何麗娜

【摘 要】2015年臺(tái)州市數(shù)學(xué)中考卷的最后一題的最后一小題引起了市內(nèi)很多數(shù)學(xué)老師的思考，有些老師覺(jué)得難度很大，不知從何入手;即使有參考答案，可為何想到這一解答方法，很多教師還是感到困惑不已。本文從應(yīng)試者角度和出題者角度對(duì)此題進(jìn)行分析，最終得到一個(gè)較為滿意的結(jié)果，由此揭開(kāi)了此題神秘的面紗。

【關(guān)鍵詞】中考題 ? ?解法 ? ? 數(shù)學(xué) ? ? 思考

一、題目呈現(xiàn)

【2015年臺(tái)州數(shù)學(xué)中考卷第24題第（4）小題】定義：如圖1，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)。

（4）如右圖，已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，MN>AM≥BN，△AMC，△MND和△NBM均是等邊三角形，AE分別交CM，DM，DN于點(diǎn)F，G，H，若H是DN的中點(diǎn)，試探究，和S四邊形MNHG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由?！緜渥ⅲ呵懊?個(gè)小題和第（4）小題關(guān)系不大，故不做呈現(xiàn)】

二、解法初探

設(shè)AM=a，BN=b，MN=c，根據(jù)題意，則有，顯然，，而和S四邊形MNHG就應(yīng)該是用大的三角形面積減去小的三角形面積。由H是DN的中點(diǎn)可知，DH=HN，并能證明△DGH≌△NEH，從而得出DG=b，過(guò)點(diǎn)H作DG邊上的高，由∠D=60°，可得，.再通過(guò)△ACF～△GDH，得出= ，化簡(jiǎn)得

.

對(duì)于這道題，應(yīng)該有一個(gè)直覺(jué)，答案應(yīng)該是。朝著這個(gè)方向，下一步就該計(jì)算，而。一比較就發(fā)現(xiàn)這道題只需證明，即證明。那如何證明呢？仔細(xì)讀題，會(huì)發(fā)現(xiàn)本題有個(gè)特別之處，H是DN的中點(diǎn)，這很特殊，一般的情況下，H不一定是DN的中點(diǎn)。認(rèn)清這一點(diǎn)之后，利用△∽△ANH，得出 = ?，即，化簡(jiǎn)得，再用，代入化簡(jiǎn)可得，即（a-b）（a-b+c）=0，顯然，因此。這樣，就把這道題證明了。

三、解法再探

對(duì)于上述的解法，筆者覺(jué)得比較麻煩，有無(wú)更加簡(jiǎn)單的解題方法？仔細(xì)分析此題，筆者發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上這道題是基于這么一個(gè)事實(shí)：對(duì)于以直角三角形三邊為邊，分別作三個(gè)等邊三角形，這三個(gè)等邊三角形的面積關(guān)系滿足以兩條直角邊為邊長(zhǎng)的等邊三角形面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的等邊三角形的面積，即圖中。而現(xiàn)在要證明的是，只需證明，而這兩個(gè)三角形本身就相似，所以需要說(shuō)明它們?nèi)?。而證明全等，只需說(shuō)明其中一組對(duì)應(yīng)邊相等即可，最簡(jiǎn)單的當(dāng)然是AC=DG=a。由H是DN的中點(diǎn)可知△≌△，從而得出DG=b，因此只要證明就可以了。于是，自然而然地想到運(yùn)用△∽△，得出，即，通過(guò)進(jìn)一步化簡(jiǎn)即可得證。這就是參考答案給出的解答，先證明，再證明△≌△，問(wèn)題迎刃而解。

四、從命題的角度思索本題

縱觀本題，圖形是學(xué)生熟悉的，但題目條件和結(jié)論卻是陌生的，這是一種創(chuàng)新。從題意看，這是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用，學(xué)生是有這方面的基礎(chǔ)，但是學(xué)生想到要證明△≌△，即證明AC=DG=a卻是不容易的。當(dāng)然，對(duì)于部分優(yōu)秀學(xué)生來(lái)說(shuō)，這個(gè)思路是有可能的。而本題已是這張中考卷的最后一題的最后一小題，顯然，這個(gè)要求還是需要的。筆者在思考出題者是怎樣想出此題的條件的？假設(shè)AC=DG=a成立，那么GM=c-a，由△

∽△，得出 =，即，化簡(jiǎn)得ab，而 ，從而得出結(jié)論。反過(guò)來(lái)，如果，利用△∽△，可以證明GM=c-a，也就證明了AC=DG=a，問(wèn)題也就得證。但是，如果條件給出是，難度似乎還是不夠的，那該怎樣改呢？仔細(xì)分析，如果，那么△≌△≌△，結(jié)論就有很多，比如H是DN的中點(diǎn)，H是GE的中點(diǎn)等。出題者就選擇了其中一個(gè)條件，作為本題解題的一個(gè)關(guān)鍵條件。這就是筆者對(duì)出題者怎樣想出此題的一種思考。

其實(shí)，對(duì)于一道好題，如果能反復(fù)地推敲、思考，相信定有所收獲。下面附上此題的參考答案：

設(shè)AM=a，BM=b，MN=c，

∵H是DN的中點(diǎn)，∴DN=HN.

∵△，△均為等邊三角形，

∴60.

∵，∴△≌△.

∴BG=EN=b，∴MG=c-b.

∵，∴△∽△AEN .

∴，∴c2=2ab-ac+b

∵點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，∴.

∴，∵.∴.

在△DGH和△CAF中，，DG=CA，/DGH=/CAF，

∴△≌△，∴S△DGH=S△CAF

∵，∴，

∴S△DMN=S△ACM+S△ENB.

∵S△ACF=S△DGH+S四邊形MNHG，S△ACM=S△CAF+S△AMF，

∴S四邊形MNHG=S△AMF=S△BEN

S△DGH=S△CAF