型曲線積分問(wèn)題的教學(xué)札記

姚磊1,2,姚云飛3,王先超3

(1.中央財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，北京100081；2.阜陽(yáng)師范學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng)236032；

3.阜陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽阜陽(yáng)236032)

[摘要]曲線積分計(jì)算往往存在技術(shù)性的困難，若利用“正交變換” (二次型)”等有關(guān)理論去解決這些計(jì)算問(wèn)題，則往往有功效。文[1],[2]給出了正交變換(二次型)在重積分中應(yīng)用?，F(xiàn)將在多年的教學(xué)實(shí)踐中，以“正交變換”為工具，處理了二元二次型的面積問(wèn)題，簡(jiǎn)捷的處理了一大類第二型曲線積分的問(wèn)題的教學(xué)方法整理出來(lái)。這些方法與結(jié)果不但對(duì)從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的實(shí)用性，而且對(duì)從事金融數(shù)學(xué)的教學(xué)研究也有著一定參考價(jià)值.

[關(guān)鍵詞]教學(xué)實(shí)踐； 問(wèn)題解決； 整體思路； 創(chuàng)新能力

大家知道，大學(xué)理科、工科、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、金融工程等專業(yè)的學(xué)生 ，從大學(xué)一年級(jí)開始，循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、解析幾何學(xué)、線性代數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，為學(xué)習(xí)專業(yè)課程打基礎(chǔ).多年教學(xué)實(shí)踐告訴人們各自學(xué)習(xí)一門課程較為容易接受，但是在實(shí)踐中、在應(yīng)用中往往需要將各門課程之間的關(guān)系打通，綜合應(yīng)用方能解決實(shí)際問(wèn)題往往感到困難.這是因?yàn)檎裰臄?shù)學(xué)家陳省身先生所說(shuō)的“就在于科學(xué)本身的整體性”.試問(wèn)在一個(gè)具體的問(wèn)題的教學(xué)中，怎樣綜合應(yīng)用多科知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題？本文將以較復(fù)雜有一定難度的高等數(shù)學(xué)(微積分學(xué))中的第二型曲線積分問(wèn)題為例論之：欲解決第二型曲線積分問(wèn)題，需解決二次型的幾何度量問(wèn)題，欲解決二次型的幾何度量問(wèn)題，需用正交變換為工具方可.現(xiàn)將我們?cè)诙嗄杲虒W(xué)中的做法總結(jié)如下，敬請(qǐng)同行斧正.

1開門見山擺出問(wèn)題見新憶學(xué)尋找思路

例如求第二型曲線積分

(其中L為xOy平面上的一條不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)分段光滑封閉曲線，方向?yàn)槟鏁r(shí)針，A>0，AC-B2>0)的值.學(xué)生初見到這個(gè)問(wèn)題時(shí)，往往感覺到難或者是“丈二和尚摸不著頭腦”.于是啟發(fā)學(xué)生，從簡(jiǎn)單(源頭)出發(fā)，當(dāng)題中分母的字母A=1,B=0,C=1,則問(wèn)題成為求

的值.這個(gè)曲線積分問(wèn)題在教材中是以例題的形式出現(xiàn)的，而解決這個(gè)問(wèn)題的辦法是否適應(yīng)這個(gè)新問(wèn)題呢？通過(guò)仔細(xì)分析，啟發(fā)學(xué)生見新問(wèn)題時(shí)，回憶所學(xué)過(guò)的課程(甚至是別的學(xué)科的課程)的有利于解決新問(wèn)題的內(nèi)容與方法，從而悟出解決新問(wèn)題的整體(系統(tǒng))思路，綜合應(yīng)用，他山之石，可以攻玉.其具體方法如下.

2著眼長(zhǎng)遠(yuǎn)舉一反三觸類旁通建立引理

在教學(xué)中，讓學(xué)生練習(xí)解決問(wèn)題時(shí)，“不能頭疼醫(yī)頭，腳疼醫(yī)腳”，關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的“著眼長(zhǎng)遠(yuǎn)，舉一反三，觸類旁通”的能力，能夠批量的解決一大類問(wèn)題或幾大類問(wèn)題.為此給出了如下的引理，系統(tǒng)的處理了一批問(wèn)題，獲得了很好的結(jié)果.

本文約定

XT表示矩陣X之轉(zhuǎn)置，矩陣A的行列式記為|A|(有時(shí)記為detA).本文約定矩陣A的元素aij的代數(shù)余子式記為Aij.

引理[5]設(shè)aij=aji,i,j=1,2,3.

f(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=XTAX.

證第一步證明f(x,y)經(jīng)過(guò)平移后成為

第二步證明f(x,y)經(jīng)過(guò)正交變換后(平移與旋轉(zhuǎn))后成為

第三步證明{(x,y)|f(x,y)≤0,x∈,y∈}在歐氏平面2中的面積為

(i) 第一步之證.因?yàn)?/p>

由B正定知A33≠0，于是由此知下面方程組有唯一解x0,y0.

解得

于是據(jù)aij=aji和文[3]中P79的定理3知

而平移后二次項(xiàng)系數(shù)不發(fā)生變化，事實(shí)上令x′=x-x0,y′=y-y0，則x=x′+x0,y=y′+y0，于是據(jù)AT=A與矩陣運(yùn)算法則及其上述推理知

故

f(x,y)=f(x′+x0,y′+y0)

=[x′+x0y′+y01]A[x′+x0y′+y01]T

則由第一步之證的結(jié)果知

于是由文[3]中P380定理8知存在正交變換使

a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=λ1u2+λ2v2,

故

a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33.

經(jīng)過(guò)兩步正交變換(平移與旋轉(zhuǎn))一定可以化成

其中λi為矩陣B的特征值，且由矩陣B的正定性知λi>0,i=1,2, 其中由高等代數(shù)知識(shí)知

于是由{f(x,y)≤0}知

從而

由此知

(*)

因?yàn)閧(x,y)|f(x,y)≤0,x∈,y∈}記其為Ω,記

因?yàn)檎痪仃嚨男辛惺降闹抵^對(duì)值等于1，所以正交變換σ的雅可比行列式的值之絕對(duì)值

于是依據(jù)重積分的幾何意義與變量替換定理[4]知

(**)

注1此引理即為[5]中P195的問(wèn)題7，其較[5]中的處理方法簡(jiǎn)單，由此引理可得下面的特例.

特例

當(dāng)AC-B2>0，C>0，ε>0時(shí)，則

3居高臨下勢(shì)如破竹問(wèn)題解決培養(yǎng)創(chuàng)新

為了解決本文一開始提出的問(wèn)題，關(guān)鍵處理好其分母是二次型的問(wèn)題及其幾何度量的問(wèn)題，我們已在本文“2”中解決了.于是可以居高臨下勢(shì)如破竹使一大類問(wèn)題獲得解決，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力.

問(wèn)題1[4]若①L為xOy平面上的一條不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)分段光滑封閉曲線，方向?yàn)槟鏁r(shí)針，

②A>0,AC-B2>0,

則(i)當(dāng)L包圍原點(diǎn)時(shí)，

(ii) 當(dāng)L不包圍原點(diǎn)時(shí)，

證由A>0，AC-B2>0知二次型Ax2+2Bxy+Cy2正定.于是

Ax2+2Bxy+Cy2=0 ?x=y=0.

因此當(dāng)L不包圍原點(diǎn)時(shí)Ax2+2Bxy+Cy2≠0.因?yàn)?/p>

從而

而

于是

進(jìn)而

綜上所述知(i)與(ii)成立.

注問(wèn)題1具有非常好的包容性，好多文獻(xiàn)中的問(wèn)題及其近年來(lái)的考研試題與國(guó)內(nèi)外的大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，往往出現(xiàn)其特例問(wèn)題.利用本問(wèn)題1可以系統(tǒng)化的解決許多文獻(xiàn)中的問(wèn)題.例如從問(wèn)題2到問(wèn)題10：

問(wèn)題2當(dāng)A=1,B=0,C=1,L同問(wèn)題1，則[6-8]

問(wèn)題7[4]當(dāng)L為xOy平面上的一條不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)分段光滑封閉曲線，方向?yàn)槟鏁r(shí)a,b,c,d∈,ad≠bc，則(i) 當(dāng)L包圍原點(diǎn)時(shí)，

(ii) 當(dāng)L包圍原點(diǎn)時(shí)，

問(wèn)題8(廈門大學(xué)2005年考研試題、[6]P434問(wèn)題4321.)設(shè)X=ax+by,Y=cx+dy,ad-bc≠0，且L為包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單封閉曲線，則

問(wèn)題9[6-7]可以將問(wèn)題6,7推廣到下面問(wèn)題之中,若

(i) 簡(jiǎn)單的圍線L包圍坐標(biāo)原點(diǎn)，

問(wèn)題10Gauss積分[8]

4結(jié)束語(yǔ)

上述是我們多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐中的一些解決批量問(wèn)題的革新的整體思路的居高臨下勢(shì)如破竹的做法.有效的提高了課程教學(xué)的質(zhì)量，有效的開發(fā)了學(xué)生的智能，有效的培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新的能力.

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Teaching Notes on the Problems of the Second Type Curve Integral

YAOLei1,2,YAOYun-fei2,WANGXian-chao2

(1.School of Finance,Centyral University of Finance and Economics, Beijing 100081, China;

2.School of Economics , Fuyang Teachers College, Fuyang Anhui 236037,China;

3.School of Mathematics and Statics , Fuyang Teachers College, Fuyang Anhui 236037,China )

Abstract:There exists technique difficulties in calculating curve integrals, but it is often effective by using orthogonal transformation (quadratic form) theory to solve these problems. References [1] and [2] gave the applications of the orthogonal transformation (quadratic form) in multiple integral. Through many years’ teaching experience, we treats area problems ofbinary quadratic forms by using orthogonal transformation and successfully resolved many problems of curve integrals. These methods and results are of reference value to the teaching research of finance mathematics.

Key words:teaching practice; problem solving; whole thought; innovative ability

[中圖分類號(hào)]O151.2； O172.2

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)05-0076-07

[基金項(xiàng)目]國(guó)家特色專業(yè)(TS11496)； 全國(guó)統(tǒng)計(jì)科學(xué)計(jì)劃項(xiàng)目(2011LY094)； 阜陽(yáng)師范學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科(2010XK-03)

[收稿日期]2015-08-02