梁 莉　李勝軍

(海南大學信息科學技術(shù)學院， ?？?570228)

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大學數(shù)學教材內(nèi)容存在的問題及其解決辦法

梁 莉李勝軍

(海南大學信息科學技術(shù)學院， ?？?570228)

摘要：針對數(shù)學教材中基本初等函數(shù)結(jié)構(gòu)、不定積分與常微分方程通解不完善的問題，利用積分上限函數(shù)對數(shù)學分析中的基本初等函數(shù)作出定義，并根據(jù)不定積分和常微分方程通解的定義進一步完善通解的解法。

關(guān)鍵詞：基本初等函數(shù)； 不定積分； 微分方程； 通解

《數(shù)學分析》和《高等數(shù)學》是重要的大學數(shù)學基礎理論課程，有多種相關(guān)教材。在10多年的教學當中我們接觸到20余種大學數(shù)學教材，發(fā)現(xiàn)這些教材中90%以上都存在與數(shù)學基本思維方式相悖的內(nèi)容，現(xiàn)予以指出。

第一個問題存在于教材最前面的內(nèi)容中。其中提到初等函數(shù)是由常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這些基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的加、減、乘、除和復合而構(gòu)成，除了常函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和一些特殊的冪函數(shù)在中學的課本中有定義之外，其他基本初等函數(shù)均未給出數(shù)學定義； 在這種情況下即討論冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的基本特性、運算法則和函數(shù)圖形，進而得出了其導數(shù)和積分的表達式。這顯然與數(shù)學理論中定義的準確性、表達的嚴密性、推理的邏輯性等思想相悖。此處存在的問題是：在討論性質(zhì)之前，首先未給出重要函數(shù)的定義。

第二個問題是不定積分的定義不夠準確。不定積分指的是被積函數(shù)所有原函數(shù)的一般表達式，但基本所有的教材都存在一個同樣的錯誤，所求的不定積分甚至不定積分公式都僅給出了被積函數(shù)的一部分原函數(shù)的表達式，作為不定積分的推廣形式——常微分方程也存在同樣的錯誤。

以上教材中存在的問題顯然與準確的定義、簡潔清楚的數(shù)學語言表達、嚴密的邏輯推理等一些數(shù)學思維相違背，這也是數(shù)學課程需要教給學生掌握的基本思想和處理方法。在此，詳細討論其中存在的問題，并提出相應的解決辦法。

1幾個基本初等函數(shù)的定義及性質(zhì)

下面將利用數(shù)學分析中的積分上限函數(shù)作為工具，給出教材中沒有嚴格定義的基本初等函數(shù)的定義，并利用這些定義來討論這些基本初等函數(shù)的性質(zhì)和運算法則[1]。

1.1對數(shù)函數(shù)的定義及基本性質(zhì)

下面首先由如下積分上限函數(shù)給出對數(shù)函數(shù)的定義，進而由定義給出其基本性質(zhì)。

(4) ?x,y>0，有等式 lnxy=lnx+lny成立，從而也有 logaxy=logax+logay。

證明性質(zhì) (1)、 (2) 和 (3) 可由定積分和導數(shù)的定義及基本性質(zhì)直接推出。

證明性質(zhì)(4)，設任意固定x0>0，設函數(shù) f(y)=lnx0y，g(y)=lnx0+lny，首先證明f(y)≡g(y)。由于函數(shù)f(y)，g(y) 在(0,+∞)內(nèi)是連續(xù)可導的, 并且有

f(1)=lnx0， g(1)=lnx0+ln 1=lnx0，

即f′(y)≡g′(y)。 由Lagrange中值定理的推論，有f(y)≡g(y)，再利用x0 的任意性，即有 lnxy=lnx+lny。 證畢。

1.2指數(shù)函數(shù)的定義和基本性質(zhì)

根據(jù)上述內(nèi)容中對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(2)和(3)，可知lnx和 logax 在(0,+∞)內(nèi)都是嚴格單調(diào)的函數(shù)，因而它們的反函數(shù)也都存在，利用其反函數(shù)即可給出下面的定義。

定義2稱自然指數(shù)函數(shù)y=lnx的反函數(shù)為自然指數(shù)函數(shù)；一般對數(shù)函數(shù) logax 的反函數(shù)稱為以 a 為底的一般指數(shù)函數(shù)，分別用 ex 和 ax 表示。

關(guān)于指數(shù)函數(shù)可由其定義、對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)以及反函數(shù)的求導法則直接得出以下簡單性質(zhì)。

性質(zhì)2(1) 當x>0 時ax>1，當 x<0 時 ax<1 并且 a0=1。

(2)一般指數(shù)函數(shù)ax 的導函數(shù)為 ax lna，因此當a>1 時，ax 在 (-∞,+∞) 內(nèi)是嚴格單調(diào)遞增的，當 0

(3) 對任意的x,y>0，有等式ax+y=ax·ay 成立。

1.3冪函數(shù)的定義及性質(zhì)

在此我們將利用指數(shù)函數(shù)和自然對數(shù)函數(shù)的復合運算來給出冪函數(shù)的定義。

定義3對給定常數(shù)α∈R，稱自然指數(shù)函數(shù)eu和常數(shù)α與自然對數(shù)函數(shù)lnx 的乘積函數(shù) u=αlnx 的復合函數(shù)eα ln x為冪函數(shù)，其中 α 稱為該函數(shù)的冪指數(shù)，可表示為 xα=eα ln x。

由定義可得到如下一些基本性質(zhì)。

性質(zhì)3(1) 對任意的 x>0，xα>0 且當α=0時x0=1。

(2) 冪函數(shù) xα的導數(shù)為αxα-1，對任意的 x>0，當 α>0 時函數(shù) xα單調(diào)遞增，當α<0 時函數(shù)xα單調(diào)遞減。

(3) 對任意的 x>0 有等式 xα+β=xα·xβ成立。

(4) 對 a>0且 a≠1，對任意的 x>0 和任意的 α∈R有l(wèi)ogaxα=αlogax。

證明由冪函數(shù)的定義直接得到性質(zhì)(1)和(3)。 由對數(shù)函數(shù)的導數(shù)和復合函數(shù)的求導法則可得性質(zhì)(2)。 因此我們只對性質(zhì)(4)加以證明，要證性質(zhì)(4)成立也只需證lnxα=αlnx 成立即可。

任取 α∈R和對任意的 x>0，令函數(shù) f(x)=lnxα和g(x)=αlnx，由于 f(x)和 g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是連續(xù)可導的函數(shù)，并且有

f(1)=0，g(1)=0，

因此在(0,+∞)內(nèi)有 f′(x)≡g′(x)。 同性質(zhì)1中(4)的證明一樣，利用Lagrange中值定理的推論即可得出函數(shù) f(x)≡g(x) 。 證畢。

另外利用方程、函數(shù)的極限和導數(shù)作為工具，還有關(guān)于基本初等函數(shù)的其他結(jié)構(gòu)性定義[2]，這里就不一一贅述。

2初等函數(shù)在教材中應合理安排

在大學數(shù)學分析和高等數(shù)學教材中，一部分基本初等函數(shù)如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在沒有給出定義的基礎上就直觀地給出了它們的基本性質(zhì)、運算法則和圖象等要素，學生只能被動地接受這些理論。 本文基于上述基本初等函數(shù)的定義及相關(guān)性質(zhì)所需要的知識內(nèi)容，建議對基本初等函數(shù)在教材中所處的位置安排作以下調(diào)整。

在大學數(shù)學分析和高等數(shù)學講授的內(nèi)容中可以不用先講基本初等函數(shù)。在講授了一般函數(shù)的極限導數(shù)、積分的內(nèi)容之后，再由積分的運算性質(zhì)和積分上限函數(shù)來定義自然對數(shù) lnx和以a為底的對數(shù)函數(shù) logax， 利用其反函數(shù)來得到自然指數(shù)函數(shù) ex 和一般的指數(shù)函數(shù) ax 的定義， 同上述定義一樣采用函數(shù)復合的方法來給出冪函數(shù) xα 的定義，再來討論這些基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)、函數(shù)圖形、運算法則、導數(shù)和積分公式等，從而使得基本初等函數(shù)在教材中具有一個較為系統(tǒng)合理化的安排。

3常微分方程部分的錯誤應予糾正

這里C1 和 C2 是兩個不同的任意常數(shù)。 由于這個不定積分公式中存在的缺陷，從而導致具有間斷點的有理函數(shù)的不定積分以及系數(shù)函數(shù)具有間斷點的常微分方程的通解中也存在同樣的錯誤。

針對上述錯誤給出如下解決辦法：利用常微分方程中系數(shù)函數(shù)的不可去間斷點，將實數(shù)集分成不同的區(qū)間段，在每一個區(qū)間段分別求出常微分方程的通解?，F(xiàn)給出一些簡單實例。

所以原方程的通解為

而不能直接寫成通常教材中的表達式

參考文獻

[1]陳紀修，於崇華，金路. 數(shù)學分析[M]. 北京:高等教育出版社， 1999：15-21.

[2]胡永忠，曾平華. 幾個基本初等函數(shù)的公理化定義[J]. 廣東教育學院學報， 2001，21(2): 29-31.

[3]丁同仁，李承治. 常微分方程教程[M]. 北京:高等教育出版社，2004：4-8.

[4]同濟大學數(shù)學教研室. 高等數(shù)學[M]. 北京:高等教育出版社，1996：226-228

[5]盛祥耀. 高等數(shù)學[M]. 北京:高等教育出版社，1992：180-181

AnalysisoftheProblemsinMathematicsTextbooksandTheirSolutions

LIANG LiLI Shengjun

(SchoolofInformationScienceandTechnology,HainanUniversity,Haikou, 570228,China)

Abstract:This paper makes scientific definitions about the basic elementary functions using integral upper limit function, and improves their general solution methods in accordance with the definition of indefinite integral and ordinary differential equations.

Key words:basic elementary functions; indefinite integral; differential equations; general solution

文獻標識碼：A

文章編號：1673-1980(2015)02-0126-03

中圖分類號：O241：G642

作者簡介：梁莉( 1978 — )，女， 四川內(nèi)江人，講師，研究方向為常微分方程研究。

基金項目：海南省自然科學基金項目(113003)； 海南大學2013年度校級教育教學研究項目(HDJY1331)

收稿日期：2014-11-10