張美娟

摘要：面向統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)，為培養(yǎng)理論基礎(chǔ)扎實(shí)、專業(yè)應(yīng)用性強(qiáng)的學(xué)生，相應(yīng)進(jìn)行其基礎(chǔ)課程數(shù)學(xué)分析和概率論的教學(xué)改革。將兩學(xué)科統(tǒng)籌安排，從教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)的調(diào)整、教學(xué)內(nèi)容順序的變更、數(shù)學(xué)分析和概率論知識(shí)點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用以及兩課程知識(shí)點(diǎn)的相互滲透等方面進(jìn)行課程教學(xué)改革。本文通過諸多實(shí)例，具體闡述了教學(xué)改革的方法。

關(guān)鍵詞：教學(xué)改革；統(tǒng)計(jì)學(xué)；滲透；概率論；數(shù)學(xué)分析

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）40-0099-03

為培養(yǎng)一批理論基礎(chǔ)扎實(shí)、專業(yè)應(yīng)用性強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，對(duì)其專業(yè)基礎(chǔ)課程數(shù)學(xué)分析和概率論進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)改革。不僅在兩門課程各自的教學(xué)中調(diào)整了內(nèi)容重點(diǎn)，滲透相關(guān)知識(shí)點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)后繼專業(yè)課程中的應(yīng)用，而且在兩門課程同步教學(xué)的過程中，合理安排了教學(xué)內(nèi)容的順序，相互滲透兩門課程的知識(shí)。在統(tǒng)籌安排下，我們進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析和概率論的課程改革。

一、統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程改革的研究

數(shù)學(xué)分析內(nèi)容經(jīng)典，體系完整，理論推理嚴(yán)密，既對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有著重要的作用，也為統(tǒng)計(jì)學(xué)后繼課程提供必要的基礎(chǔ)知識(shí)和應(yīng)用工具。在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)過程中，除了在教學(xué)理念中突出數(shù)學(xué)分析的思想性和增強(qiáng)應(yīng)用能力，在教學(xué)內(nèi)容中抓住主要內(nèi)容，融入建模思想，增設(shè)實(shí)驗(yàn)課程，以及在教學(xué)方法中按學(xué)生能力，采用分層等教學(xué)改革外，我們結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的特點(diǎn)，從以下幾個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)改革的研究。

第一，調(diào)整課程教學(xué)的重點(diǎn)。統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)以培養(yǎng)理論基礎(chǔ)扎實(shí)，專業(yè)應(yīng)用性強(qiáng)的學(xué)生為目標(biāo)。在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，對(duì)重要知識(shí)點(diǎn)深入講解，使學(xué)生理解其思想，并通過例題加深體會(huì)；而對(duì)過于繁雜的證明可適當(dāng)降低要求，且對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)在幾何、物理中的應(yīng)用部分可作為學(xué)生課下自學(xué)內(nèi)容。例如在講授“實(shí)數(shù)的完備性”這一章的內(nèi)容時(shí)，授課時(shí)重點(diǎn)講解定理的思想，而對(duì)定理的證明適當(dāng)降低要求，并且證明部分在數(shù)學(xué)分析第三學(xué)期講授。這樣安排一方面是由于統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論證明的要求并不是很高，另一方也可以避免學(xué)生在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的前期因繁雜的證明而失去信心和興趣，而且可以在有限的課時(shí)內(nèi)講解更多的例題、以及數(shù)學(xué)分析知識(shí)點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用。例如在學(xué)習(xí)“定積分的性質(zhì)和計(jì)算”之后，講解定積分在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用，而對(duì)于定積分在幾何以及物理中的應(yīng)用略講。諸如利用定積分求平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率，旋轉(zhuǎn)曲面的面積等幾何應(yīng)用部分，以及利用定積分求液體靜壓力，引力等物理應(yīng)用部分安排作為學(xué)生課下自學(xué)內(nèi)容。同樣，在講解隱函數(shù)定理、重積分等的應(yīng)用時(shí)，對(duì)其在幾何、物理中的應(yīng)用略講，而講解其在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用。這樣，一方面可以增強(qiáng)統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，感受到數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)性作用，另一方面讓學(xué)生提前感受統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)專業(yè)知識(shí)和應(yīng)用。

第二，滲透數(shù)學(xué)分析知識(shí)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用。比如在講授“微分中值定理”、“泰勒公式”、“極值定理”、“定積分”、“隱函數(shù)定理”、“傅里葉級(jí)數(shù)”時(shí)，可滲透其在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用。在介紹知識(shí)點(diǎn)和性質(zhì)之后，以例題的形式講解這些知識(shí)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用。例如在“多元函數(shù)極值問題”的教學(xué)中，以一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)為例題，講解極值判別法在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用，并且提出有實(shí)際應(yīng)用背景方面的例題，比如銷售收入和廣告費(fèi)用支出之間的關(guān)系。這樣既使學(xué)生了解了數(shù)學(xué)建模的方法，又使學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)分析的奇妙，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的興趣。例如在講解“導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算”時(shí)，以數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的最大似然估計(jì)中對(duì)似然函數(shù)求導(dǎo)取得最值點(diǎn)為例題，滲透導(dǎo)數(shù)知識(shí)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用；在講解“高階導(dǎo)數(shù)”時(shí)，以時(shí)間序列分析中的ARIMA模型為例題，滲透高階求導(dǎo)在時(shí)間序列分析中的應(yīng)用；在講解“一致連續(xù)性”時(shí)，以概率統(tǒng)計(jì)中特征函數(shù)為例題，證明特征函數(shù)的一致連續(xù)性。這樣，既使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)分析對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)課程的重要性，又使學(xué)生提前了解了統(tǒng)計(jì)學(xué)中的部分知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和統(tǒng)計(jì)學(xué)課程的興趣，提高了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

第三，調(diào)整課程教學(xué)內(nèi)容的順序。為加開更多的應(yīng)用型統(tǒng)計(jì)專業(yè)課程，在統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的培養(yǎng)計(jì)劃中，概率論課程開設(shè)在大學(xué)一年級(jí)第二學(xué)期，數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程開設(shè)在大學(xué)二年級(jí)第一學(xué)期。這便需要對(duì)先修課程數(shù)學(xué)分析的進(jìn)度安排加以調(diào)整，以便適應(yīng)后繼專業(yè)課程的開設(shè)。例如學(xué)生在學(xué)習(xí)概率論中“多維隨機(jī)變量及其分布”的相關(guān)知識(shí)之前，在數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)學(xué)習(xí)了重積分的概念、性質(zhì)和計(jì)算，因而在數(shù)學(xué)分析三個(gè)學(xué)期的教學(xué)中，應(yīng)合理調(diào)整講授內(nèi)容的順序。具體安排如下：講解了一元函數(shù)的極限和微積分后，介紹多元函數(shù)的極限、微分學(xué)和重積分，之后再講授數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)的知識(shí)；對(duì)于實(shí)數(shù)的完備性部分僅在數(shù)學(xué)分析第一學(xué)期中講授定理的思想和應(yīng)用，而將定理的證明部分安排在第三學(xué)期講解；對(duì)于曲線積分、曲面積分、含參量積分部分，安排在第三學(xué)期講授，同時(shí)隱函數(shù)定理、傅里葉級(jí)數(shù)也安排在第三學(xué)期講授。這樣調(diào)整數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)內(nèi)容的順序，既可以使得概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等課程正常開展，又可以兼顧數(shù)學(xué)分析知識(shí)體系本身的系統(tǒng)性和完整性。

第四，在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中開設(shè)專題。在數(shù)學(xué)分析第三學(xué)期的教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了概率論的相關(guān)知識(shí)，可開設(shè)“數(shù)學(xué)分析方法在概率論中的應(yīng)用”、“數(shù)學(xué)分析方法在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用”、“概率論方法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用”等專題。在專題課上，可通過歸納總結(jié)、引入相關(guān)例題的方式，介紹數(shù)學(xué)分析知識(shí)在概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、回歸分析、時(shí)間序列等中的應(yīng)用；同樣也可介紹用概率論方法解決極限問題、無窮級(jí)數(shù)問題、積分問題、恒等式與不等式問題等。通過這些專題使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)各學(xué)科間千絲萬縷的聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的奇妙，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)概率論課程改革的研究

概率論是隨機(jī)數(shù)學(xué)的典型代表，其理論性強(qiáng)，內(nèi)容抽象，應(yīng)用廣泛。結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)特點(diǎn)，從以下幾個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)改革的研究。

第一，在教學(xué)中運(yùn)用案例教學(xué)法，融入數(shù)學(xué)建模的思想。一方面精心挑選具有實(shí)際背景的例題，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受到概率論廣泛的應(yīng)用性，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)的興趣；另一方面，在知識(shí)點(diǎn)和例題的講解中，盡量以具體數(shù)字代替抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，避免因符號(hào)的抽象性而帶來學(xué)生理解難度的增大，降低概率論在教學(xué)過程中的抽象性。

第二，調(diào)整課程教學(xué)的重點(diǎn)，并且滲透概率論知識(shí)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用。我們將從以下四個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)改革。（1）重點(diǎn)講解在統(tǒng)計(jì)學(xué)后繼專業(yè)課程中使用較多的知識(shí)點(diǎn)，并通過例題讓學(xué)生深入體會(huì)這些知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵和應(yīng)用。例如“貝葉斯公式”、“二項(xiàng)分布”、“泊松分布”、“正態(tài)分布”、“指數(shù)分布”、“隨機(jī)變量函數(shù)的分布”、“相關(guān)系數(shù)”、“大數(shù)定律”和“中心極限定理”等知識(shí)點(diǎn)。（2）對(duì)于一些極限定理，授課時(shí)重點(diǎn)講解定理和性質(zhì)的思想，并通過例題使學(xué)生理解其內(nèi)涵，學(xué)會(huì)其應(yīng)用的方法；而對(duì)于證明部分，可適當(dāng)降低要求，或采取學(xué)生課下自學(xué)的方式。例如“概率的上（下）連續(xù)性”相關(guān)性質(zhì)的證明，常用的幾個(gè)“大數(shù)定律”的證明和“中心極限定理”的證明。（3）由于授課對(duì)象為統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，對(duì)一些概率論中的非核心內(nèi)容而在后繼統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)課程中比較重要的知識(shí)點(diǎn)要詳細(xì)講解。例如“伽瑪分布”、“蒙特卡羅法”（由隨機(jī)變量函數(shù)的性質(zhì)獲得產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法）、“分位數(shù)”等內(nèi)容。（4）在概率論課程的教學(xué)中，滲透概率論知識(shí)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用。例如講解“中心極限定理”在大樣本檢驗(yàn)中的應(yīng)用，“二項(xiàng)分布”在符號(hào)檢驗(yàn)中的應(yīng)用，“超幾何分布”在Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)中的應(yīng)用，“Lindburg-Levy中心極限定理”在正態(tài)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生和數(shù)值計(jì)算誤差分析中的應(yīng)用。

第三，在概率論課程上，適當(dāng)提前講解部分?jǐn)?shù)學(xué)分析的知識(shí)。雖然在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革中，對(duì)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)內(nèi)容的順序進(jìn)行了調(diào)整，但是為了保證概率論課程的正常進(jìn)行，仍需在概率論課上提前講授數(shù)學(xué)分析的部分知識(shí)點(diǎn)。例如在講解“概率的公理化定義”和“離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望”時(shí)，經(jīng)過教學(xué)改革調(diào)整后的數(shù)學(xué)分析課程還未講授數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)部分，這便需要在概率論課程上提前講解級(jí)數(shù)的定義和絕對(duì)收斂的相關(guān)知識(shí)。這些講解無需深入，只需滿足概率論課程的正常開展即可。

第四，開設(shè)處理實(shí)際生活中隨機(jī)問題的專題。通過介紹一些處理概率論問題中既有趣又有用的新思想、新方法與新內(nèi)容，開闊學(xué)生的視野。例如可開設(shè)“分賭注問題”、“抽牌游戲”、“信封與信配對(duì)問題”、“人壽保險(xiǎn)問題”、“乘客等車時(shí)間問題”、“下電梯問題”、“價(jià)格預(yù)測(cè)”等專題。

三、概率論與數(shù)學(xué)分析方法的相互應(yīng)用

雖然數(shù)學(xué)分析與概率論是數(shù)學(xué)的兩個(gè)不同分支，但數(shù)學(xué)分析的發(fā)展為概率論奠定了基礎(chǔ)，而概率論中隨機(jī)性、反因果論也推動(dòng)著數(shù)學(xué)分析的發(fā)展。二者的緊密結(jié)合性不僅體現(xiàn)在學(xué)科發(fā)展上，而且在教學(xué)上也有著相輔相成的意義。

（一）在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中融入建模思想，引入用概率解題的方法

概率論思維與一般數(shù)學(xué)思維的結(jié)構(gòu)類同，通過建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ停瑧?yīng)用概率方法不僅能解決一些隨機(jī)的數(shù)學(xué)問題，而且還可以解決一些確定的數(shù)學(xué)問題。尋找并歸納總結(jié)概率方法、模型和概率論中相關(guān)定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用，比如用概率論知識(shí)方法解決極限問題、無窮級(jí)數(shù)問題、積分問題、恒等式與不等式問題等。將一些確定性的問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性的問題，使得數(shù)學(xué)分析中某些比較繁雜的問題得以高效、簡(jiǎn)捷地解決，以期激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生從中體會(huì)到數(shù)學(xué)的奇妙所在。例如用“蒙特卡羅方法”計(jì)算定積分（隨機(jī)投點(diǎn)法），利用“隨機(jī)變量分布函數(shù)”的性質(zhì)簡(jiǎn)化積分的計(jì)算等。在下述數(shù)學(xué)分析求重積分的例題中，用普通的近似方法無法求解，而利用概率論中的“大數(shù)定律”可獲得n重積分（n很大時(shí)）的極限值。

例題：設(shè)G■=x■，x■，…，x■？搖x■■+x■■+…+x■■≤■，0≤x■，x■，…，x■≤1，求極限■■■dx■dx■…dx■.

解：設(shè)隨機(jī)變量序列ξ■，n=1，2，…獨(dú)立同分布，在0，1上服從均勻分布，則有Eξ■=■，Dξ■=■.因此■■■dx■dx■…dx■

=Pξ■■，ξ■■，…，ξ■■∈Gn=Pξ■■+ξ■■+…+ξ■■≤■■

=P■ξ■■+ξ■■+…+ξ■■？搖≤■

=P■ξ■■+ξ■■+…+ξ■■？搖-Eξ■？搖≤■

≥P■■ξ■■-Eξ■■？搖？搖≤■

由于ξ■獨(dú)立同分布，故ξ■■獨(dú)立同分布。運(yùn)用辛欽大數(shù)定律，知：

■P■■ξ■■-Eξ■■？搖？搖≤■=1

從而得到■P■ξ■■+ξ■■+…+ξ■■？搖-Eξ■？搖≤■=1.即：

■■■dx■dx■…dx■=1.

（二）在概率論教學(xué)中體會(huì)數(shù)學(xué)分析的思想內(nèi)涵，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科，有廣泛的應(yīng)用性。但同時(shí)，自Kolmogrov提出公理化體系之后，概率論中用以解決實(shí)際問題主要是通過分析手段。概率論是在數(shù)學(xué)分析課程的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，學(xué)生在概率論的學(xué)習(xí)中可鞏固數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)知識(shí)，在概率論數(shù)學(xué)化論證和嚴(yán)密的推理中進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)分析的內(nèi)涵，理解數(shù)學(xué)分析解決問題的思維方式，使知識(shí)整體化、系統(tǒng)化。例如，在概率論中講授“分布函數(shù)”時(shí)，學(xué)生可鞏固數(shù)學(xué)分析中“無窮積分”的知識(shí)；在講授“泊松分布”時(shí)，學(xué)生可體會(huì)“泰勒展開”的意義；在講授“正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差”時(shí)，學(xué)生可通過積分求值■■■e■dx=■的計(jì)算過程對(duì)數(shù)學(xué)分析知識(shí)有所鞏固提高；在講授“連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布”時(shí)，學(xué)生可鞏固“變上限積分”的知識(shí)；在講授“Γ分布”時(shí)，學(xué)生可認(rèn)識(shí)到“歐拉積分”的重要性；在講授“連續(xù)隨機(jī)變量的條件分布”時(shí)，學(xué)生可體會(huì)“積分中值定理”的應(yīng)用。

在概率論教學(xué)中，不僅要幫助學(xué)生從中體會(huì)數(shù)學(xué)分析的思想內(nèi)涵，而且通過概率論的實(shí)際解題，幫助學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)性作用，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如在處理“配對(duì)問題”——“在一個(gè)有n個(gè)人參加的晚會(huì)上，每個(gè)人帶了一件禮物，且假定各人帶的禮物都不相同。晚會(huì)期間各人從放在一起的n件禮物中隨機(jī)抽取一件，問至少有一個(gè)人自己抽到自己禮物的概率是多少”時(shí)，通過概率的加法公式可得到至少有一個(gè)人自己抽到自己禮物的概率為1-■+■-■+…+-1■■。當(dāng)n≥5時(shí)，計(jì)算較為繁雜，這時(shí)若用e■的泰勒展開，便可得到此概率的近似值，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算。

總之，通過在探索中不斷實(shí)踐，在實(shí)踐中不斷探索，能夠很好的進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程《數(shù)學(xué)分析和概率論》的教學(xué)改革。

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