龐 通，黃藝榮，徐依斕，陳 乾?，戴玉蓉

（1.東南大學(xué)，江蘇 南京 211189；2.倫斯勒理工學(xué)院，紐約州 特洛伊 12180）

三線擺實(shí)驗(yàn)中擺角偏大產(chǎn)生的誤差及修正方法

龐 通1，黃藝榮1，徐依斕2，陳 乾1?，戴玉蓉1

（1.東南大學(xué)，江蘇 南京 211189；2.倫斯勒理工學(xué)院，紐約州 特洛伊 12180）

研究了三線擺實(shí)驗(yàn)中擺角偏大（5°＜θ＜20°）時(shí)對(duì)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量產(chǎn)生的誤差和修正辦法。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)隨著擺角的增大，測(cè)得的圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也會(huì)相應(yīng)偏大，從而導(dǎo)致測(cè)量誤差增大。文章通過(guò)進(jìn)一步的理論分析解釋了這一現(xiàn)象，并對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了系統(tǒng)誤差修正。

三線擺；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；系統(tǒng)誤差

測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法有多種，如落體法、復(fù)擺法和扭振法等［1］。三線擺法是扭振法的一種，因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、操作簡(jiǎn)便、受阻尼影響小等優(yōu)點(diǎn)而常見(jiàn)于理工科大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程［2，3］。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，為了滿足振動(dòng)系統(tǒng)的線性要求，須使擺角θ≤5°。然而，由于教學(xué)儀器精度較低，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中易出

現(xiàn)擺角偏大的情況。在已有文獻(xiàn)中，對(duì)這一問(wèn)題產(chǎn)生的誤差研究甚少，少數(shù)文獻(xiàn)只是理論估計(jì)了誤差大小，并沒(méi)有給出詳細(xì)的驗(yàn)證分析［4-6］。本文針對(duì)這一問(wèn)題做了系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究和理論分析，并給出了一種大角度擺動(dòng)時(shí)對(duì)測(cè)得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量結(jié)果的簡(jiǎn)易修正方法，希望能通過(guò)這一工作加深學(xué)生對(duì)該實(shí)驗(yàn)相關(guān)操作要求和誤差分析的理解和掌握。

1 實(shí)驗(yàn)方法與結(jié)果

本文實(shí)驗(yàn)所用的儀器為南京培中科技開(kāi)發(fā)研究所開(kāi)發(fā)的TWP-2型三線擺實(shí)驗(yàn)儀，如圖1（a）所示。忽略摩擦力的影響，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可以得到:

在懸盤(pán)做小角度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)可得到圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)

圖1 （a）三線擺實(shí)驗(yàn)儀器示意圖；（b）三線擺實(shí)驗(yàn)原理圖

為了圖示清楚，圖中長(zhǎng)度和角度的比例與實(shí)際相比有所調(diào)整。

慣量的表達(dá)式［3］:

其中相關(guān)的物理量如圖1（b）所示，T為測(cè)得的轉(zhuǎn)動(dòng)周期。筆者分別測(cè)量了不同初始擺角θ0≈5°，10°，15°，20°時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期，帶入（2）式直接計(jì)算得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論計(jì)算結(jié)果JT比較，得誤差如圖2方點(diǎn)所示。從圖中可以看到，隨著擺角的增加，J0的值不斷偏大，當(dāng)擺角接近20°時(shí)，相對(duì)誤差已超過(guò)5%，這類系統(tǒng)誤差在實(shí)際應(yīng)用中已經(jīng)不可忽略。

圖2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量誤差與擺角的關(guān)系

圖2測(cè)量得到的圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與理論值相比的誤差和擺角關(guān)系（方點(diǎn)），圖中給出了4次測(cè)量結(jié)果的平均值和置信區(qū)間，每次測(cè)量50個(gè)周期取平均值進(jìn)行計(jì)算。采用本文所述方法修正后的誤差平均值與擺角的關(guān)系（圓點(diǎn)）。測(cè)量過(guò)程中保持R/H=0.28，儀器的r/R=0.29。

2 誤差分析與討論

我們認(rèn)為，上述誤差產(chǎn)生的主要原因是由于擺角偏大，三角函數(shù)的一階近似不再適用。為了修正這一誤差，對(duì)三角函數(shù)采用二階近似后，有:

和式（2）相比，上式等號(hào)右邊，在J0的基礎(chǔ)上需要再減去J1和J2兩項(xiàng):

由式（5）、（6）可知其均為正值，因此在擺角較大時(shí)，若未考慮這兩項(xiàng)的作用，將使測(cè)量結(jié)果偏大，這與圖2中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符，也與相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)論一致［7］。在用式（4）對(duì)測(cè)量結(jié)果修正后，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)誤差得到了明顯的改善（如圖2圓點(diǎn)示）。這里需要說(shuō)明的是，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中還會(huì)存在阻尼以及橫向擺動(dòng)等其它因素的影響，因此修正后的結(jié)果與理論值相比還會(huì)存在誤差，特別是當(dāng)擺角增加過(guò)大時(shí)，本文所用的有效值近似帶來(lái)的系統(tǒng)誤差也會(huì)突顯出來(lái)。

同時(shí)，根據(jù)式（4）還能預(yù)測(cè)當(dāng)H值減小時(shí)，由式（2）得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也會(huì)增加。為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，筆者在固定擺角約為10°時(shí)測(cè)量了不同擺長(zhǎng)下的相關(guān)數(shù)據(jù)。如圖3所示，修正前的誤差隨著R/H值的增加而增加，這也和已有的文獻(xiàn)結(jié)果相一致［8］。從圖中還能看到，采用式（4）修正后的結(jié)果與理論值符合得很好。

圖3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量誤差與R/H的關(guān)系

圖3固定擺角約為10°時(shí)，測(cè)量得到的圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的誤差和R/H的對(duì)應(yīng)關(guān)系（方點(diǎn)）以及采用本文所述方法修正后的誤差平均值與R/H的關(guān)系（圓點(diǎn)）。

3 結(jié) 論

本文將實(shí)驗(yàn)和理論相結(jié)合，系統(tǒng)研究了擺角偏大時(shí)三線擺法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的誤差變化規(guī)律和修正方法。研究發(fā)現(xiàn)采用簡(jiǎn)單的有效值近似，可以在擺角小于20°時(shí)較好的修正擺角偏大而帶來(lái)的測(cè)量誤差。作為一個(gè)研究性小課題，本工作可讓學(xué)生在已有的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)上，加深三線擺教學(xué)實(shí)驗(yàn)中強(qiáng)調(diào)對(duì)擺角大小要求的理解，并鍛煉其分析誤差來(lái)源和修正系統(tǒng)誤差的實(shí)驗(yàn)基本能力。

［1］ 陳春澄，莊表中，沈德先.關(guān)于測(cè)試物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方法的探討［J］.力學(xué)與實(shí)踐，1992，6（14）:48-49.

［2］ 夏雪芹.“比較測(cè)量法”在三線擺實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2013，26（2）.

［3］ 錢(qián)鋒，潘人培.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)（修訂版）［M］.北京:高等教育出版社，2005:52-64.

［4］ 趙佳明，劉峰.“三線擺”實(shí)驗(yàn)中擺角限值的討論［J］.大連大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，21（2）:54-57.

［5］ 盛忠志，易德文，楊惡惡.三線擺法測(cè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量所用近似方法對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響［J］.大學(xué)物理，2004，23（2）:44-46.

［6］ 張將良，王吉有，郭子豪，等.三線擺實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的分析［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2014，27（3）.

［7］ 昝會(huì)萍，張引科.也談擺角對(duì)三線扭擺周期的影響［J］.物理實(shí)驗(yàn)，1998，19（6）:44-45.

［8］ 宋超，潘鈞俊，葉郁文.用三線擺方法測(cè)試物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的誤差問(wèn)題［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2003，25（1）: 59-61.

Error Caused by Swing Angle and the Correction Method in Three-wire Pendulum Experiment

PANG Tong1，HUANG Yi-rong1，XU Yi-lan2，CHEN Qian1?，DAI Yu-rong1
（1.Southeast University，Jiangsu Nanjing 211189；2.Rensselaer Polytechnic Institute，Troy，NY，USA，12180）

Error caused by swing angle（5°＜θ＜20°）in measuring the rotational inertia via three-wire pendulum is studied，the method to correct the systematic errors is also presented.The measured inertia of disc increases with the increasing of swing angle.And，based on theoretical analysis，this phenomenon is explained and the systematic errors are corrected.

three-wire pendulum；rotational inertia；systematic errors

P207+.1

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.01.031

1007-2934（2015）01-0096-03

2014-09-07

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