沈波

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數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)的探討

沈波

摘要：作為高等數(shù)學(xué)中的一門(mén)基礎(chǔ)課程，常微分方程是專(zhuān)門(mén)用來(lái)描述客觀事物的數(shù)量關(guān)系的重要模型。當(dāng)前傳統(tǒng)的常微分方程教學(xué)方法不利于充分激發(fā)和提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性，給教師的教學(xué)也帶來(lái)一定的難度。為克服這些問(wèn)題，筆者將從數(shù)學(xué)建模的角度出發(fā)，將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程的教學(xué)過(guò)程中，對(duì)常微方程的教學(xué)進(jìn)行改革和創(chuàng)新。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；思想；常微分方程；教學(xué)；探討

隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步和發(fā)展以及教育改革進(jìn)程地不斷推進(jìn)，現(xiàn)代教育更注重對(duì)學(xué)生實(shí)際操作能力的培養(yǎng)和提高。為了為社會(huì)培養(yǎng)更多應(yīng)用型的高素質(zhì)人才，確保高校畢業(yè)的學(xué)生既能夠掌握全面的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，具備較高的綜合素質(zhì)和能力，又能成為擔(dān)負(fù)起管理、生產(chǎn)、服務(wù)、建設(shè)等一線(xiàn)工作的應(yīng)用型人才，當(dāng)前，我國(guó)高等院校普遍拉開(kāi)了高等教育向應(yīng)用型轉(zhuǎn)變的序幕，越來(lái)越重視學(xué)生發(fā)明、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、生產(chǎn)實(shí)踐等能力的培養(yǎng)和提高。作為基礎(chǔ)學(xué)科的高等數(shù)學(xué)教學(xué)，也在高等教育改革的時(shí)代背景下，經(jīng)歷著一系列新的創(chuàng)新和變革。

一、數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)的必要性

常微分方程是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的基礎(chǔ)課程，同時(shí)也是經(jīng)濟(jì)、工科等其他專(zhuān)業(yè)學(xué)生所必學(xué)的重要內(nèi)容，是控制論、偏微分方程、建模、數(shù)值計(jì)算等其他學(xué)科的理論基礎(chǔ)。作為專(zhuān)門(mén)用來(lái)描述客觀事物之間數(shù)量關(guān)系的重要模型，常微分方程作為人們解決實(shí)際生活中所遇到問(wèn)題的有效手段而被廣泛地應(yīng)用到很多領(lǐng)域的研究中，其中包括彈道的計(jì)算、自動(dòng)控制，導(dǎo)彈和飛機(jī)飛行的穩(wěn)定性研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中穩(wěn)定性研究，各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。

當(dāng)前，在傳統(tǒng)常微分方程教學(xué)模式下，教師講定義、說(shuō)方法、論技巧的教學(xué)過(guò)程，只能讓學(xué)生通過(guò)對(duì)常微分方程的學(xué)習(xí)，知道和熟練常微分方程的解答方法，而對(duì)其具體應(yīng)用卻了解甚少，直接導(dǎo)致他們?cè)诶贸Ｎ⒎址匠探鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)無(wú)從下手，再加上常微分方程學(xué)習(xí)起來(lái)具有一定的難度，最終使很多學(xué)生喪失了繼續(xù)學(xué)習(xí)此課程的興趣和信心。顯然，陳舊的常微分方程教學(xué)模式已經(jīng)無(wú)法適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)快速發(fā)展的需求，促進(jìn)常微分方程的教學(xué)方法改革，突出此門(mén)課程的實(shí)踐性迫在眉睫。

在促進(jìn)常微分方程教學(xué)改革的進(jìn)程中，數(shù)學(xué)建模思想是一個(gè)非常好的切入點(diǎn)。數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決生活中實(shí)際問(wèn)題最常用的一種方法，是數(shù)學(xué)與社會(huì)的交匯點(diǎn)。在本質(zhì)上而言，數(shù)學(xué)建模也是培養(yǎng)和提高學(xué)生思維能力和應(yīng)用能力的重要手段。全國(guó)高等院校數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)委員會(huì)指出：“要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型并利用計(jì)算機(jī)分析處理實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練?！笨梢?jiàn)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模與常微分方程教學(xué)的有機(jī)結(jié)合，將數(shù)學(xué)建模思想融入到常微分方程教學(xué)的過(guò)程中，是提高學(xué)生用常微分方程解決生活中實(shí)際問(wèn)題能力的重要有效途徑。作為一種常微分方程創(chuàng)新的教學(xué)方法，將數(shù)學(xué)建模思想融入其中，可以引導(dǎo)學(xué)生充分地了解常微分方程的背景、方法及其重要意義。此外，還能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生在生活中應(yīng)用常微分方程和計(jì)算機(jī)等內(nèi)容解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

二、數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)的具體內(nèi)涵

數(shù)學(xué)建模主要是為了達(dá)到解決生活中某一問(wèn)題的目的，以要研究的內(nèi)容為特定對(duì)象，在一系列假設(shè)和簡(jiǎn)化的前提下，通過(guò)科學(xué)合理的數(shù)學(xué)工具構(gòu)建具體的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并利用這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對(duì)要研究現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)狀態(tài)進(jìn)行解釋?zhuān)瑢?duì)其未來(lái)發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行預(yù)測(cè)，為滿(mǎn)足某種需求提供具體地優(yōu)化和控制策略。因此，數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容是來(lái)自實(shí)踐的，方法也充分與實(shí)踐相結(jié)合的，結(jié)果又必將會(huì)利用于實(shí)踐。具體來(lái)說(shuō)，對(duì)某一特定對(duì)象的數(shù)學(xué)建?？梢苑譃橐韵聨讉€(gè)階段：

1.模型準(zhǔn)備：模型準(zhǔn)備是建立數(shù)學(xué)模型的前提，即對(duì)要研究對(duì)象的具體內(nèi)容、實(shí)際背景進(jìn)行深入地了解，并探索出問(wèn)題背后的實(shí)際意義，最后再力求用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行科學(xué)合理的描述。

2.模型假設(shè)：針對(duì)復(fù)雜的社會(huì)現(xiàn)象，在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，要進(jìn)行必要地簡(jiǎn)化，力求用最簡(jiǎn)明、精準(zhǔn)的語(yǔ)言對(duì)整個(gè)問(wèn)題提出合理、有效的假設(shè)。

3.模型建立：在模型假設(shè)的前提下，將具體的社會(huì)問(wèn)題抽象成為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的具體種類(lèi)構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

4.模型求解：當(dāng)具體的社會(huì)問(wèn)題被抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，要結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)這一抽象的數(shù)學(xué)模型展開(kāi)推算。

5.模型分析：從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，對(duì)模型求解出來(lái)的相關(guān)結(jié)果進(jìn)行分析。

6.模型檢驗(yàn)：為了檢驗(yàn)構(gòu)建模型的合理性、準(zhǔn)確性和實(shí)用性，要將模型分析出來(lái)的相關(guān)結(jié)果與問(wèn)題的實(shí)際情況進(jìn)行比較和研究。

7.模型應(yīng)用：被檢驗(yàn)具有一定實(shí)用性的模型將會(huì)被根據(jù)建模的具體目的應(yīng)用到具體問(wèn)題的解決過(guò)程中。

數(shù)學(xué)建模是通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，來(lái)促進(jìn)實(shí)際問(wèn)題解決的一種應(yīng)用型數(shù)學(xué)技術(shù)。本文所講的“數(shù)學(xué)建模思想”就是指將所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)方法與解決生活問(wèn)題的實(shí)際有機(jī)結(jié)合的一種創(chuàng)新的數(shù)學(xué)思想。我們從兩個(gè)層面來(lái)理解數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)的內(nèi)涵：一方面，在實(shí)際生活中有很多復(fù)雜的問(wèn)題直接處理起來(lái)比較困難，而通過(guò)構(gòu)建微分方程模型將其轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題后，在既有的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的支持下，則可以有效地解決；另一方面，我們所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法和知識(shí)，都是由生活中的實(shí)際問(wèn)題演變而來(lái)的，是人們?cè)谔幚砩顔?wèn)題的實(shí)踐中發(fā)明出來(lái)的。

因此，將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程的教學(xué)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)常微分方程中的數(shù)學(xué)模型。在構(gòu)建常微分模型時(shí)，要深入挖掘這些微分模型的抽象實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生逐步構(gòu)建有關(guān)微分模型。在構(gòu)建起具體微分模型后，教師還要引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)微分模型的具體特征與生產(chǎn)生活緊密結(jié)合，將所構(gòu)建的微分方程應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題的解決中。例如，傳染病模型和logistic模型就是經(jīng)典的微分方程模型，也是教師講解常微分方程的有效案例?？偠灾?，將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)，就是要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的同時(shí)，還要學(xué)會(huì)加強(qiáng)理論知識(shí)應(yīng)用于生活實(shí)際問(wèn)題的解決，要特別注重學(xué)生綜合分析能力，發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題的能力，實(shí)際操作能力及科研創(chuàng)新能力的進(jìn)步和提高。

三、將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)的具體措施

1.充分利用常微分方程教材中的應(yīng)用素材

目前，大多數(shù)院校常微分方程所使用的教材，都是王高雄所著的《常微分方程》或東北師范大學(xué)教研室所編寫(xiě)的《常微分方程》等教材，這些教材普遍具有較強(qiáng)的理論性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄⑹鲞壿?，其中也不乏一些?jīng)典的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。例如，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)模型、鐘擺問(wèn)題等，這些不常出現(xiàn)在學(xué)生實(shí)際生活中的問(wèn)題具有一定的抽象性，對(duì)于數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)以外的學(xué)生來(lái)講具有一定的難度。因此，教師要充分地利用教材中的這些具有一定研究性、趣味性且通俗易懂或?qū)ΜF(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和我們的經(jīng)濟(jì)生活具有重要意義的應(yīng)用素材，引導(dǎo)學(xué)生利用抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)這些具體問(wèn)題進(jìn)行分析和研究，進(jìn)而讓學(xué)生體會(huì)到常微分方程建模知識(shí)來(lái)解決生活中實(shí)際問(wèn)題的重要性，以充分激發(fā)學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)和掌握常微分方程的主動(dòng)性和積極性，也進(jìn)一步鍛煉他們用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決生活實(shí)際的相關(guān)能力。

2.結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)模型應(yīng)用案例教學(xué)

為幫助學(xué)生加強(qiáng)所學(xué)理論知識(shí)的理解和記憶，激發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)和實(shí)際操作能力，教師在常微分方程教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該有目的地將有關(guān)常微分方程的理論、方法與生活中的實(shí)際問(wèn)題緊密結(jié)合起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生將具體的社會(huì)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題并建立數(shù)學(xué)模型。這種通過(guò)引入具體案例進(jìn)行教學(xué)的方法，一方面有利于培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的思維慣性，同時(shí)也鍛煉和提高了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

例如，在講解一階常微分方程這部分內(nèi)容時(shí)，教師可以引入“物體冷卻模型”、“人口增長(zhǎng)模型”、“產(chǎn)品銷(xiāo)售問(wèn)題”等學(xué)生生活中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行案例教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生把具體的社會(huì)問(wèn)題，通過(guò)一階常微分方程建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析和解決；在講授高階微分方程這部分內(nèi)容時(shí)，教師可以引入“懸鏈線(xiàn)問(wèn)題”、“質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)模型”等，將難以理解的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再進(jìn)行進(jìn)一步的分析和演算。

3.引入“面向問(wèn)題”式的教學(xué)模式

在傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，常微分方程教學(xué)通常按照“定義—原理—方法—技巧”的數(shù)學(xué)邏輯被傳授給學(xué)生，然而每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)真正被發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的過(guò)程并不如此。因此，學(xué)生在這種傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程中，很難真正地理解和掌握常微分方程這一數(shù)學(xué)知識(shí)，更談不上用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際生活中的具體問(wèn)題。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)邏輯中，學(xué)生只能從概念開(kāi)始，認(rèn)識(shí)和了解數(shù)學(xué)，而對(duì)其相關(guān)方法的演算和訓(xùn)練也只是一個(gè)機(jī)械的模仿和記憶的過(guò)程，這就很容易導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生枯燥無(wú)味，缺乏學(xué)習(xí)興趣的效果。

而“面向問(wèn)題”教學(xué)模式則是引導(dǎo)學(xué)生首先對(duì)感興趣的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析和研究，在學(xué)生研究的基礎(chǔ)上，再總結(jié)或引入相關(guān)的方法和概念。通過(guò)自身探究和參與問(wèn)題解決過(guò)程總結(jié)出來(lái)的概念，學(xué)生理解的難度就會(huì)相應(yīng)降低。由于學(xué)生體會(huì)到了書(shū)本上的理論知識(shí)應(yīng)用于生活實(shí)際的過(guò)程，所以他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的熱情和興趣也會(huì)得到進(jìn)一步的激發(fā)和提高。

4.采用啟發(fā)討論的教學(xué)方法

傳統(tǒng)的以“教師講解為主，學(xué)生聽(tīng)為輔”的教學(xué)方法，不僅不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)地理解和掌握，而且也無(wú)法充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。因此，在常微分方程的教學(xué)實(shí)踐中，將數(shù)學(xué)建模思想融入其中，改變傳統(tǒng)被動(dòng)式的教學(xué)方法，教師要通過(guò)組織各種課堂活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，充分提高學(xué)生自身的合作學(xué)習(xí)能力、探究學(xué)習(xí)能力和自主學(xué)習(xí)能力，特別是將建模思想融入常微分方程的教學(xué)實(shí)踐中，教師要引導(dǎo)學(xué)生了解和掌握數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的全過(guò)程，要全面參與到“模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用”的不同環(huán)節(jié)。只有這樣，才能夠充分地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的主動(dòng)性和積極性，進(jìn)而提高他們的學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量，達(dá)到提高實(shí)際問(wèn)題的解決能力、科研創(chuàng)新能力的效果。

5.采用多媒體教學(xué)手段

隨著現(xiàn)代科技的不斷進(jìn)步和發(fā)展，多媒體越來(lái)越廣泛地被利用在教學(xué)過(guò)程中。在常微分方程的教學(xué)中，教師要緊密結(jié)合Matlab、Maple等計(jì)算機(jī)軟件對(duì)常微分方程中的數(shù)值計(jì)算，圖式分析和求解過(guò)程進(jìn)行直觀、形象、具體地講解和展示，以進(jìn)一步提高學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)以及用計(jì)算機(jī)技術(shù)，處理、分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

6.改變考核方法，將學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力納入考核體系

通常來(lái)講，常微分方程的考試是以閉卷考試的形式來(lái)完成的，而閉卷考試卻主要以理論考核為主，缺乏一定的應(yīng)用型問(wèn)題設(shè)置。因此，在以后常微分方程的考卷上，應(yīng)該盡量多增加開(kāi)放型的應(yīng)用題，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)建模的思想和方法進(jìn)行分析和解答。此外，對(duì)常微分方程考核還應(yīng)該加大平時(shí)成績(jī)的比重，平時(shí)成績(jī)除了日?？记诤驼n后作業(yè)之外，還應(yīng)該增加課堂討論的成績(jī)。教師在課堂教學(xué)過(guò)程中要為學(xué)生設(shè)置更多與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的討論，讓學(xué)生對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)思考和探索，最后自由發(fā)言或論文寫(xiě)作的形式表達(dá)出來(lái)，這種通過(guò)小組合作和探究討論的方式，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的方法，既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，又進(jìn)一步培養(yǎng)和提高了學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力。

總而言之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和能力，需要一個(gè)長(zhǎng)期的引導(dǎo)和鍛煉的過(guò)程。同時(shí)，將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)，也不是一種簡(jiǎn)單的添加，而需要找到合理的切入點(diǎn)，將具體的社會(huì)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并與常微分方程的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行緊密結(jié)合，最后通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決。此外，要特別注意在將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)的過(guò)程中，要避免出現(xiàn)流于形式的現(xiàn)象，應(yīng)該充分的注意循序漸進(jìn)的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生把握理論學(xué)習(xí)和實(shí)際應(yīng)用之間的平衡，而不能產(chǎn)生喧賓奪主的效果。

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（作者單位：四川達(dá)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院）

作者簡(jiǎn)介：沈波（1971.01-），女，籍貫：四川大竹，職稱(chēng)：副教授，研究方向：數(shù)學(xué)分析與常微分方程、數(shù)學(xué)教育。