利用微分方程證明反正弦加法定理

劉春平1，劉曉平2

(1.揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚州225002； 2. 揚州市職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇揚州225002)

[摘要]利用微分方程和函數(shù)的連續(xù)性給出了反正弦加法定理一種新證法，該證法可清晰地顯示如何分區(qū)域討論問題.

[關(guān)鍵詞]微分方程； 連續(xù)性； 反正弦加法定理

[收稿日期]2014-09-15

[中圖分類號]O171[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

1引言

反正弦加法定理是數(shù)學(xué)分析中一個經(jīng)典的定理，吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[1]第777題為

證明反正弦加法定理

(1)

式中，若xy≤0或x2+y2≤1,ε=0; 若xy>0及x2+y2>1,ε=sgnx.

該定理常規(guī)的證明方法是令

2反正弦加法定理的新證法

首先考慮二元函數(shù)

(2)

(3)

記

圖1

P1=(1,0),P2=(0,1),P3=(-1,0),P4=(0,-1), 顯然有L=L1∪L2. 曲線L將平面區(qū)域D分為三部分(見圖1):

D1={(x,y)|x2+y2>1,0

D2={(x,y)|x2+y2>1,-1

D3=D(D1∪P1∪P2∪L1∪D2∪P3∪P4∪L2).

(i) 當(dāng)(x,y)∈D1時，

因為

所以

(4)

將(4)式兩邊關(guān)于x積分得

F(x,y)=-arcsinx+φ1(y).

(5)

再由(5)式兩邊關(guān)于y求導(dǎo),得

(6)

(6)式兩邊關(guān)于y積分得φ1(y)=-arcsiny+C1,其中C1為積分常數(shù).因此，

F(x,y)=-arcsinx-arcsiny+C1.

(7)

(ii) 當(dāng)(x,y)∈D2時，類似于(i)的推導(dǎo)過程，有

F(x,y)=-arcsinx-arcsiny+C2,

(8)

其中C2為積分常數(shù).

(9)

將(9)式兩邊關(guān)于x積分得

F(x,y)=arcsinx+φ3(y).

(10)

再由

(11)

兩邊關(guān)于y積分得φ3(y)=arcsiny+C3,其中C3為積分常數(shù).因此，

F(x,y)=arcsinx+arcsiny+C3.

(12)

由(i)～(iii)，有

(13)

下面，利用函數(shù)的連續(xù)性來確定積分常數(shù)Ck,(k=1,2,3).以?D,?Dk(k=1,2,3)分別表示D和Dk(k=1,2,3)的邊界，注意到函數(shù)F(x,y)是初等函數(shù)，它在D∪?D上連續(xù)，由

以及F(0,0)=arcsin0=0,arcsin0=0,可知C3=0. 此外，注意到

可知F(x,y)在L1∪P1∪P2上連續(xù)，類似可知F(x,y)在L2∪P3∪P4上連續(xù).

綜合上面結(jié)果可知

(14)

其中

3結(jié)論

[參考文獻(xiàn)]

[1]吉米多維奇. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[M]. 北京:人民教育出版社，1978: 82.

[2]費定暉，周學(xué)圣，等.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解1 [M]. 4版. 濟(jì)南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社，2014，196-197.

Using Differential Equation Prove the Arcsine Addition Theorem

LIUChun-ping1，LIUXiao-ping2

(1. Institute of Mathematics, Yangzhou University, Yangzhou Jiangsu 225002, China;

2. Institute of Mathematics, Yangzhou Polytechnic College, Yangzhou Jiangsu 225002, China)

Abstract:By using differential equation and continuity of function, a new proof of the arcsine addition theorem is given. This method can clearly show how to partition domains and discuss the problem.

Key words: differential equation; continuity； arcsine addition theorem