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        例談循序漸進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)

        2015-12-03 17:39:26邱海燕
        文理導(dǎo)航 2015年35期
        關(guān)鍵詞:中心對(duì)稱奇函數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)

        邱海燕

        【摘 要】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)一般尊崇從易到難、從特殊到一般、從具體到抽象、從感性到理性的設(shè)計(jì)原則,具備良好的設(shè)計(jì)是課堂教學(xué)成果的基本,本文從幾個(gè)原則出發(fā)談?wù)務(wù)n堂教學(xué)設(shè)計(jì)的循序漸進(jìn).

        【關(guān)鍵詞】課堂教學(xué);數(shù)學(xué);循序漸進(jìn);理性;感性;具體;抽象;特殊;一般

        數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本,它將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)、形式化的數(shù)學(xué)結(jié)果以通俗易懂的方式傳遞給學(xué)生,這與教材和書籍大不一樣(書籍中的數(shù)學(xué)知識(shí)是線性的排列著),合理的數(shù)學(xué)教學(xué)需要將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)傳授的有趣和有效(章建躍語(yǔ))。

        數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)如何實(shí)施是比較符合當(dāng)下課程教學(xué)理念呢?在近年來(lái)課堂教學(xué)中,愈來(lái)愈多的教學(xué)演變?yōu)榉佃睔w真型,不再像新課程實(shí)施之初般“凡探究言必稱討論、凡討論必需熱熱鬧鬧”的偽探究,而在課堂教學(xué)中卻比較忽視了合理的、符合學(xué)生認(rèn)知心理的設(shè)計(jì),筆者以前常常聽到這樣的公開課,對(duì)場(chǎng)面的追求非常細(xì)致,卻忽視對(duì)教學(xué)原本的設(shè)計(jì),即以循序漸進(jìn)原則分解數(shù)學(xué)知識(shí)、以符合學(xué)生認(rèn)知心理過程的設(shè)計(jì)教學(xué)才是貼合課程理念的要求的。

        1.從特殊到一般

        特殊到一般的設(shè)計(jì)原則是數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用最為普遍的設(shè)計(jì)方式,這一方式比較符合中學(xué)生(尤其是高中生)。從心理學(xué)認(rèn)知理論來(lái)說(shuō),中學(xué)生的認(rèn)知首先緣自特定的模型,這種特定的模型需要簡(jiǎn)潔、直觀,并且從多次模型認(rèn)知中總結(jié)了一定的經(jīng)驗(yàn),進(jìn)而得到更為一般性的規(guī)律。這種設(shè)計(jì)方式有比較多的教學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)用,如:函數(shù)概念教學(xué)中的從特殊的數(shù)集間關(guān)系歸納出函數(shù)形式化的概念結(jié)果,如運(yùn)用物理學(xué)中功的概念類比去思考向量數(shù)量積的一般性結(jié)論等等。

        案例1:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像及應(yīng)用。

        基本知識(shí)部分從用五點(diǎn)法畫y=Asin(ωx+φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖、函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象的步驟、函數(shù)圖像的對(duì)稱性等三方面對(duì)本節(jié)知識(shí)進(jìn)行了詳盡的闡述;基本技能部分給出了兩個(gè)題型:(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像及變換;(2)求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式,分別從形和數(shù)兩方面進(jìn)行分析。

        設(shè)計(jì)1:已知函數(shù)y=2sin(2x+)。(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五點(diǎn)法”作出它的一個(gè)周期內(nèi)的圖像;(3)說(shuō)明y=2sin(2x+)的圖像可由y=sinx的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到。

        設(shè)計(jì)意圖:安排本例題,目的是對(duì)本節(jié)的概念內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的回顧與介紹,并對(duì)圖形變換的兩種方式在具體問題上實(shí)施了強(qiáng)有力的復(fù)習(xí)。

        設(shè)計(jì)2:把函數(shù)y=cos2x+1的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖像是__________。

        設(shè)計(jì)意圖:本題是浙江省2012年文科高考試題第6題,難度適中,貼近考生實(shí)際水平,它一方面從函數(shù)解析式角度出發(fā),另一方面,從圖像、周期、最值的綜合角度分析,得出正確答案,起到很好的復(fù)習(xí)作用。

        設(shè)計(jì)3:y=cos2x+1的對(duì)稱中心?

        設(shè)計(jì)意圖:見慣了對(duì)稱中心在x軸上的圖像,提出這樣一個(gè)反思,一方面考查了對(duì)稱中心的知識(shí),更重要的是豐富了知識(shí)面,完善了考點(diǎn)知識(shí)。

        設(shè)計(jì)4:設(shè)函數(shù)f(x)=cosωx(ω>0),將y=f(x)的圖像向右平移■個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的圖像與原圖像重合,則ω的最小值等于___________。

        設(shè)計(jì)意圖:本題看似考查圖像,實(shí)則考查函數(shù)周期,需學(xué)生深入挖掘題意,找到“圖像與原圖像重合”的實(shí)際意義是■為周期的整數(shù)倍這一突破口,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力起到一定的作用,使知識(shí)得到升華。

        設(shè)計(jì)4:總結(jié)函數(shù)演變成問題一般性的伸縮變換途徑。

        小結(jié):本段教學(xué)在例題安排上成遞進(jìn)式,難度逐步提升,題目的意義也在不斷的深化,從概念上升到應(yīng)用,再?gòu)膽?yīng)用上升到內(nèi)涵,從特殊問題到一般性結(jié)論的總結(jié),力爭(zhēng)做到循序漸進(jìn),由表及里,最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)的終極目標(biāo)——學(xué)生掌握本段知識(shí)內(nèi)容。

        2.從具體到抽象

        高中數(shù)學(xué)形式化的知識(shí)還是較多的,比如說(shuō)抽象函數(shù)是函數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)。很多學(xué)生對(duì)于抽象函數(shù)的表現(xiàn)形式無(wú)法理解,更談不上解決問題了。抽象函數(shù)等抽象數(shù)學(xué)知識(shí)如何教學(xué)?這樣的課堂教學(xué)能否有效設(shè)計(jì)是關(guān)鍵。筆者認(rèn)為,以具體的數(shù)學(xué)問題模型去感受抽象的數(shù)學(xué)進(jìn)而得到抽象的數(shù)學(xué)知識(shí),是教學(xué)設(shè)計(jì)的又一合理原則。

        案例2:抽象函數(shù)圖像中心對(duì)稱的教學(xué)設(shè)計(jì)。

        設(shè)計(jì)1:什么是函數(shù)圖像的對(duì)稱中心?

        函數(shù)圖像對(duì)稱中心定義:如果一個(gè)函數(shù)的圖像繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度,旋轉(zhuǎn)后的圖像能和原圖像完全重合,那么這個(gè)圖像叫做中心對(duì)稱圖形。而這個(gè)中心點(diǎn),叫做此函數(shù)的對(duì)稱中心。

        事實(shí)上,若某函數(shù)為奇函數(shù),則原點(diǎn)(0,0)必為其對(duì)稱中心,例如:

        (1)函數(shù)f(x)=圖像的對(duì)稱中心為(0,0);

        (2)函數(shù)f(x)=sinx圖像的對(duì)稱中心為(kπ,0)k∈Z。

        設(shè)計(jì)2:怎么求函數(shù)圖像的對(duì)稱中心?

        (1)代數(shù)法(利用推論)

        推論:(2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷)

        “函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)-b是奇函數(shù)”。

        例1:求一元三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖像的對(duì)稱中心

        解:利用

        (2)幾何法(利用函數(shù)圖像的幾何特性找到對(duì)稱中心)

        例1解法二:

        由一般三次函數(shù)的圖像特征(特殊情況也成立):

        可知:其對(duì)稱中心位于圖像上,且橫坐標(biāo)為兩極值點(diǎn)橫坐標(biāo)和的一半,而f′(x)=3ax2+3bx+c(a≠0),,故其對(duì)稱中心為

        設(shè)計(jì)3:圖像有對(duì)稱中心的函數(shù)有何性質(zhì)?

        性質(zhì)一:已知定義在D上的函數(shù)f(x),其圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱,則?坌x∈D,恒有f(2a-x)+f(x)=2b成立。

        性質(zhì)二:已知定義在D上的函數(shù)f(x),其圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)和(b,0)(a≠b)中心對(duì)稱,則f(x)為周期函數(shù),周期為2|a-b|。

        設(shè)計(jì)4:應(yīng)用一:求函數(shù)f(x)=++圖像的對(duì)稱中心。

        解:因?yàn)閒(x-2)=++為奇函數(shù),所以由推論得:f(x)圖像的對(duì)稱中心為(-2,0)。

        應(yīng)用二:(2009年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試全國(guó)卷Ⅰ數(shù)學(xué)(理)11題)

        函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù),則_______。

        ①是偶函數(shù) ②是奇函數(shù) ③f(x+2)=f(x) ④f(x+3)是奇函數(shù)。

        解:由推論知f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)和(-1,0)中心對(duì)稱,故由性質(zhì)二,可得函數(shù)f(x)為周期函數(shù),周期為4,故f(x+3)=f(x+3-4)=f(x-1)為奇函數(shù)。

        小結(jié):通過類比對(duì)函數(shù)圖像對(duì)稱中心的研究,我們可以用同樣的思路和方法,去研究函數(shù)圖像的對(duì)稱軸問題,這兩個(gè)問題是關(guān)于函數(shù)性質(zhì)中的重要問題,也是高考的重要內(nèi)容之一,這里的教學(xué)設(shè)計(jì)由教師自主完成,體現(xiàn)了循序漸進(jìn)的教學(xué)教學(xué)步驟,從具體到抽象的設(shè)計(jì)原則,符合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際。

        3.從感性到理性

        感性到理性是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的常用原則,高中數(shù)學(xué)知識(shí)往往較為抽象,不太能讓學(xué)生理解一步到位,這里比較多的使用手段即從感性中去深化知識(shí)的本質(zhì)。

        總之,數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計(jì)是一門學(xué)問,教師需要通過一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累和多聽、多想、多思考,即可從教材的枯燥線性知識(shí)中提煉教學(xué)精華的實(shí)施。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].人民教育出版社,2002

        [2]陳雪松.函數(shù)的教學(xué)實(shí)踐及反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2012.10

        [3]李廣修.追求非功利化的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2014.2

        (作者單位:江蘇省泰興中學(xué))

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