胡建華，　王資敏，　曾博文

(上海理工大學理學院,上海200093)

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哈密爾頓-凱萊定理在多項式矩陣上的推廣

胡建華，王資敏，曾博文

(上海理工大學理學院,上海200093)

[摘要]哈密爾頓-凱萊定理是高等代數(shù)中一個經(jīng)典的結(jié)論，它揭示了方陣和它對應的特征多項式之間的關系. 本文將此定理推廣至多項式矩陣上，給出了多項式矩陣及其行列式之間的一種關系，使經(jīng)典的哈密爾頓-凱萊定理成為本文中定理的一種特殊情況.

[關鍵詞]哈密爾頓-凱萊定理； 多項式矩陣； 伴隨矩陣

1引言

哈密爾頓-凱萊定理是高等代數(shù)中一個經(jīng)典的結(jié)論， 它揭示了方陣和它對應的特征多項式之間的關系，是特征多項式所具有的一個重要性質(zhì).它在線性空間的直和分解、計算逆矩陣、矩陣多項式等方面有重要的應用.在教材[1]P297中給出了此定理的內(nèi)容和證明.定理可簡潔地概括為:任意數(shù)域上的方陣滿足其特征方程.即設A是數(shù)域上的一個n階方陣，f(x)=det(xE-A)為A的特征多項式，則f(A)=O(零矩陣).在文獻[2,3,4]中，Kaczorek將此定理推廣至m×n矩陣、Block矩陣上；文獻[5]中WeiXing將哈密爾頓-凱萊定理推廣至多元有理矩陣上.這里我們將此定理推廣至多項式矩陣上， 給出了多項式矩陣及其行列式之間的一種關系，使經(jīng)典的哈密爾頓-凱萊定理成為本文中定理的一種特殊情況.

2主要結(jié)果

引理1存在(m+1)個n階常數(shù)矩陣A0,A1,A2,…,Am使得

G(x)=A0+A1x+A2x2+…+Amxm.

aij(x)=aij0+aij1x+aij2x2+…+aijmxm∈[x]，i,j=1,2,…,n，

由矩陣加法和數(shù)乘運算的線性性，只需取Ak=[aijk]n×n，k=0,1,2,…,m.

注1在引理1中

G(x)=A0+A1x+A2x2+…+Amxm，

實際上G(x)也可表示成

G(x)=A0+xA1+x2A2+…+xmAm

的形式.這里采用

G(x)=A0+A1x+A2x2+…+Amxm

這種形式.這樣任意給定n階方陣A，G(A)=A0+A1A+A2A2+…+AmAm為n階方陣.

記f(x)=det(G(x))表示多項式矩陣G(x)的行列式.

引理2f(x)∈[x]且次數(shù)不超過mn.

其中j1j2…jn表示123…n的全排列，τ(j1j2…jn)為排列j1j2…jn的逆序數(shù).顯然f(x)∈[x]且

記G*(x)表示多項式矩陣G(x)的伴隨矩陣.

引理3伴隨矩陣G*(x)是域上的多項式矩陣，且其每個元的次數(shù)不超過m(n-1).

是元為akl(x)的n-1階行列式，類似引理2的證明知Aij(x)∈[x]且次數(shù)不超過m(n-1).

定理設G(x)是一個關于變量x的n階多項式矩陣， 其每個元的次數(shù)不超過m，f(x)=det(G(x)).若存在一個n階常數(shù)方陣A使得G(A)=O，則f(A)=O.

證由引理1，不妨設G(x)=A0+A1x+A2x2+…+Amxm.由引理3不妨設

G*(x)=B0+B1x+B2x2+…+Bm(n-1)xm(n-1).

由引理2，不妨設f(x)=k0+k1x+k2x2+…+kmnxmn∈[x].因為

G*(x)G(x)=det(G(x))E=f(x)E，

其中E為n階單位矩陣.即

(B0+B1x+B2x2+…+Bm(n-1)xm(n-1))(A0+A1x+A2x2+…+Amxm)

=(k0+k1x+k2x2+…+kmnxmn)E.

比較上面等式兩邊xk,k=0,1,2,…,mn的系數(shù)矩陣，得

k0E=B0A0，

k1E=B0A1+B1A0，

k2E=B0A2+B1A1+B2A0，

k3E=B0A3+B1A2+B2A1+B3A0，

… … … …

kmE=B0Am+B1Am-1+…+Bm-1A1+BmA0，

km+1E=B1Am+B2Am-1+…+BmA1+Bm+1A0，

… … … …

kmn-mE=Bmn-2mAm+Bmn-2m+1Am-1+…+Bmn-m-1A1+Bmn-mA0，

kmn-m+1E=Bmn-2m+1Am+Bmn-2m+2Am-1+…+Bmn-m-1A2+Bmn-mA1，

… … … …

kmn-3E=Bmn-m-3Am+Bmn-m-2Am-1+Bmn-m-1Am-2+Bmn-mAm-3，

kmn-2E=Bmn-m-2Am+Bmn-m-1Am-1+Bmn-mAm-2，

kmn-1E=Bmn-m-1Am+Bmn-mAm-1，

kmnE=Bmn-mAm.

以上各式依次右乘矩陣

E,A,A2,A3,…,Am,Am+1,…,Amn，

然后將所有等式相加，得

k0E+k1A+k2A2+k3A3+…+kmAm+km+1Am+1+…+kmnAmn

=B0A0+(B0A1+B1A0)A+(B0A2+B1A1+B2A1)A2+(B0A3+B1A2+B2A1+B3A0)A3

+…+(B0Am+B1Am-1+…+Bm-1A1+BmA0)Am+(B1Am+B2Am-1+…+BmA1+Bm+1A0)Am+1

+…+(Bmn-2mAm+Bmn-2m+1Am-1+…+Bmn-m-1A1+Bmn-mA0)Amn-m

+(Bmn-2m+1Am+Bmn-2m+2Am-1+…+Bmn-m-1A2+Bmn-mA1)Amn-m+1+…

+(Bmn-m-3Am+Bmn-m-2Am-1+Bmn-m-1Am-2+Bmn-mAm-3)Amn-3

+(Bmn-m-2Am+Bmn-m-1Am-1+Bmn-mAm-2)Amn-2

+(Bmn-m-1Am+Bmn-mAm-1)Amn-1+(Bmn-mAm)Amn，

將上式整理得

f(A)=B0(A0+A1A+A2A2+…+AmAm)+B1(A0+A1A+A2A2+…+AmAm)A

+B2(A0+A1A+A2A2+…+AmAm)A2+B3(A0+A1A+A2A2+…+AmAm)A3

+…+Bmn-m(A0+A1A+A2A2+…+AmAm)Amn-m，

即

又因為G(A)=O，故f(A)=O.

注2此定理的逆命題不成立，即滿足f(A)=O的n階方陣不一定使G(A)=O.

例取

注3經(jīng)典的哈密爾頓-凱萊定理是此定理的一種特殊情況.對任意方陣A，只需取多項式矩陣為特征矩陣，即取G(x)=xE-A，f(x)=det(xE-A)為A的特征多項式，顯然G(A)=O，由定理知f(A)=O.

[參考文獻]

[1]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].3版.北京:高等教育出版社，2005.

[2]Kaczorek T.Generalization of the Cayley-Hamilton theorem for non-square matrices[J]. International Conference of Fundamentals of Electronics and Circuit Theory XVIIISPETO, Gliwice, 1995: 77-83.

[3]Kaczorek.T. An existence of the Caley-Hamilton theorem for non-square block matrices[J]. Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, 1995, 43(1): 49-56.

[4]Kaczorek.T. An extension of the Cayley-Hamilton theorem for a standard pair of block matrices[J]. Applied Mathematics and Computation Sciences, 1998, 8(3): 511-516.

[5]Wei Xing. Generalization of Cayley-Hamilton theorem for multivariate rational matrices[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, 54(3):633-634.

[6]Raj Kumar Kanwar,A generalization of the Cayley-Hamilton theorem[J]. Advances in Pure Mathematics, 2013,3:109-115.

Generalization of Cayley-Hamilton Theorem for Polynomial Matrices

HUJian-hua，WANGZi-Min，ZENGBo-wen

(College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

Abstract:Cayley-Hamilton Theorem is a classical conclusion in advanced algebra. It reveals the relationship between the square matrix and its corresponding characteristic polynomial. This paper will generalize the classical Cayley-Hamilton Theorem for polynomial matrix. One relationship between the polynomial matrix and its determinant will be given. So it makes the classical Cayley-Hamilton Theorem a special case of the theorem in this paper.

Key words:Cayley-Hamilton theorem ;polynomial matrices; adjoint matrix

[中圖分類號]O151.21

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)05-0089-04

[基金項目]滬江基金(B14005)；上海理工大學橫向項目(1312341001)

[收稿日期]2015-08-02