數(shù)列{sinnk}發(fā)散的證明

焦紅英，劉衛(wèi)江，梁放馳

(空軍工程大學(xué)理學(xué)院，西安710051)

[摘要]研究了當(dāng)k是正整數(shù)時(shí)，數(shù)列{sinnk}的斂散性，文獻(xiàn)[1]給出了{(lán)sinn}和{sinn2}發(fā)散的證明，但是證明方法復(fù)雜，不便閱讀.為此，本文進(jìn)行了兩個(gè)方面的研究：一方面是運(yùn)用簡單的方法證明了{(lán)sinn}和{sinn2}的發(fā)散；另一方面證明了一個(gè)重要結(jié)論，即{sinnk}發(fā)散.

[關(guān)鍵詞]數(shù)列； 斂散性； 極限

[收稿日期]2014-12-29;[修改日期]2015-02-28

[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金(1107125)； 國家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目(201490052045)

[中圖分類號(hào)]O174.3[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

1引言

關(guān)于數(shù)列{sinnk}的斂散性，當(dāng)k是正整數(shù)時(shí)，文獻(xiàn)[1]對(duì)此作了討論.對(duì)于k≥3的情形作者猜想{sinnk}發(fā)散，而對(duì)k=1和k=2的情形，作者給出了{(lán)sinn}和{sinn2}發(fā)散的證明，不過證明方法比較復(fù)雜，似乎不太適合廣泛的學(xué)習(xí)閱讀.以下本文給出一種比較簡單的證明數(shù)列{sinn}和{sinn2}發(fā)散的方法，并同時(shí)給出k≥3時(shí)，{sinnk}發(fā)散的證明.

2主要結(jié)論

首先，利用三角函數(shù)公式，容易證明以下結(jié)論: ?x，y∈

sin2y=sin2(x+y)-sinx·sin(x+2y)，

(1)

sin2y=cos2(x+y)-cosx·cos(x+2y).

(2)

定理1如果sinp≠0，則數(shù)列{sin(pn+q)}，{cos(pn+q)}發(fā)散；如果sin(48a)≠0，則{sin(an2+b)}，{cos(an2+b)}發(fā)散.

sin2p =sin2(p(n+1)+q)-sin(pn+q)·sin(pn+q+2p)

=sin2(p(n+1)+q)-sin(pn+q)·sin(p(n+2)+q).

(3)

若令n→∞，則有sin2p=A2-A·A=0 矛盾.

sin2p =cos2(p(n+1)+q)-cos(pn+q)·cos(pn+q+2p)

=cos2(p(n+1)+q)-cos(pn+q)·cos(p(n+2)+q).

(4)

若令n→∞，則有sin2p=B2-B·B=0 矛盾.

sin2(24an2) =sin2(an2+b+24an2)-sin(an2+b)·sin(an2+b+48an2)

=sin2(a(5n)2+b)-sin(an2+b)·sin(a(7n)2+b).

(5)

若令n→∞，則有sin2(24an2)=C2-C·C=0.

即

再由

sin(24a(n+1)2-24an2)=sin(48an+24a)

=sin(24a(n+1)2)cos(24an2)-cos(24a(n+1)2)sin(24an2).

(6)

注意到{cos(24an2)}及{cos(24a(n+1)2)}有界.令n→∞，則有

又

sin(48a)=sin[48a(n+1)+24a-(48an+24a)]

=sin[48a(n+1)+24a]cos(48an+24a)-cos[48a(n+1)+24a]sin(48an+24a).

(7)

注意到{cos(48an+24a)}及{cos(48a(n+1)+24a)}有界.再令n→∞，則有sin48a=0矛盾.所以， {sin(an2+b)}發(fā)散.

sin2(24an2) =cos2(an2+b+24an2)-cos(an2+b)·cos(an2+b+48an2)

=cos2(a(5n)2+b)-cos(an2+b)·cos(a(7n)2+b).

(8)

若令n→∞，則有sin2(24an2)=D2-D·D=0.即

再由

sin(24a(n+1)2-24an2)=sin(48an+24a)

=sin(24a(n+1)2)cos(24an2)-cos(24a(n+1)2)sin(24an2).

(9)

注意到{cos(24an2)}及{cos(24a(n+1)2)}有界.令n→∞，有

又

sin(48a) =sin[48a(n+1)+24a-(48an+24a)]

=sin[48a(n+1)+24a]cos(48an+24a)-cos[48a(n+1)+24a]sin(48an+24a).

(10)

注意到{cos(48an+24a)}及{cos(48a(n+1)+24a)}有界.再令n→∞，則有sin48a=0矛盾.所以，{cos(an2+b)}發(fā)散.

通過定理1證明，很容易得到以下兩個(gè)推論：

推論1定理1中，若p=1，q=0，則數(shù)列{sinn}，{cosn}發(fā)散.

推論2定理1中，若a=1，b=0，則數(shù)列{sinn2}，{cosn2} 發(fā)散.

為了進(jìn)一步證明對(duì)任意的正整數(shù)k，數(shù)列{sinnk} 發(fā)散，還需要兩個(gè)引理作為鋪墊.

引理1設(shè)k為正整數(shù)，則存在整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)，使得

sin(2kx)=cosx·f(sinx).

這個(gè)結(jié)論只要反復(fù)利用正弦的倍角公式，即可證明.

引理2設(shè)ψ(x)是次數(shù)不低于1的整系數(shù)多項(xiàng)式，則數(shù)列{sinψ(n)}不可能以零為極限.

證對(duì)ψ(x)的次數(shù)使用歸納法.

當(dāng)k=1時(shí)，ψ(x)=px+q，其中p，q 為整數(shù).由定理1可知{sinψ(n)}發(fā)散.所以，k=1時(shí)命題成立.

而

sin[ψ(n+1)-ψ(n)]=sin(ψ(n+1))cos(ψ(n))-cos(ψ(n+1))sin(ψ(n)).

故

但ψ(x+1)-ψ(x)是k次多項(xiàng)式，由歸納假設(shè)

矛盾.所以，命題對(duì)k+1亦成立.

定理2設(shè)k為正整數(shù)，則數(shù)列{sinnk}發(fā)散.

由引理1知，存在整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)，使得

sin(2k·nk)=cos(nk)f(sinnk).

由f(x)的連續(xù)性可知

sin[(n+1)k-nk]=sin(n+1)kcosnk-cos(n+1)ksinnk.

令n→∞，有

但ψ(x)=(x+1)k-xk是k-1次多項(xiàng)式，所以當(dāng)k>1時(shí)與引理2的結(jié)論矛盾.

當(dāng)k=1時(shí)，

同樣矛盾.

綜上所述，當(dāng)k是正整數(shù)時(shí)，{sinnk}發(fā)散.

[參考文獻(xiàn)]

[1]舒陽春.高等數(shù)學(xué)中的若干問題解析[M].北京:科學(xué)出版社，2006.

[2]李文榮.分析中的問題研究[M].北京:中國工人出版社，2001.

[3]錢昌本.高等數(shù)學(xué)解題過程中的分析和研究[M].北京:科學(xué)出版社，1999.

[4]侯云暢，馮有前，劉衛(wèi)江.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2000.

Proof of Sequence {sinnk} Divergence

JIAOHong-ying，LIUWei-jiang，LIANGFang-chi

(Science of College， Air Force Engineering University， Xi’an 710051， China)

Abstract:When k is a positive integer， the sequence {sinnk} of convergence and divergence of the literature [1] only gives {sinn} and {sinn2} diverge proof， but proof complexity， inconvenience read. In this paper， we studied two aspects: on the one hand is the use of a simple method proof {sinn} and {sinn2} divergence; On the other hand proved an important conclusion that {sinnk} diverge.

Key words: sequence; convergence and divergence; limit