數(shù)學(xué)軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用探析

程登彪

(萊蕪職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，山東 萊蕪271100)

摘要：數(shù)學(xué)軟件對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)有很好的輔助作用，主要體現(xiàn)在計(jì)算輔助、圖形教學(xué)輔助、數(shù)學(xué)模型解答輔助和高數(shù)教材問(wèn)題探索輔助等方面，能夠熟練靈活地利用數(shù)學(xué)軟件對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革意義重大。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)軟件；高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)

收稿日期：2015-06-18

基金項(xiàng)目：本文系萊蕪職業(yè)技術(shù)學(xué)院2013年教學(xué)改革項(xiàng)目“基于數(shù)學(xué)軟件的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索”的研究在果。

作者簡(jiǎn)介：程登彪(1974-)，男，山東萊蕪人，萊蕪職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系講師，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)模型應(yīng)用。

中圖分類號(hào)：G64

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-8275(2015)04-0057-03

Abstract:With the development of computer technology , mathematical software plays a good supporting role in advanced mathematics teaching, which mainly involves in computer aided, graphic teaching aid, mathematical model solving auxiliary and the problem exploring aid of advanced mathematics teaching materials. It has great significance for advanced mathematics teaching to master mathematical software skillfully and flexibly.

數(shù)學(xué)軟件就是專門用來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)運(yùn)算、工程運(yùn)算、繪制數(shù)學(xué)圖形或制作數(shù)學(xué)動(dòng)畫(huà)的一種計(jì)算機(jī)工具。本文主要以幾何畫(huà)板、lingo、matlab為例談?wù)剶?shù)學(xué)軟件在輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。

1數(shù)學(xué)軟件在高數(shù)計(jì)算和數(shù)學(xué)知識(shí)鞏固中的作用

數(shù)學(xué)軟件輔助計(jì)算是數(shù)學(xué)軟件的最基本的功能之一，比如我們平常使用的手掌大小的計(jì)算器就是一個(gè)小型的數(shù)學(xué)軟件。數(shù)學(xué)計(jì)算是數(shù)學(xué)的核心。從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展來(lái)看，數(shù)學(xué)的計(jì)算都是數(shù)學(xué)存在的根本目的。數(shù)學(xué)的問(wèn)題大都需要通過(guò)一系列的計(jì)算和推導(dǎo)得到一個(gè)結(jié)果，用于現(xiàn)實(shí)生活或科學(xué)研究。通過(guò)數(shù)學(xué)軟件的使用能夠培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力和數(shù)學(xué)知識(shí)鞏固程度。

數(shù)學(xué)計(jì)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)基本能力[1]。數(shù)學(xué)的計(jì)算能力能夠帶動(dòng)和培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、發(fā)散思維能力和空間想象能力?？疾鞂W(xué)生計(jì)算能力的四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是準(zhǔn)確程度、合理程度、快慢程度和簡(jiǎn)潔程度。如果僅僅知道如何計(jì)算，但是計(jì)算結(jié)果總是錯(cuò)誤，那就是計(jì)算能力欠缺，這樣的學(xué)生不在少數(shù)。例如導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，很多學(xué)生都知道導(dǎo)數(shù)的計(jì)算有五種辦法(導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)、反函數(shù)求導(dǎo))，但是計(jì)算的時(shí)候不能融會(huì)貫通，掛一漏萬(wàn)，錯(cuò)誤百出，這就是計(jì)算能力不佳。在數(shù)學(xué)軟件的幫助下，可以較好的提高和培養(yǎng)學(xué)生們的計(jì)算能力。我們都知道，很多學(xué)生愛(ài)玩電腦，但是僅限于娛樂(lè)。通過(guò)實(shí)踐，我們把一些數(shù)學(xué)的計(jì)算搬到電腦上，像娛樂(lè)一樣吸引學(xué)生先用數(shù)學(xué)軟件計(jì)算，然后自己再動(dòng)手計(jì)算，兩者比較學(xué)習(xí)，取得了良好的教學(xué)效果。

要想進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算，必須了解和掌握數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)，包括概念、定理、性質(zhì)、公式等等知識(shí)。只有經(jīng)過(guò)反復(fù)大量的計(jì)算，才能加深學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)的鞏固程度。數(shù)學(xué)軟件僅是個(gè)工具，學(xué)生們使用它之前必須首先根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)列好要計(jì)算的式子，然后輸入，才能使之工作。這個(gè)過(guò)程調(diào)動(dòng)了學(xué)生們的積極性，吸引他們查閱數(shù)學(xué)教材，鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)。

例如，“定積分的應(yīng)用”這一節(jié)，不管是利用定積分計(jì)算某圖形的面積還是體積，都要首先列出計(jì)算的式子，然后再利用計(jì)算機(jī)計(jì)算出結(jié)果。經(jīng)過(guò)我們的項(xiàng)目實(shí)踐，很多學(xué)生為了在計(jì)算機(jī)上計(jì)算出正確的結(jié)果，反復(fù)思考列式，對(duì)定積分如何求面積、如何求體積的知識(shí)掌握較好。

2數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)圖形教學(xué)方面的輔助

數(shù)學(xué)軟件繪制數(shù)學(xué)圖形對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)有很重要的作用。在中學(xué)階段，數(shù)形結(jié)合是進(jìn)行代數(shù)和幾何教學(xué)的重要方法。在高等數(shù)學(xué)階段，也是如此。函數(shù)的代數(shù)表達(dá)式，如果用直角坐標(biāo)系內(nèi)的各個(gè)點(diǎn)(x,y)表示出來(lái)，對(duì)學(xué)生的吸引力比代數(shù)式要強(qiáng)百倍。

2.1數(shù)學(xué)圖形能夠直觀表達(dá)數(shù)學(xué)變量之間的關(guān)系，避免繁瑣的理論證明，易于學(xué)生理解

2.2數(shù)學(xué)圖形能夠直觀展示數(shù)學(xué)代數(shù)式的發(fā)展變化，淡化代數(shù)式的抽象性，易于理解

關(guān)于這一方面，在高等數(shù)學(xué)函數(shù)的性質(zhì)與描繪(單調(diào)性、凹凸性、極值性等)幾節(jié)的學(xué)習(xí)中，尤其明顯。函數(shù)代數(shù)式的單調(diào)性、極值性、凹凸性、漸近線等，如果僅是理論講解，很多學(xué)生不明白，那些空間想象能力差的學(xué)生更是基本上不理解。但是配合數(shù)學(xué)軟件的輔助能夠取得極好的效果。設(shè)函數(shù)y=x3-6x2+9x，利用幾何畫(huà)板畫(huà)出它的圖像。從圖像易看出，圖像下凸單調(diào)上升，有一個(gè)極大值點(diǎn)和拐點(diǎn)，短暫下降，又有一個(gè)極小值點(diǎn)和拐點(diǎn)，上凸單調(diào)上升。知道了這些結(jié)果，教師提問(wèn)：那么我們不畫(huà)圖，我們又該如何知道函數(shù)的單調(diào)上升、下降和極大值、極小值呢？從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行函數(shù)代數(shù)理論的學(xué)習(xí)，也就是利用一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的研究函數(shù)代數(shù)式。

上面是二元函數(shù)和二維坐標(biāo)系，如果在三元函數(shù)里面學(xué)習(xí)，由于知識(shí)更復(fù)雜，學(xué)生們會(huì)更加難以理解和學(xué)習(xí)，這時(shí)候結(jié)合MATLAB數(shù)學(xué)軟件的三維畫(huà)圖功能，就能大大提高高數(shù)教學(xué)的效率。設(shè)函數(shù)z=x2+y2，此函數(shù)的極值如何？通過(guò)MATLAB數(shù)學(xué)軟件輔助畫(huà)圖，學(xué)生更易于明白。

圖1　z=x2+y2三維圖

通過(guò)圖像可以看出，這個(gè)二元函數(shù)有一個(gè)極小值點(diǎn)，在(0，0，0)處。

總之，數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)圖形方面的教學(xué)輔助經(jīng)過(guò)我們的項(xiàng)目實(shí)驗(yàn)，意義極大。現(xiàn)在各所學(xué)校教室都已經(jīng)是多媒體教室，硬件方面已經(jīng)配足，只要數(shù)學(xué)教師大膽使用，必將取得很大的成績(jī)。

3數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)模型方面的輔助

數(shù)學(xué)模型，就是反映特定問(wèn)題或者特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系的結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的目的就是為了解決具體的實(shí)際問(wèn)題。建立數(shù)學(xué)模型，首先要分析問(wèn)題，哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示；其次根據(jù)所給的條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)、物理或者經(jīng)濟(jì)、社會(huì)的知識(shí)，確定數(shù)量關(guān)系；最后具體寫(xiě)出解析表達(dá)式，然后確定求解。

一般情況下，數(shù)學(xué)模型的最后表達(dá)式有兩類，一類是復(fù)雜的計(jì)算式子，另一類是最優(yōu)化的問(wèn)題。對(duì)于復(fù)雜的計(jì)算式子，也就是數(shù)學(xué)軟件的計(jì)算功能，上面已經(jīng)論述，再此不再詳述。最優(yōu)化的問(wèn)題是數(shù)學(xué)軟件解決的一大類數(shù)學(xué)問(wèn)題，也是我們?nèi)斯な止び?jì)算極難解決的問(wèn)題。所謂最優(yōu)化的問(wèn)題，就是給定一個(gè)函數(shù)或者幾個(gè)函數(shù)，在一定的范圍內(nèi)，尋找一個(gè)值，使得此函數(shù)達(dá)到最大或者最小值。

數(shù)學(xué)建模是我們學(xué)習(xí)高數(shù)的最高境界，因?yàn)閿?shù)學(xué)就是為了應(yīng)用。而數(shù)學(xué)建模是把高數(shù)理論應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，解決具體問(wèn)題，所以價(jià)值極大。我們國(guó)家每年9月份要進(jìn)行全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，活動(dòng)影響極大，培養(yǎng)了很多高素質(zhì)的數(shù)學(xué)建模高手。高數(shù)理論性較強(qiáng)，學(xué)習(xí)高數(shù)的過(guò)程中，適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練，不僅能夠拓展高數(shù)的所學(xué)知識(shí)，而且能夠使得學(xué)生明白，高等數(shù)學(xué)不是僅僅停留在理論層次上，它其實(shí)是有大用處的。

下面我們來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的最優(yōu)化的問(wèn)題。最優(yōu)化的問(wèn)題在我們高數(shù)教材內(nèi)已經(jīng)有所滲透，比如高等數(shù)學(xué)教材題目，有一塊鐵皮，寬為24cm，要把它的兩邊折起來(lái)做成一個(gè)梯形斷面水槽，使此水槽中的水的流量最大，那么傾角α和梯形腰x各為多少？這是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。

首先求得梯形面積的復(fù)雜表達(dá)式，f(x,α)=(24-2x+2xcosα)xsinα-x2sinαcosα。直接求解最優(yōu)值很繁瑣，借助數(shù)學(xué)軟件可以事半功倍。

利用數(shù)學(xué)軟件的最優(yōu)化功能解決，有兩個(gè)辦法，一個(gè)是利用matlab編制下面的程序：

af=0:0.01:pi/2;x=0:0.01:12;[af,x]=meshgrid(af，x);f=24*x.*sin(af)-2*x.^2.*sin(af)+x.^2.*cos(af).*sin(af);

fmax=max(max(f))

[i，j]=find(f==fmax)

另一個(gè)辦法是用lingo求解，在lingo工作區(qū)內(nèi)輸入下列命令：

max=(24-2*x+2*x*@cos(af))*x*@sin(af)-x^2*@sin(af)*@cos(af);

@bnd(0,af,3.1415926/2);

求解結(jié)果同上。一題用多種數(shù)學(xué)軟件求解，可以幫助學(xué)生深化知識(shí)，提高能力。

4數(shù)學(xué)軟件在高數(shù)教材問(wèn)題探索方面的輔助

高等數(shù)學(xué)內(nèi)容都是前人一點(diǎn)一滴的探索發(fā)現(xiàn)、累積起來(lái)的。發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)法告訴我們，利用發(fā)現(xiàn)法學(xué)習(xí)，讓學(xué)生身臨其境的從無(wú)到有的探索數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，可以幫助學(xué)生深刻學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和能力。高等數(shù)學(xué)的教材內(nèi)容中有一些需要做探索性實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)結(jié)果，以使學(xué)生更明白數(shù)學(xué)知識(shí)。在這方面，數(shù)學(xué)軟件起到了很好的輔助作用。通過(guò)數(shù)學(xué)軟件的演示和展現(xiàn)，能夠表達(dá)清楚數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈。

例如拉格朗日中值定理中尋找ζ，如果教師僅僅是在黑板上畫(huà)圖，學(xué)生們感覺(jué)枯燥無(wú)味。但是如果利用幾何畫(huà)板軟件做一個(gè)動(dòng)畫(huà)來(lái)展示和尋找，學(xué)生們就感覺(jué)很新奇，不僅引起學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣而且還能很容易的找到滿足f(a)-f(b)=f′(ζ)(a-b)的ζ點(diǎn)。如圖2，點(diǎn)擊“動(dòng)畫(huà)線段”，讓直線沿著函數(shù)曲線走動(dòng)，當(dāng)走動(dòng)到直線和連接AB的線段平行時(shí)，就找到了滿足f(a)-f(b)=f(ζ)(a-b)點(diǎn)ζ。

圖2　拉格朗日中值定理動(dòng)畫(huà)截圖

這樣，教師總結(jié)出在區(qū)間(a,b)上一定存在至少一個(gè)點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)內(nèi)還有其他很多類似的可以利用數(shù)學(xué)軟件探索發(fā)現(xiàn)的事例，各位教師可以自行實(shí)驗(yàn)。操作軟件的目的，是為了使學(xué)生們更容易理解數(shù)學(xué)知識(shí)，目的是過(guò)渡到數(shù)學(xué)知識(shí)，所以直觀之后是理論的建立。教師要避免大部分時(shí)間操作軟件，學(xué)生只是觀察軟件演示結(jié)果，沒(méi)有及時(shí)過(guò)渡到理論，那么學(xué)生對(duì)知識(shí)僅停留在直觀層面，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握難以湊效，那就違背了數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)的初衷。

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責(zé)任編輯：呂明

Analysis on the Role of Mathematical Software

in Advanced Mathematics Teaching

CHENG Deng-biao

Key words:mathematical software; advanced mathematics; mathematics teaching