林巧容

【摘 要】2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中運用數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行思考，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力，發(fā)展創(chuàng)新意識。

【關(guān)鍵詞】一元一次方程 應(yīng)用題 教學(xué)策略

2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中運用數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行思考，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力，發(fā)展創(chuàng)新意識。而列方程解應(yīng)用題是初中代數(shù)學(xué)習(xí)在應(yīng)用上的出發(fā)點，是開發(fā)學(xué)生智力、培養(yǎng)分析問題、解決問題能力的重要環(huán)節(jié)，為今后學(xué)習(xí)不等式、方程組、函數(shù)等知識提供思想和方法，也為幾何求值題的解題思路提供模型思想，是初中數(shù)學(xué)的重中之重。

初一學(xué)生的特點是思維活躍、膚淺，思考問題尚欠深刻，綜合性較差。而列方程解應(yīng)用題在“審”“設(shè)”“找”“列”“檢”“答”的環(huán)節(jié)須經(jīng)歷抽象、建模等深刻思考才能順利解題，因此，歷來是教學(xué)的一個難點。新教材為了分散難點已作了充分的準(zhǔn)備。比如，在小學(xué)編進(jìn)了《簡易方程》，讓學(xué)生對列方程解應(yīng)用題在思維和解法上積累經(jīng)驗；在初一第三章學(xué)習(xí)了列代數(shù)式，讓學(xué)生能從探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律中，掌握用代數(shù)式進(jìn)行表達(dá)的方法；新教材還在“認(rèn)識一元一次方程”中舉了大量與生活密切相關(guān)的應(yīng)用題，設(shè)出未知數(shù)，讓學(xué)生列出方程。這些舉措從心理上有效減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)用題的恐懼心理，也從思想方法上積累了大量解題經(jīng)驗。但是，初中應(yīng)用題加大了題目的復(fù)雜程度，學(xué)生在解題上存在如下問題：1.找不出隱含的等量關(guān)系。2.不懂靈活地設(shè)未知數(shù)。3.不懂如何使用等量關(guān)系。因此，列方程解應(yīng)用題依然是教學(xué)的難點。費賴登塔爾德提出了再創(chuàng)造理論：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)主要是運用問題的解決來啟迪、培養(yǎng)和優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，教師的任務(wù)是通過問題的設(shè)計為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造提供自由廣闊的天地，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探索，自行挖掘其中蘊含的值得深思的問題。因此，我的教學(xué)策略是設(shè)計恰當(dāng)?shù)膯栴}，在問題的思考和解決中以突破以上三個問題為抓手，立足于學(xué)生思維能力的培訓(xùn)，引導(dǎo)學(xué)生思考知識間的內(nèi)在聯(lián)系，注重分析過程的思路開拓與規(guī)律的揭示，從而感悟數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

一、在問題情境思考中尋找等量關(guān)系的策略

引導(dǎo)學(xué)生思考知識之間的內(nèi)在聯(lián)系：方程是含有未知數(shù)的等式，有等式必須要有等量關(guān)系。因此列方程解應(yīng)用題必須要學(xué)會找等量關(guān)系。如何尋找呢？下面通過例題的示范和回放已學(xué)過的例子來歸納總結(jié)尋找等量關(guān)系的策略。

例題示范（教科書中的例題）：某居民樓頂有一個底面直徑和高均為4m的圓柱形儲水箱（如圖1），現(xiàn)對該樓進(jìn)行維修改造，為減少樓頂原有儲水箱的占地面積，需要將它的底面直徑由4m減少為3.2m，那么在容積不變的前提下，水箱的高度由原先的4m變?yōu)槎嗌倜?？引?dǎo)學(xué)生思考探索得出：變化前后的不變量就是等量關(guān)系——舊水箱的容積=新水箱的容積。根據(jù)班級學(xué)生的實際情況，對教材進(jìn)行再創(chuàng)造，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高思維水平。

鏈接練習(xí)：銅仁市對區(qū)主干道進(jìn)行綠化，計劃把某一段公路的一側(cè)全部栽上桂花樹，要求路的兩端各栽一棵，并且每兩棵樹的間隔相等，如果每隔5米栽1棵，則樹苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，則樹苗正好用完，問原有樹苗多少棵？

引導(dǎo)學(xué)生分析思考：兩種假設(shè)中道路的長度總是不變的。因此，可設(shè)原有樹苗x棵，根據(jù)兩種不同栽樹方法的道路長度一樣，列方程5（x+21-1）=6（x-1）。通過例題示范和練習(xí)的鏈接讓學(xué)生明白等量關(guān)系的一種找法：變化前后不變的量就是一個等量關(guān)系。

下面通過課件回放第一節(jié)認(rèn)識“一元一次方程”的五個引例，引導(dǎo)學(xué)生歸納出等量關(guān)系的另外兩種找法。

題目中有明顯的數(shù)量關(guān)系就是等量關(guān)系?；胤诺谌齻€引例：甲、乙兩地相距22km，張叔叔從甲地出發(fā)到乙地，每小時比原計劃多走1km，因此提前12min到達(dá)乙地。張叔叔原計劃每小時走多少千米？引導(dǎo)學(xué)生分析思考：題目中明顯的數(shù)量有“多”“提前”，因此本題等量關(guān)系有兩個：①實際每小時行走的路程=原計劃每小時行走的路程+1km；②實際行走時間=原計劃行走時間-12min。引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題中“和”“差”“倍”“分”等表示數(shù)量關(guān)系的詞語，如“一共”“多”“少”“快”“慢”“提前”“超過”“剩余”“增產(chǎn)”“降低”“上升”等，指出：數(shù)量關(guān)系的落實在數(shù)學(xué)運算上具有相對性。注意辨析：“幾年后”與“第幾年”，“翻一番”與“翻兩番”， “是幾倍”與“增加幾倍”“增加到幾倍”“增加百分之幾”“增加幾分之幾”，“除”與“除以”等細(xì)節(jié)上的表達(dá)，要咬文嚼字，分辨清楚，注意細(xì)節(jié)。

3.挖掘問題中出現(xiàn)的公式，公式本身就隱含著等量關(guān)系?；胤诺谖鍌€引例：某長方形操場的面積是5850m2，長和寬之差為25m，這個操場的長與寬分別是多少米？引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析和思考：題中有一個明顯的數(shù)量關(guān)系“差”，有一個公式“長方形的面積”。因此，本題有兩個等量關(guān)系：①長方形的面積=長×寬；②長方形的長-長方形的寬=25m。通過以往問題的經(jīng)驗歸納和回放引例示范，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同類型的應(yīng)用題中都隱含有不同的公式，如行程問題：路程=速度×?xí)r間；工程問題：工作量=工作效率×工作時間；利潤問題：利潤率=利潤÷進(jìn)價，利潤=售價-進(jìn)價；價錢問題：總價=數(shù)量×單價；等等。

二、在解決問題的過程中引出三種設(shè)未知數(shù)的方法

引導(dǎo)學(xué)生思考知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，方程是含有未知數(shù)的等式，因此列方程解應(yīng)用題必須設(shè)未知數(shù)，未知數(shù)怎樣設(shè)呢？有幾種設(shè)法？下面通過例子的講解感悟未知數(shù)的三種設(shè)法。

第一種：直接設(shè)元法。題目求什么，就直接設(shè)什么，然后尋找一個能體現(xiàn)題目主要意思的等量關(guān)系，列一個方程即可。這種方法應(yīng)用最廣，學(xué)生最愛用，也用得最好，這部分不講，讓學(xué)生自主探究，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生。

第二種：間接設(shè)元法。有的題目用直接設(shè)元法根本無法求出，轉(zhuǎn)而用間接設(shè)元法。

例題示范：在我們的身邊有些股民，在每一次的股票交易中都可能盈利或虧損，某股民將甲、乙兩種股票賣出，甲種股票賣出1500元，盈利20%；乙種股票賣出1600元，但虧損20%，該股民在這次交易中是盈利還是虧損？盈利或虧損多少元？引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思考：盈利還是虧損都是相對原價而言的，必須知道原來甲、乙兩種股票的進(jìn)價是多少，因此，用間接設(shè)元法，設(shè)甲種股票進(jìn)價為x元，乙種股票進(jìn)價為y元，則根據(jù)利潤公式：利潤率=利潤/進(jìn)價，得到（1500-x）/x=20%，解得x=1250元；（y-1600）/y=20%，解得y=2000。因為1500+1600-（2000+1250）=-150，所以虧損150元。

第三種：設(shè)輔助元。有的題目出現(xiàn)未知量，這個未知量我們不需要知道，但與題意關(guān)系密切，為了順利解出問題，這時設(shè)一個輔助未知數(shù)起橋梁作用。

例題示范：某藥店經(jīng)營的抗病毒藥品，在市場緊缺的情況下提價100%，物價部門查處后，限定其提價的幅度只能是原價的10%，則該藥品現(xiàn)在降價的幅度是多少？引導(dǎo)學(xué)生思考：本題有一個明顯的等量關(guān)系：藥品提價的幅度是原價的10%，可用直接設(shè)元法，設(shè)降價的幅度為x，本題中原價是多少不知道，也不需要知道，但與題目密切相關(guān)，為了順利列出方程，設(shè)原價為a元，這個a就是一個輔助未知數(shù)，起個橋梁作用，得（1+100%）a（1-x）=（1+10%）·a。因為a≠0，所以兩邊同除以a，得2（1-x）=1.1x，解得x=0.65。

通過以上問題的解決，學(xué)生在積極思考探索中，積累了活動經(jīng)驗，能根據(jù)題目靈活地設(shè)未知數(shù)，掌握設(shè)元的技巧，為順利解決問題跨出了重要的一步。

三、通過一題多解或借助表格、線段圖等形象表征法來領(lǐng)會等量關(guān)系的使用情況和注意事項

在北師大2013年6月第二版數(shù)學(xué)教學(xué)用書第225頁有一句話“本課時的情況問題與前面的問題相比，數(shù)量關(guān)系要相對復(fù)雜一些，它包含兩個等量關(guān)系”，這句話不對，在前面例子中只要是求兩個問題，題中一定存在兩個等量關(guān)系，只是列一元一次方程解應(yīng)用題時，另一個等量關(guān)系用于列未知量，一個等量關(guān)系用于列方程。示范例子（教學(xué)用書第217頁例子）：用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形，使得該長方形的長比寬多1.4m，此時長方形的長、寬各為多少米？引導(dǎo)學(xué)生思考：本題有兩個等量關(guān)系：①明顯的數(shù)量關(guān)系，即長方形的長比寬多1.4m，所以等量關(guān)系為長方形的長=長方形的寬+1.4m；②題目中隱含著長方形的周長是10m，根據(jù)長方形的周長方式得等量關(guān)系為長方形的周長=2（長方形的長+長方形的寬）。可用直接設(shè)元法，設(shè)長方形的長為x米，解法1：用第①個等量關(guān)系列未知量，長方形的寬等于長方形的長-1.4m，即長方形的寬為（x-1.4）m；用第②個等量關(guān)系列方程，得2[x+（x+1.4）]=10，解得x=3.2，則x-1.4=1.8，得出答案。解法2：用第②個等量關(guān)系列未知量，長方形的寬等于長方形的周長除以2-長方形的長，即（5-x）m；用第①種等量關(guān)系列方程，得x=5-x+1.4，解x=3.2，則5-x=1.8，得出答案。引導(dǎo)學(xué)生明析：方法和過程不一樣，結(jié)果一樣，當(dāng)然這當(dāng)中有個最優(yōu)化方案的解法，因題而異。

另注意：在應(yīng)用題中，使用變化前后不變量作為等量關(guān)系時，完全是具體量或待定要求設(shè)元的量都不作為等量關(guān)系使用。示范例子：已知某鐵路橋長1000米，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全通過橋共用了1min，整列火車都在橋上的時間為40s，求火車的車長是多少米。點撥學(xué)生可以借助線段圖或表格形象表征法來分析思考：①行程問題可以借助線段圖直觀形象地幫助理解題意（如圖2） ；②在已知量和未知量關(guān)系較模糊時可以列表格梳理思路；③引導(dǎo)學(xué)生找等量關(guān)系。本題是行程問題，根據(jù)路程公式本身隱含著一個等量關(guān)系：路程=速度×?xí)r間①。但題目中除了求車長一個問題外，相關(guān)的速度也是未知量，因此，還需一個等量關(guān)系。時間是完全具體量，若車長是待定要求設(shè)元的量（即用直接設(shè)元法），路程又不一樣，那就從速度方面找等量關(guān)系。根據(jù)兩種情況不變的是速度，因此還有一個等量關(guān)系：第一種情況的火車速度=第二種情況的火車的速度②。用直接設(shè)元法，設(shè)火車的車長為x米，根據(jù)等量關(guān)系①列未知量，列表：

路程（米） 速度（米/秒） 時間（秒）

第一種情況 1000+x （100+x）/60 60

第二種情況 1000-x （100-x）/40 40

根據(jù)等量關(guān)系②列方程得（1000+x）/60=（1000-x）/40，解得x=200。

變式：題目已知條件不變，結(jié)果改為求火車的速度。引導(dǎo)學(xué)生通過類比思考分析：題目中除了求火車的速度外，相關(guān)的車長也是未知量，因此除了等量關(guān)系①還需一個等量關(guān)系。時間是完全具體量，若火車的速度是待定要求設(shè)元的量（即用直接設(shè)元法），路程又不一樣，那就從車長方面找等量關(guān)系。根據(jù)兩種情況不變的是火車的車長，因此，另一個等量關(guān)系是：第一種情況火車的車長=第二種情況火車的車長③。用直接設(shè)元法，設(shè)火車的速度為y米/秒，根據(jù)等量關(guān)系①列未知量，列表：

路程（米） 速度（米/秒） 時間（秒）

第一種情況 60y y 60

第二種情況 40y y 40

根據(jù)等量關(guān)系③列方程，得60y-1000=1000-40y，解得y=20。

指出：本題中火車的車長與火車的速度都是不變的，為了讓學(xué)生更好地理解等量關(guān)系的使用情況，可以鼓勵學(xué)生用間接設(shè)元法解變式題，解法就是原題的解法，只不過把求出x=200，代入火車的速度（1000+x）/60中，得（1000+200）/60=20（米/秒）。

在列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟“審”“設(shè)”“找”“列”“檢”“答”六個環(huán)節(jié)中，不是面面俱到，平均使力，而是提出恰當(dāng)?shù)膯栴}，抓住學(xué)生思考問題的“關(guān)鍵點”，數(shù)學(xué)知識之間聯(lián)系的“聯(lián)結(jié)點”，數(shù)學(xué)問題變式的“發(fā)散點”，學(xué)生思維提升的“育點”和學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”作精辟的講解，使學(xué)生從紛繁復(fù)雜的教學(xué)內(nèi)容中理出頭緒，抓住問題的本質(zhì)，突破難點。這種“講”與“不講”、“講多”與“講少”、“精講”與“多練”，注重教學(xué)節(jié)奏之美的課堂，節(jié)約了很多時間，一方面可以為學(xué)生的思考提供足夠的空間，另一方面可以把學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生，使學(xué)生在主動、積極的情感狀態(tài)下掌握知識和技能，同時也培養(yǎng)了分析問題、解決問題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]翁啟漢.列方程解應(yīng)用題教學(xué)探討[J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，2002（16） .

[2]韓新正.談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的節(jié)奏之美[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2013（09）.