周　玲，　孫　琳

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

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一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的多種解法

周玲，孫琳

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

[摘要]給出了北京市第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽一道試題的多種解法.

[關(guān)鍵詞]數(shù)列極限； 夾迫原則； 遞推方法； 壓縮映象原理； 矩陣方法； 級(jí)數(shù)方法

北京市第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的第三題[1]是

文[1]給出的解法是，先假定該數(shù)列的極限存在并求出其值，然后利用數(shù)列極限的定義予以證明. 本文將給出該試題的另外解法，僅供大家教學(xué)中作為參考.

1利用數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求極限

從而

yn+2-2yn+1-yn=0.

(1)

2利用判別數(shù)列極限存在的夾迫原則

所以

3利用關(guān)于xn的遞推式

先介紹如下的

命題1設(shè)數(shù)列{xn}滿足線性有理遞推關(guān)系

(2)

若λ和μ是方程cr2+(d-a)r-b=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根，則

(3)

這是因?yàn)?/p>

注意到cλ2+(d-a)λ-b=0及cμ2+(d-a)μ-b=0，故上式可寫成

4利用壓縮映象原理

易知

5矩陣方法

用數(shù)學(xué)歸納法不難證明(過(guò)程從略)如下的

命題2設(shè)數(shù)列{xn}滿足線性有理遞推關(guān)系式(2)，若令

(4)

(5)

則

(6)

A的特征方程為

令

則有

從而

由(5),(6)，故有

6級(jí)數(shù)方法

故

由題設(shè)易知xn>2 (n=1,2,…)，從而

由級(jí)數(shù)收斂的定義，有

[參考文獻(xiàn)]

[1]李心燦，季文鐸，孫洪祥，等.大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解析選編[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[中圖分類號(hào)]O13；O151.2

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)05-0104-04

[基金項(xiàng)目]合肥工業(yè)大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目(YJG2012Y12)

[收稿日期]2014-09-10