曾鳳 劉其

摘要：通過研究了若干個具有最小正周期的周期函數(shù)經(jīng)四則運算后得到的周期函數(shù)的一個正周期的計算方法，但并沒有給出它們的最小正周期的計算方法，該文分別定義及基本原理、周期函數(shù)的四則運算這幾個方面，從給出了如何求若干個具有最小正周期的周期函數(shù)經(jīng)四則運算后得到的周期函數(shù)的最小正周期的一種計算方法，并給出了幾個實例。

關(guān)鍵詞：周期函數(shù) 四則運算 最小正周期 計算方法

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）05（b）-0246-02

文獻(xiàn)[1]～[6]研究了若干個具有最小正周期的周期函數(shù)經(jīng)四則運算后得到的周期函數(shù)的一個正周期的計算方法，但并沒有給出它們的最小正周期的計算方法，該文給出了如何求若干個具有最小正周期的周期函數(shù)經(jīng)四則運算后得到的周期函數(shù)的最小正周期的一種計算方法，并給出了幾個實例。

1 定義及基本原理

定義1[1]：設(shè)是定義在數(shù)集上的函數(shù)，如果存在常數(shù)，對都有，且成立，則稱為周期函數(shù)，常數(shù)叫做的一個周期。

定義2[1]：周期函數(shù)的正周期中最小的一個，叫做函數(shù)的最小正周期。

周期函數(shù)不一定有最小正周期，如常函數(shù)，狄利克雷函數(shù)都是周期函數(shù)但沒有最小正周期，當(dāng)一個函數(shù)具有最小正周期時，研究它的性質(zhì)就可局限在最小正周期內(nèi)進行討論。

下面給出兩個正實數(shù)的最小公倍數(shù)的定義。

定義3：設(shè)有正實數(shù)，及，若滿足，，，且，則稱為，的最小公倍數(shù)，記為.

注：1°。

定理1：正實數(shù)，有最小公倍數(shù)的充要條件是為有理數(shù)。

證充分性：因為為有理數(shù)，那么就存在，，使，即，現(xiàn)令，顯然有，，由定義3可知，為，的最小公倍數(shù)。

必要性：因為正實數(shù)，有最小公倍數(shù)，不妨設(shè)為，由定義3，存在，，使，，即，證得為有理數(shù)。

定理2[2]：設(shè)函數(shù)是不為常數(shù)的連續(xù)周期函數(shù)，則必有最小正周期。

定理3：如果函數(shù)具有最小正周期，則的任一正周期一定是的正整數(shù)倍，即存在一個正整數(shù)，使.

由定理3不難得到下列推論。

推論1：已知是的周期，若存在最小正周期（設(shè)為），那么，一定存在，使。

2 周期函數(shù)的四則運算

兩個周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)未必是周期函數(shù)，如，那么哪種情況下才能使兩個周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)仍然是周期函數(shù)呢？

定理4[1]：設(shè)，分別是集合上以和為最小正周期的周期函數(shù)，那么，，，（）為周期函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)為有理數(shù)，若它們?yōu)橹芷诤瘮?shù)，則必為它們的一個周期。

注：2°兩個具有最小正周期的周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)既使是周期函數(shù)，也未必有最小正周期，如為常值函數(shù)，沒有最小正周期.

3 實例

例1：設(shè)函數(shù)，，為非零整數(shù)，那么，當(dāng)為奇數(shù)時的最小正周期為，當(dāng)為偶數(shù)時，其最小正周期為。

證：因為是以為最小正周期的周期函數(shù)，由定理4可知，也是以為周期的周期函數(shù)，再由推論1可知，的最小正周期為（），m故對，有：

（1）

在（1）式中，取代入，得：

（2）

考慮②式，當(dāng)為奇數(shù)時，兩邊開次方，得，只能，對應(yīng)的最小正周期就是。

當(dāng)為偶數(shù)時，兩邊開次方，得，，當(dāng)時，，所以，是（為偶數(shù)）的一個周期，故當(dāng)為偶數(shù)時，的最小正周期為。

例2求的最小正周期。

解：易知的最小正周期為，的最小正周期為，的最小正周期為，由定理4可知，為的一個周期，故由推論1可設(shè)的最小正周期為（），即，有

（3）

在（3）式中，取代入，得

（4）

當(dāng)≥6時，，不滿足（4）式.

容易檢驗都不滿足（4）式；時，（4）式成立。

再取代入（3）式，得：

（5）

當(dāng)時，（5）式成立；當(dāng)時，容易檢驗（5）式不成立.

綜上可知，，故的最小正周期為。

例3：求的最小正周期。

解：易知的最小正周期為，的最小正周期為，由定理4可知，為的一個周期.故由推論1可設(shè)的最小正周期為（）.下面我們來求。

因為為的周期，那么，對，有

即

（6）

取代入（6）式，得

（7）

時上式成立，當(dāng)時，對（6）式，有

上式顯然不是對任意的都是成立的，因為當(dāng)時，上式左邊趨近于，而右邊趨近于0.對，同理可知（6）（式不成立。

將代入（7）式，明顯不成立。

對于（7）式，現(xiàn)在我們來考慮≥7的情形。

不妨令 （8）

所以，（8）式對于當(dāng)≥7來說是嚴(yán)格單調(diào)減少的，而，當(dāng)時，，所以，對任意的≥7來說，。

綜上可知，只有當(dāng)時（6）式成立，故函數(shù)的最小正周期為。

參考文獻(xiàn)

[1] 李長明，周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2005：160-166

[2] 候文超.周期函數(shù)及其最小正周期[J].北京工商大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，25（1）：68-73

[3] 周文龍.關(guān)于周期函數(shù)存在最小正周期的證明[J].安慶師范學(xué)院：自然科學(xué)版，2002，8（2）：16

[4] 鞠正云.論兩個周期函數(shù)之和的最小正周期[J].鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校學(xué)報，1999（2）：71-76

[5] 梁力平.對周期函數(shù)及其和、差、積、商函數(shù)周期性的探討[J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2006，27（6）：10-12

[6] 張崇德.周期函數(shù)的最小正周期的幾個判定定理[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，1990，7（3）：11-15