邱海燕

【摘 要】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)一般尊崇從易到難、從特殊到一般、從具體到抽象、從感性到理性的設(shè)計(jì)原則，具備良好的設(shè)計(jì)是課堂教學(xué)成果的基本，本文從幾個(gè)原則出發(fā)談?wù)務(wù)n堂教學(xué)設(shè)計(jì)的循序漸進(jìn).

【關(guān)鍵詞】課堂教學(xué);數(shù)學(xué);循序漸進(jìn);理性;感性;具體;抽象;特殊;一般

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本，它將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)、形式化的數(shù)學(xué)結(jié)果以通俗易懂的方式傳遞給學(xué)生，這與教材和書籍大不一樣（書籍中的數(shù)學(xué)知識(shí)是線性的排列著），合理的數(shù)學(xué)教學(xué)需要將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)傳授的有趣和有效（章建躍語(yǔ)）。

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)如何實(shí)施是比較符合當(dāng)下課程教學(xué)理念呢？在近年來(lái)課堂教學(xué)中，愈來(lái)愈多的教學(xué)演變?yōu)榉佃睔w真型，不再像新課程實(shí)施之初般“凡探究言必稱討論、凡討論必需熱熱鬧鬧”的偽探究，而在課堂教學(xué)中卻比較忽視了合理的、符合學(xué)生認(rèn)知心理的設(shè)計(jì)，筆者以前常常聽到這樣的公開課，對(duì)場(chǎng)面的追求非常細(xì)致，卻忽視對(duì)教學(xué)原本的設(shè)計(jì)，即以循序漸進(jìn)原則分解數(shù)學(xué)知識(shí)、以符合學(xué)生認(rèn)知心理過程的設(shè)計(jì)教學(xué)才是貼合課程理念的要求的。

1.從特殊到一般

特殊到一般的設(shè)計(jì)原則是數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用最為普遍的設(shè)計(jì)方式，這一方式比較符合中學(xué)生（尤其是高中生）。從心理學(xué)認(rèn)知理論來(lái)說(shuō)，中學(xué)生的認(rèn)知首先緣自特定的模型，這種特定的模型需要簡(jiǎn)潔、直觀，并且從多次模型認(rèn)知中總結(jié)了一定的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而得到更為一般性的規(guī)律。這種設(shè)計(jì)方式有比較多的教學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)用，如：函數(shù)概念教學(xué)中的從特殊的數(shù)集間關(guān)系歸納出函數(shù)形式化的概念結(jié)果，如運(yùn)用物理學(xué)中功的概念類比去思考向量數(shù)量積的一般性結(jié)論等等。

案例1：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像及應(yīng)用。

基本知識(shí)部分從用五點(diǎn)法畫y=Asin（ωx+φ）一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖、函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖象的步驟、函數(shù)圖像的對(duì)稱性等三方面對(duì)本節(jié)知識(shí)進(jìn)行了詳盡的闡述;基本技能部分給出了兩個(gè)題型：（1）函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像及變換;（2）求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式，分別從形和數(shù)兩方面進(jìn)行分析。

設(shè)計(jì)1：已知函數(shù)y=2sin（2x+）。（1）求它的振幅、周期、初相;（2）用“五點(diǎn)法”作出它的一個(gè)周期內(nèi)的圖像;（3）說(shuō)明y=2sin（2x+）的圖像可由y=sinx的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到。

設(shè)計(jì)意圖：安排本例題，目的是對(duì)本節(jié)的概念內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的回顧與介紹，并對(duì)圖形變換的兩種方式在具體問題上實(shí)施了強(qiáng)有力的復(fù)習(xí)。

設(shè)計(jì)2：把函數(shù)y=cos2x+1的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像是__________。

設(shè)計(jì)意圖：本題是浙江省2012年文科高考試題第6題，難度適中，貼近考生實(shí)際水平，它一方面從函數(shù)解析式角度出發(fā)，另一方面，從圖像、周期、最值的綜合角度分析，得出正確答案，起到很好的復(fù)習(xí)作用。

設(shè)計(jì)3：y=cos2x+1的對(duì)稱中心？

設(shè)計(jì)意圖：見慣了對(duì)稱中心在x軸上的圖像，提出這樣一個(gè)反思，一方面考查了對(duì)稱中心的知識(shí)，更重要的是豐富了知識(shí)面，完善了考點(diǎn)知識(shí)。

設(shè)計(jì)4：設(shè)函數(shù)f（x）=cosωx（ω>0），將y=f（x）的圖像向右平移■個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則ω的最小值等于___________。

設(shè)計(jì)意圖：本題看似考查圖像，實(shí)則考查函數(shù)周期，需學(xué)生深入挖掘題意，找到“圖像與原圖像重合”的實(shí)際意義是■為周期的整數(shù)倍這一突破口，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力起到一定的作用，使知識(shí)得到升華。

設(shè)計(jì)4：總結(jié)函數(shù)演變成問題一般性的伸縮變換途徑。

小結(jié)：本段教學(xué)在例題安排上成遞進(jìn)式，難度逐步提升，題目的意義也在不斷的深化，從概念上升到應(yīng)用，再?gòu)膽?yīng)用上升到內(nèi)涵，從特殊問題到一般性結(jié)論的總結(jié)，力爭(zhēng)做到循序漸進(jìn)，由表及里，最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)的終極目標(biāo)——學(xué)生掌握本段知識(shí)內(nèi)容。

2.從具體到抽象

高中數(shù)學(xué)形式化的知識(shí)還是較多的，比如說(shuō)抽象函數(shù)是函數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)。很多學(xué)生對(duì)于抽象函數(shù)的表現(xiàn)形式無(wú)法理解，更談不上解決問題了。抽象函數(shù)等抽象數(shù)學(xué)知識(shí)如何教學(xué)？這樣的課堂教學(xué)能否有效設(shè)計(jì)是關(guān)鍵。筆者認(rèn)為，以具體的數(shù)學(xué)問題模型去感受抽象的數(shù)學(xué)進(jìn)而得到抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，是教學(xué)設(shè)計(jì)的又一合理原則。

案例2：抽象函數(shù)圖像中心對(duì)稱的教學(xué)設(shè)計(jì)。

設(shè)計(jì)1：什么是函數(shù)圖像的對(duì)稱中心？

函數(shù)圖像對(duì)稱中心定義：如果一個(gè)函數(shù)的圖像繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖像能和原圖像完全重合，那么這個(gè)圖像叫做中心對(duì)稱圖形。而這個(gè)中心點(diǎn)，叫做此函數(shù)的對(duì)稱中心。

事實(shí)上，若某函數(shù)為奇函數(shù)，則原點(diǎn)（0，0）必為其對(duì)稱中心，例如：

（1）函數(shù)f（x）=圖像的對(duì)稱中心為（0，0）;

（2）函數(shù)f（x）=sinx圖像的對(duì)稱中心為（kπ，0）k∈Z。

設(shè)計(jì)2：怎么求函數(shù)圖像的對(duì)稱中心？

（1）代數(shù)法（利用推論）

推論：（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷）

“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)”。

例1：求一元三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）圖像的對(duì)稱中心

解：利用

（2）幾何法（利用函數(shù)圖像的幾何特性找到對(duì)稱中心）

例1解法二：

由一般三次函數(shù)的圖像特征（特殊情況也成立）：

可知：其對(duì)稱中心位于圖像上，且橫坐標(biāo)為兩極值點(diǎn)橫坐標(biāo)和的一半，而f′（x）=3ax2+3bx+c（a≠0），，故其對(duì)稱中心為

設(shè)計(jì)3：圖像有對(duì)稱中心的函數(shù)有何性質(zhì)？

性質(zhì)一：已知定義在D上的函數(shù)f（x），其圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）中心對(duì)稱，則？坌x∈D，恒有f（2a-x）+f（x）=2b成立。

性質(zhì)二：已知定義在D上的函數(shù)f（x），其圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）和（b，0）（a≠b）中心對(duì)稱，則f（x）為周期函數(shù)，周期為2|a-b|。

設(shè)計(jì)4：應(yīng)用一：求函數(shù)f（x）=++圖像的對(duì)稱中心。

解：因?yàn)閒（x-2）=++為奇函數(shù)，所以由推論得：f（x）圖像的對(duì)稱中心為（-2，0）。

應(yīng)用二：（2009年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試全國(guó)卷Ⅰ數(shù)學(xué)（理）11題）

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，則_______。

①是偶函數(shù) ②是奇函數(shù) ③f（x+2）=f（x） ④f（x+3）是奇函數(shù)。

解：由推論知f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）和（-1，0）中心對(duì)稱，故由性質(zhì)二，可得函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，周期為4，故f（x+3）=f（x+3-4）=f（x-1）為奇函數(shù)。

小結(jié)：通過類比對(duì)函數(shù)圖像對(duì)稱中心的研究，我們可以用同樣的思路和方法，去研究函數(shù)圖像的對(duì)稱軸問題，這兩個(gè)問題是關(guān)于函數(shù)性質(zhì)中的重要問題，也是高考的重要內(nèi)容之一，這里的教學(xué)設(shè)計(jì)由教師自主完成，體現(xiàn)了循序漸進(jìn)的教學(xué)教學(xué)步驟，從具體到抽象的設(shè)計(jì)原則，符合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際。

3.從感性到理性

感性到理性是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的常用原則，高中數(shù)學(xué)知識(shí)往往較為抽象，不太能讓學(xué)生理解一步到位，這里比較多的使用手段即從感性中去深化知識(shí)的本質(zhì)。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計(jì)是一門學(xué)問，教師需要通過一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累和多聽、多想、多思考，即可從教材的枯燥線性知識(shí)中提煉教學(xué)精華的實(shí)施。

【參考文獻(xiàn)】

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[3]李廣修.追求非功利化的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014.2

（作者單位：江蘇省泰興中學(xué)）