過榴曉 曹棟

摘 要：該文回顧了美國大學數(shù)學基礎主要是微積分課程近60年教學改革大致主要歷程，從教學內容到習題形式及數(shù)量等比較了中美大學基礎課程教材的區(qū)別，探討了雙方大學數(shù)學教學的理念和形式，美方教學偏注重“四原則”，多角度及實用的去描述展現(xiàn)數(shù)學基本概念，而我們則側重扎實的理論推導演繹。通過比較和分析，結合一貫的傳統(tǒng)嚴謹嚴密特點，借鑒國外應用性和啟發(fā)性強的特色，發(fā)揮平衡各自所長，摸索一個合適我們特色的大學基礎數(shù)學教改方式與模式。

關鍵詞：大學數(shù)學 基礎課程 教學改革 美國

中圖分類號：G51 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）08（c）-0255-02

隨著數(shù)學本身和計算機科學的飛速發(fā)展以及微積分、線性代數(shù)等基礎知識在各領域的廣泛應用，大學數(shù)學的教學改革的必要性和重要性越來越被人們所認可，一些教學改革的活動也被人們所接受，這與國外的情況相一致。雖然中國與美國等國家在政治、經濟、教育和管理體制等許多方面有很大差異，但是在高等數(shù)學的教學改革方面有相似之處，也有不同之處，該文調研了美國的一些改革歷程思路和方法，以作為我們大學數(shù)學課程教學改革的借鑒。

1 美國大學數(shù)學基礎課教學改革

美國大學數(shù)學基礎課程改革自上而下、思路清晰。美國的微積分教學在近60年來經歷了巨大的變革，特別是20世紀80年代后期的“微積分改革”。[1-2]20世紀80年代開始，美國的一些高校開始研究數(shù)學課程教學特別是微積分的教學形式改革。主要是由于以下原因：（1）信息技術不斷進行創(chuàng)新，并且開始對教學方面產生一定的影響；（2）很多學生考試不通過，可能與教學方法有關；（3）學生們提出對數(shù)學教學改革的需求；（4）傳統(tǒng)的教科書（比如經典的Thomas《微積分與解析幾何》（Calculus and Analytic Geometry），1st版）偏理論與實際脫節(jié)，需要重新進行選擇；（5）教學方式方法落后，需要進行改進和創(chuàng)新；（6）可以縮小授課規(guī)模等。

改革以后的進展值得我們借鑒。1985年， 美國舉辦了數(shù)學會（AMS）年會，并進行了特別的研討會。[3]也導致了之后兩次會議的產生：首先，是1986年的Tulane大學會議，會議主要的議題是“走向精簡活潑的微積分學”；[4]其次，是1987年的華盛頓會議， 會議的主要內容是“新世紀的微積分學： 水泵而非濾器”。[5]當年，美國國家科學基金會（NSF）發(fā)起了微積分改革的計劃。計劃的主要內容是：改進與更新微積分學的相關課程，要加強培養(yǎng)學生對于數(shù)學概念的理解和運用能力，提高學生分析、解決問題的技巧以及舉一反三的技能。同時，改革后的教學方式要求減少繁瑣、乏味的計算。NSF給予了這項改革一定的資金支持，同時也促使了數(shù)學家們對于以前的微積分課程進行了嚴肅的反思。

哈佛微積分聯(lián)盟所編寫的教材非常有創(chuàng)意，其中有很多非常特別的、非常有趣的問題，將著名的“四規(guī)則”也引入其中：“每個概念都可以以圖形、文字、數(shù)值、代數(shù)的方式展現(xiàn)給學生”。改革的評估體現(xiàn)在Susan L.Ganter所著的《變革中的微積分學—— 1988—1998年成果及其對國家的影響的評價報告》作了總結。[6]Ganter的結論是：大部分大學數(shù)學教師覺得之前的微積分教學方法效率較低，但談及所做的改革是否是正確的方向發(fā)展，卻有著很大爭議。改革的成果激發(fā)了一些數(shù)學家們對于微積分教學方式的討論。使得微積分的教學更加地普及，從而使教師們產生了對高校數(shù)學教育必要性以及重要性的重新認識。

同時，許多理工科的大學生注意到他們的具體計算能力不如從前了，這可能是教學改革的原因，當然也可能是計算機普及的結果。研究結果表明，與以前的學生相比，現(xiàn)在的學生選修了很多的超出學校規(guī)定的微積分學的非必修課程，這表明了微積分改革更加激起了學生對數(shù)學極大的興趣。88%的調查報告認為，從培養(yǎng)學生的實際數(shù)學素質的能力方面說，微積分改革是非常成功的。計算機可以引導學生學習微積分，研究結果顯示，微積分改革后，學生在基礎數(shù)學上不合格的人數(shù)大幅減少。已有的改革成果成為美國數(shù)學家倡導的微積分教學方式。不斷的討論也讓美國的基礎數(shù)學教學充滿了生命力。

2 大學數(shù)學基礎課教材比較

美國高校的常用教材是Thomas《微積分》（現(xiàn)第10版）以及James Stewart《微積分》多個版本，，被稱作“經典版本”。[7-8]Stewart所著的《微積分學》《微積分學：概念與內容》是目前暢銷的教材，而改革的教材正在反過來逐漸傳統(tǒng)化。

一般而言，美國高校所使用的微積分教材具有圖文并茂和突出重點的特點，從內容上看，講解細致，解釋清楚，而且有含有背景知識的說明，讓學生清楚地知道來龍去脈， 也有利于學生的自學。教材中普遍都是生活常見的例子，數(shù)據(jù)也都源自于生活，讓學生有親切感也有一些反映當代科技發(fā)展的最新成果的數(shù)據(jù)，這也讓學生體會到生活中就有許多的數(shù)學問題。教材中的課后習題覆蓋面廣，編排層次由淺入深，也含有很多不同學科相互聯(lián)系的交叉題，與基本概念和重要定理有效結合的圖形題，以及反應生活和科技發(fā)展成果的應用題等。

教材也融入了新技術的應用，即微積分課程與計算機技術緊密地結合，計算機代數(shù)系統(tǒng)CAS，如：Mathematica、Maple、Matlab等在微積分的教學中廣泛使用，并且具有極強的功能、計算機在描述圖像運動、顯現(xiàn)變量關系以及解決現(xiàn)實數(shù)學問題等方面能夠發(fā)揮其巨大的作用，成為了微積分課程不可缺少的教學工具。因此，網(wǎng)絡技術的快速發(fā)展也為微積分教學提供了一個全新的模式。

抽象概念的解釋都是由一些具體問題引入，這與也突出了微積分在實際生活中的價值，兼應用和理論。課后練習題量大而且內容豐富，一般有6000題，每節(jié)結束后都有一定量的習題，每章結束后又會有一些總的習題。而且這些習題編排層次由淺入深。習題除了有練習題（Exercises）外，還設置了不同類型的小課題，例如：探索課題（Discover Project）、應用課題（Applied Project）、實驗課題（Laboratory Project）和寫作課題（Writing Project）。每個教材后都有一個附送光盤，里面含有教材中部分圖片進行輔助的教學。教材之中也都穿插了很多的精美圖片，一些是利用數(shù)學軟件制成，例如：在空間解析幾何與多元函數(shù)微積分中經常會出現(xiàn)各式各樣的曲線、曲面圖形。學生也可以使用網(wǎng)上教材學習。具體的可見附件論文《美國微積分教材的應用性和啟發(fā)性賞析》。

所以，總體上美國大學生數(shù)學教學深度沒有我們的深，但學生的數(shù)學意識和應用能力比我國的學生強。比較而言，我國很多的高校都在使用清華大學蕭樹鐵等教授編寫的《高等數(shù)學》、同濟大學應用數(shù)學系編寫的《高等數(shù)學》等，從概念的引入看，這兩本教材強調嚴謹?shù)母拍睢⒗碚?，先教會概念再舉出例子，按照從一般到特殊的原則，當然近期的教材版本也有所改進，增加了應用例子，但大致模子還是這樣的。習題的數(shù)量上看，同濟教材在每節(jié)課后給出15個大題，每章結束后給出20個大題，書中所有的習題數(shù)約2000個。當然新的教科書版本也開始考慮到數(shù)學理論的應用，增加了很多實際運用的例子，從數(shù)量和范圍上講還可以繼續(xù)改進。

3 教學理念和形式

多次改革歷程后的美國微積分課程， 采用傳統(tǒng)和現(xiàn)代兼而有之的教學模式，尤其是強調四原則（The Rule of Four）， 學生按照這些原則來進行微積分的學習，用不同的表述方式來解釋微積分的概念，這遠比在單一的概念中獲得更多的信息，教材也增加了很多與現(xiàn)實生活相接軌的例子，增加了很多的數(shù)學建模問題以及增加了一些與離散數(shù)學思想的聯(lián)系，將培養(yǎng)學生的數(shù)學意識和思維能力作為微積分課程教學的首要任務。

教學方式則各有特色，有傳統(tǒng)的大班上課甚至禮堂上課，也有25人以內的小班上課，有些采用的是小組合作的學習方式，該方式有利于學生之間相互交流、啟發(fā)以及幫助，增強了團隊意識。一些美國大學設置的數(shù)學學習中心（Math Learning Center）、或是由學生自己組織的數(shù)學社團（Math Society），運作方式通常是學生在學習及活動（比如數(shù)學建模）中主動向老師提出具體的數(shù)學輔導要求，老師相應給予一些輔導或講座指導。

美國大學生可以根據(jù)自己的數(shù)學愛好程度、高中AP學習情況、不同專業(yè)需要，選擇甚至可以不選不同難度的微積分或其他替代的數(shù)學課程，獲取相應的學分，選擇相對自由些。優(yōu)點：靈活分層，自然精選出數(shù)學非常優(yōu)秀的學生。缺點：要求學生有較強的自我認識能力及自我控制能力。

我國數(shù)學傳統(tǒng)教學模式：傳道、授業(yè)、解惑，老師講、學生聽，老師將書本知識扎實地傳授給學生。當然近些年，也試圖作些教學改革和創(chuàng)新，引入考察課數(shù)學實驗課程，介紹常用的數(shù)學軟件，數(shù)學課堂上引入了有趣的實例課件等演示、小組討論等，由于教學進度、教學大綱及今后考研的要求，多是適可而止。關于數(shù)學課程知識的實際應用及最新的知識拓展，一般憑老師的個人科研、教學修養(yǎng)。當然在有限的課時內，學生若是要以后要考研，扎實的高等數(shù)學知識和解題技巧是必須的，目前的數(shù)學教育模式比較適合。同時，固定選課模式優(yōu)勢：基本所有的學生可以達到設定的數(shù)學要求，掌握基本的數(shù)學概念和解題技巧能力。缺點：抽象的數(shù)學可能讓學生不感興趣，但不得不硬著頭皮通過統(tǒng)一考試；而對數(shù)學感興趣的學生不能選更多的高級數(shù)學課程。

4 借鑒國外教學方法

學習借鑒美國大學數(shù)學基礎課教學經驗，摸索出適合我們大學特色的數(shù)學基礎課教育體系，還有挺長的一段路程。

（1）由于兩國大學數(shù)學基礎課教學課程設置不同，學生進入大學時掌握數(shù)學知識情況不同，使得兩國大學數(shù)學基礎課的選課機制、學習機制、評價體系都有所不同，若要大幅度改革，估計也應該有個思想解放、自上而下的過程。

（2）目前來說，至少可以改革我們的教材內容。由強調嚴格化，注重嚴密邏輯推理和解題技巧，轉向直觀化和形象化、應用化。考慮現(xiàn)代技術的不斷發(fā)展和大量計算機應用軟件的產生，對傳統(tǒng)的數(shù)學教學內容形成的巨大沖擊，形式上可以開拓網(wǎng)上信息化教材內容。

（3）原有的師資要求，嚴謹?shù)膽B(tài)度不變，可以改變的是固有的教學理念。美國數(shù)學老師善于將所教的數(shù)學知識與生活實際、現(xiàn)代科技結合。中國長期以來的教育現(xiàn)狀，中考、高考、大學統(tǒng)考體制，多數(shù)大學數(shù)學教師也源于傳統(tǒng)數(shù)學教育理念，偏愛教理論方法和解題技巧，應試性較強。一些有科研背景的老師相對知道掌握數(shù)學知識的部分應用背景，那些科研全面的同時又愿意在教學上下工夫的老師常常被學生認為是優(yōu)秀的老師，但確是很少。

（4）教學方式，傳統(tǒng)和改革的教學方式可以相互靠攏，形式上，手寫黑板與多媒體、老師單向授課與學生獨立思考、中文與英文教材等，按照數(shù)學課程特色設計合適的教學方式和模式。

（5）學習借鑒建立類似美國大學數(shù)學學習中心、學生數(shù)學社團等組織機構。要求我們的大學生在數(shù)學學習上有足夠的主動性、組織能力和自控能力等。

參考文獻

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