錢 江，王永杰

(河海大學 理學院，江蘇 南京 211100)

引言

樣條函數是一種分段或分片光滑,且在各分段分片的交界處都具有一定光滑性的函數,其相關研究始于20世紀中葉,數學家I.J.Schoenberg在1946年首次提出一元樣條理論[1]。隨著樣條理論的不斷發(fā)展,內容豐富、應用廣泛的樣條方法已經成為了研究數值逼近的有力工具。樣條函數[2-5]因為其光滑性、保凸性、保多項式性等特點,常常在有限元、計算機輔助幾何設計、微分方程數值解等領域取得非常優(yōu)秀的效果,且應用廣泛。

考慮到更高次的樣條函數在逼近理論中應具有更高的精度[18-19],而計算高次的B樣條需要較復雜的方法與技巧,由此將高次樣條函數應用于微分方程數值解值得進一步研究。同時,在比較五次B樣條微分正交法[20]時發(fā)現,文獻[20]僅僅給出無重節(jié)點情況下的五次B樣條函數,且該函數并不具有單位分解性。鑒于此,本文將在已經計算出五次B樣條基函數基礎上,對樣條擬插值及其應用進一步開展研究。

本文首先回顧一元五次B樣條基函數,給出數值算例,繪制圖形;然后建立五次樣條擬插值算子;接著針對具有不同光滑度的被逼函數,分析樣條擬插值的誤差估計;最后將五次樣條應用于求解拋物型方程,并與四次B樣條方法作比較。

1 五次B樣條基函數的回顧

我們已經利用光滑余因子協(xié)調法分別計算出區(qū)間[x0,xn]上具有均勻節(jié)點{xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4,xi+5,xi+6}與端點x0,xn處具有有重節(jié)點的一元五次B樣條基函數。為避免贅述,本節(jié)將通過具體數值算例回顧五次B樣條基函數[21]。

算例1令x0=0,x5=5,xi+1-xi=1,i=0,1,2,3,4,分別得到子區(qū)間[x0,x1],[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4],[x4,x5]上帶有重節(jié)點的五次B樣條基函數。例如在區(qū)間[x0,x1]上,B樣條基函數具有如下表達式

(1)

由B樣條基函數的單位分解性知

(2)

我們繪制圖形,如圖1-5所示,其中X軸表示區(qū)間節(jié)點,Y軸表示函數曲線在該節(jié)點出的值,下文若沒有特殊說明,則與其一致。

類似于對左端點處帶有重節(jié)點的五次B樣條的分析,同樣可以得到右端點處帶有重節(jié)點的五次B樣條基函數。

算例2當xn-5

(3)

由B樣條基函數的單位分解性知

(4)

繪制圖形,如圖6-10所示。

為了更好地認識五次B樣條基函數,我們給出在有界閉區(qū)間[x0,xn]上五次B樣條函數圖像的左半部分[x0,x4]區(qū)間、中間部分[xi,xi+4]區(qū)間(均勻節(jié)點)、右半部分[xn-4,xn]區(qū)間,其中x0=0,xn=15,xi+1-xi=1,i=0,1,…,n,如圖11-13所示。

圖1 I0=[x0,x1]上的五次B樣條基函數

圖2 I1=[x1,x2]上的五次B樣條基函數

圖3 I2=[x2,x3]上的五次B樣條基函數

圖4 I3=[x3,x4]上的五次B樣條基函數

圖5 I4=[x4,x5]上五次B樣條基函數

圖6 In-5=[xn-5,xn-4]上五次B樣條基函數

圖7 In-4=[xn-4,xn-3]上五次B樣條基函數

圖8 In-3=[xn-3,xn-2]上五次B樣條基函數

圖9 In-2=[xn-2,xn-1]上五次B樣條基函數

圖10 In-1=[xn-1,xn]上五次B樣條基函數

圖11 區(qū)間[x0,x4]上的五次B樣條函數

圖12 區(qū)間[xi,xi+4]上均勻節(jié)點下的五次B樣條函數

圖13 區(qū)間[xn-4,xn]上的五次B樣條函數

2 五次B樣條擬插值算子

本節(jié)將構造保五次多項式性的線性泛函,即五次B樣條擬插值算子。

定理1設fi=f(xi),i=0,1,…,n,其中xi-xi-1=h,i=1,2,…,n,且節(jié)點x-5=x-4=x-3=x-2=x-1=x0

Wn(f)≡f,?f∈P5

,

(5)

其在每個區(qū)間中的擬插值表示分別為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中，x∈[xi,xi+1],i=5,6,…n-6。

對稱地,我們可以算出子區(qū)間[xn-5,xn-4],[xn-4,xn-3],[xn-3,xn-2],[xn-2,xn-1]及[xn-1,xn]上的五次B樣條擬插值算子。

3 樣條擬插值的誤差估計

本節(jié)我們將利用連續(xù)模與Taylor公式對五次B樣條擬插值進行相應的誤差估計。首先給出連續(xù)模與極大范數的定義:

wI(f,r):=sup {|f(x)-f(u)|:x,u∈I,|x-u|≤r}

,

(12)

(13)

其中，I=[x0,xn],xi+1-xi=h,i=0,1,…,n-1。

針對具有不同光滑度的函數,我們給出如下樣條擬插值的誤差分析。

定理2設f(x)∈C(I),則對充分大的正整數n,Wn(f)的誤差估計滿足

(14)

(15)

證明：利用五次B樣條基函數的單位分解性,我們可以得出

f-Wn(f)=f(x)(si-5(Ii)+si-4(Ii)+si-3(Ii)+si-2(Ii)+si-1(Ii)+si(Ii))-Wn(f)。

從而有

‖f-Wn(f)‖Ii=‖f(x)(si-5(Ii)+si-4(Ii)+si-3(Ii)+si-2(Ii)+si-1(Ii)+si(Ii))-Wn(f)‖Ii

當x∈I0=[x0,x1]時,有

同理可以驗證x∈I1,I2,I3,I4,In-5,In-4,In-3,In-2,In-1的情況。

定理3令f(x)∈C1(I),則對充分大的正整數n,Wn(f)的誤差估計滿足

(16)

(17)

事實上,令f(x)∈C1(I),當x∈Ii=[xi,xi+1]時,將f(x)在區(qū)間中點xi+1/2處展開,我們得到

f(x)=T1,i(x)+(f′(ξi)-f′(xi+1/2))(x-xi+1/2)?f(x)-T1,i(x)=(f′(ξi)-f′(xi+1/2))(x-xi+1/2),

其中T1,i(x)=f(xi+1/2)+f′(xi+1/2)(x-xi+1/2)。

類似地,我們利用連續(xù)模與Taylor公式得到如下定理。

定理4令f(x)∈C2(I),則對充分大的正整數n,Wn(f)的誤差估計滿足

(18)

(19)

定理5令f(x)∈C3(I),則對充分大的正整數n,Wn(f)的誤差估計滿足

(20)

(21)

定理6令f(x)∈C4(I),則對充分大的正整數n,Wn(f)的誤差估計滿足

(22)

(23)

4 數值算例

本節(jié)我們考慮拋物型方程:

(24)

初邊值為

u(x,0)=sin (πx),u(0,t)=u(1,t)=0,

精確解為

u(x,t)=e-tsin (πx)。

對方程(24)在點(xi,tk)按時間步長τ進行離散,引入參數δ(0≤δ≤1),我們得到

(25)

(26)

接下來,我們利用均勻節(jié)點下的五次B樣條基函數來逼近該拋物型方程。令時間步長為τ=0.04,空間步長為h=0.02,δ=0.5。在下列表格中,我們分別取t=0.2,t=0.6和t=0.84,且對x取不同值與精確解作對比。

從上述表格中可以看出,我們用五次B樣條逼近得到的解準確率高,而且得到的解與精確解的誤差遠小于比它低一次的四次B樣條解誤差,逼近效果更好。在迭代過程中,我們發(fā)現,用四次樣條迭代得到的數據是波動的,而用五次樣條迭代出的數據更加的順滑穩(wěn)定。用拋物型方程舉例,雖然常用三次樣條逼近,但在相同步長的情況下,在相同的有限閉區(qū)間上需要更少的五次B樣條,取得更好的逼近效果。

5 結語

本文在一元五次B樣條的基礎上,給出了一元五次B樣條擬插值,再根據函數的光滑度不同,利用Taylor公式進行相應的誤差估計,并嘗試運用在求解逼近方程中。在以后的工作中,作者將利用本文構造的五次B樣條擬插值算子求解其他類型的方程,并擬給出張量積型雙五次B樣條基函數以及其在微分方程數值解方向上的應用。

表1 t=0.2時五次樣條解、四次樣條解與精確解對比

表2 t=0.2時兩種樣條解與精確解的數值誤差對比

表3 t=0.6時五次樣條解、四次樣條解與精確解對比

表4 t=0.6時兩種樣條解與精確解的數值誤差對比

表5 t=0.84時五次樣條解、四次樣條解與精確解對比

表6 t=0.84時兩種樣條解與精確解的數值誤差對比