張衛(wèi)敏

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

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基于Bernstein多項式的二階線性奇異邊值問題的數(shù)值解

張衛(wèi)敏

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

[摘要]提出了一種用Bernstein多項式來構(gòu)造一類線性奇異兩點邊值問題的數(shù)值解方法.該方法不需要事先對方程進行非奇異化，且若方程的精確解為多項式時，利用這種方法可得方程的精確解.本文包含一些數(shù)值實例，并且與三次樣條法的數(shù)值計算結(jié)果進行了比較，從而說明我們提出方法的可靠性和有效性.

[關(guān)鍵詞]線性兩點奇異邊值問題； 數(shù)值解； Bernstein多項式

1引言

微分方程奇異邊值問題(BVP)在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛，比如：氣體動力學(xué)、核物理、化學(xué)反應(yīng)、原子結(jié)構(gòu)、原子計算、非線性橢圓方程正徑向解研究等方面.很多問題都會涉及到下面形式的奇異邊值問題

(1)

邊界條件

y?！?0)=0和y(1)=β.

很多學(xué)者[3，5，6，7]對奇異邊值問題都進行了研究.在大多數(shù)情況下，使用解析方法很少能得到奇異兩點邊值問題的解.事實上，我們遇到的很多數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域的問題幾乎不可能通過解析方法，而是通過各種數(shù)值逼近方法來解決.

Albasiny和Hoskins[1]通過求解一組三對角矩陣系數(shù)方程得到樣條解.Bickely[2]曾考慮使用三次樣條方法求解線性兩點邊值問題.后來，F(xiàn)yfe[4]通過對Bickley提出的方法進行改善，從而提出線性邊值問題新的解決方法.與有限差分方法相比，樣條解有它的優(yōu)勢.比如，一旦計算出它的解，那么網(wǎng)格點之間的樣條插值的信息是可用的.Ravi Kanth和Reddy[8]討論了一種基于三次樣條函數(shù)類的奇異兩點邊值問題的數(shù)值解法.

本文主要利用Bernstein多項式逼近二階線性微分方程的精確解y(x).如果k/x，b(x)，c(x)都是解析函數(shù)，那么方程的解y(x)也是解析函數(shù).根據(jù)多項式逼近連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可以用Bernstein多項式逼近二階線性微分方程的解.

2Bernstein多項式和Weierstrass第一逼近定理

作為經(jīng)典分析學(xué)中經(jīng)典的理論，用多項式逼近連續(xù)函數(shù)非常重要.前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Korovkin提出了Weierstrass第一逼近定理，該定理給出了多項式逼近連續(xù)函數(shù)理論的證明.

假設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有定義，如果存在多項式序列{Pn(x)}在[a，b]上一致收斂于f(x)，則稱f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可以用多項式一致逼近.

應(yīng)用數(shù)學(xué)分析語言，多項式一致逼近可等價表述為下面的定理：

定理(Weierstrass 第一逼近定理)設(shè)f(x)是閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，那么，對任意給定的ε>0，總是存在多項式P(x)，使得|P(x)-f(x)|<ε對一切x∈[a，b]成立.

在這里，設(shè)區(qū)間[a，b]為[0，1]，并且，如果[0，1]上全體連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合為X，全體多項式構(gòu)成的集合為Y，那么，現(xiàn)在定義映射：

Bn∶X→Y，

其中Bn(f，x)表示函數(shù)f(x)∈X在映射Bn作用下的像，它是以x為變量的n次多項式，稱為Bernstein多項式.

3基于Bernstein多項式的數(shù)值解法描述

事實上，Bernstein多項式解不一定是問題(1)的精確解y(x)，但是它可以逼近精確解，因此，不妨記(1)的Bernstein多項式近似解為如下形式

(2)

其中Bernstein基函數(shù)為

要得到Bernstein多項式，關(guān)鍵就是求出Bernstein系數(shù)yi(i=0，1，2，…，n)即可.

因為

和

根據(jù)問題(1)的邊值條件：y′(0)=0和y(1)=β，很明顯可以得到

y0=y1和yn=β.

(3)

因此，下面只要求出Bernstein系數(shù)yi(i=1，2，…，n-1)即可.

對于問題(1)為了使

更好的逼近c(x)，利用平方逼近原理，得到

(4)

顯然

為關(guān)于yi(i=1，2，…，n-1)的多元函數(shù)，那么上述問題就化為求I=I(y1，y2，…yn-1)的極值問題.

根據(jù)多元函數(shù)求極限的必要條件，得

(5)

其中

顯然，方程(5)是一個由n-1個線性方程構(gòu)成的含有n-1個未知數(shù)yi(i=1，2，…，n-1)的方程組.根據(jù)方程組(5)就可以求出yi(i=1，2，…，n-1).

這樣，就可以得到線性兩點奇異邊值問題(1)的Bernstein多項式近似解

其中Bernstein基函數(shù)為

4實例與比較

在本節(jié)，通過考慮一些線性兩點奇異邊值問題的例子，對Bernstein多項式方法加以說明.

例1考慮下面的線性兩點奇異邊值問題

它的精確解是

.

當N=5，10時，Bernstein多項式數(shù)值解已經(jīng)列示在表1中.通過觀察表格中的數(shù)據(jù)得知，當N=5時，Bernstein多項式近似解就已經(jīng)可以很好的逼近精確解，當然隨著N的越大精確度也會進一步提高；同時，還把Bernstein多項式解與三次樣條解進行了比較，比較的結(jié)果進一步說明Bernstein多項式數(shù)值解法的優(yōu)越性.

例2考慮下面的線性兩點奇異邊值問題

它的精確解是

它的數(shù)值解在表2中給出.通過觀察得知，提出的方法得到的數(shù)值解有很好的精確性.事實上，如果線性兩點邊值問題的精確解是一個多項式，那么通過Bernstein多項式逼近得到的近似解其實就是它的精確解.

表2　例2數(shù)值解與精確解的比較

例3考慮下面的線性兩點奇異邊值問題

它的精確解是一個多項式

y(x)=1-x2.

計算結(jié)果已經(jīng)在下面的表3中給出.因為該線性兩點邊值問題的解是多項式，那么就可以用Bernstein多項式直接得到精確解.

表3　例3數(shù)值解與精確解的比較

5總結(jié)與展望

微分方程線性兩點奇異邊值問題在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛.本文的重點是以Bernstein多項式為工具，利用多項式逼近連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，來求二階線性奇異邊值問題的數(shù)值解.所采用的方法具有如下優(yōu)點：首先，不需要對微分方程事先做非奇異化處理，其次，若方程的解析解是多項式，用該方法可得到方程的解析解而不僅僅是近似解.本文中，還給出了一些數(shù)值實例把所提出的方法得到的數(shù)值結(jié)果與其他已有方法得到的數(shù)值結(jié)果進行比較，從而得到解決此類問題的各種方法的優(yōu)缺點.

本文所提出的微分方程數(shù)值解法雖然在實際應(yīng)用中具有良好的效果，但也存在著一些待解決的問題和未完成的工作.隨著微分方程數(shù)值解的不斷發(fā)展，在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域遇到的問題越來越多，這就要求我們不僅僅要解決線性問題，還有研究非線性問題.Bernstein多項式在求解線性兩點奇異邊值問題方面體現(xiàn)了它的優(yōu)越性，那它在解決非線性兩點奇異邊值問題方面是否仍舊保持這種特性，這將是我們以后將要繼續(xù)探究的問題.

[參考文獻]

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[2]Bickley W G. Piecewise cubic interpolation and two point boundary value problems [J]. Comput .J， 1968， 11(2) : 206-212.

[3]Chawla M M， Katti C P. A finite difference method for a class of singular two point boundary value problems [J]. IMA. J. Numer. Anal， 2008，36(4): 457-466.

[4]Fyfe D J. The use of cubic splines in the solution of two-point boundary value problems [J]. Comput. J， 1969， 12(2): 188-192.

[5]Gustafsson B. A numerical method for solving singular boundary value problems [J].Numer. Math， 1973， 21(4): 328-344.

[6]Jamet P. On the convergence of finite difference approximations to one dimensional singular boundary value problems [J]. Numer. Math， 1970， 14 (4):355-378.

[7]Ravi Kanth A S V， Reddy Y N. A numerical method for singular boundary value problems via Chebyshev economization [J].Appl. Math. Comput， 2003 ，146 (3) : 691-700.

[8]Ravi Kanth A S V， Reddy Y N. Cubic spline for a class of singular two-point boundary value problems [J].Applied Mathematics and Computation，2006， 170(2):733-740.

Numerical Solution for Linear Singular Two-point Boundary

Value Problems Based on Bernstein Polynomials

ZHANGWei-min

(School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China)

Abstract:We present a figure based on Bernstein polynomials in compression for a class of singular two-point boundary value problems. This method does not require non-singularity of the equation， and if the exact solution is a polynomial solution， we can get the exact solution by using this method. Some examples have been included and comparison of the numerical results made with cubic spline method. Then the reliability and efficiency of the proposed method are demonstrated by several examples.

Key words:the linear singular two point boundary value problem; the numerical solution; Bernstein polynomials

[中圖分類號]O141.81

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)05-0093-05

[收稿日期]2015-03-26