孫文兵+楊立+君劉瓊

【摘 要】線性代數(shù)作為工科專業(yè)一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程在傳統(tǒng)教學(xué)和學(xué)習(xí)中重理論而輕實(shí)踐，導(dǎo)致線性代數(shù)不能為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)發(fā)揮其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。分析了線性代數(shù)教學(xué)改革中融入Matlab計(jì)算軟件的必要性和可行性。結(jié)合Matlab在線性代數(shù)課程計(jì)算中應(yīng)用實(shí)例，闡述了Matlab在線性代數(shù)課程教學(xué)改革中的意義。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；Matlab；教學(xué)改革

1 線性代數(shù)教學(xué)中值得思考的問(wèn)題

線性代數(shù)的授課對(duì)象以工科、管理學(xué)專業(yè)學(xué)生為主，這些專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)目的不同于數(shù)學(xué)專業(yè)，他們不從事線性代數(shù)理論研究，更在乎對(duì)后續(xù)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)作用，因此從事線性代數(shù)教學(xué)的教師更要了解授課對(duì)象需要什么。傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)面臨很多的問(wèn)題值得教學(xué)工作者思考：一是過(guò)多抽象理論講解缺乏與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系。線性代數(shù)本來(lái)是一門很抽象的學(xué)科，如果教師教學(xué)中一味傳授理論缺乏與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，學(xué)生學(xué)了以后覺(jué)得似懂非懂，理解困難，曾有學(xué)生問(wèn)我，學(xué)了線性代數(shù)有什么用？是的，學(xué)了又不能解決實(shí)際問(wèn)題有什么用，這是因?yàn)槲覀兘虒W(xué)過(guò)程中忽略了線性代數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，當(dāng)然這有一定的歷史原因，線性代數(shù)作為大學(xué)必修課程從20世紀(jì)80年才開(kāi)始引入[1]，另一個(gè)原因是線性代數(shù)教材的編寫不應(yīng)以純理論為主，應(yīng)多結(jié)合實(shí)際。二是涉及到的計(jì)算多以筆算為主。線性代數(shù)涉及特別多的矩陣計(jì)算，低階情況筆算還勉強(qiáng)可行，但計(jì)算量很大，而且大多是機(jī)械的加減乘除運(yùn)算，一節(jié)課下來(lái)，教師板書幾黑板，“忙”的不亦樂(lè)乎，然而收效甚微，繁瑣的計(jì)算消耗了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。 第三，所教授的知識(shí)不能滿足后續(xù)課程學(xué)習(xí)的需要。尤其工科專業(yè)后續(xù)課程往往要以線性代數(shù)為工具解決實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算，由于教授內(nèi)容重理論忽視與計(jì)算機(jī)的融合，因此所學(xué)的線性代數(shù)知識(shí)并不能為后續(xù)課程計(jì)算提供幫助。由此可見(jiàn)，傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)方法必須進(jìn)行改革。

2 線性代數(shù)教學(xué)與Matlab軟件結(jié)合的必要性和可行性

面對(duì)大型的實(shí)際問(wèn)題往往涉及到批量數(shù)據(jù)的計(jì)算處理，利用矩陣建模恰好能達(dá)到這一目的，很多大型的計(jì)算問(wèn)題最終都轉(zhuǎn)化為矩陣計(jì)算，因此線性代數(shù)在科學(xué)計(jì)算中發(fā)揮了關(guān)鍵的作用，這也是線性代數(shù)在工科后續(xù)課程中真正價(jià)值所在。所以線性代數(shù)的課程教學(xué)必須與科學(xué)計(jì)算相結(jié)合，一味強(qiáng)調(diào)抽象理論的學(xué)習(xí)和筆算方法，忽略了工科學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的目的所在。

線性代數(shù)中的筆算方法對(duì)于學(xué)生理解方法確實(shí)有所幫助，但是對(duì)于大型的實(shí)際問(wèn)題幾乎是紙上談兵，寸步難行的。舉個(gè)簡(jiǎn)單例子，實(shí)際中求10階的行列式并不算大型問(wèn)題，用行或列變換將行列式化為三角形行列式的方法計(jì)算行列式要進(jìn)行339次乘除運(yùn)算，在不出現(xiàn)任何錯(cuò)誤的情況下，估計(jì)要10-20多分鐘才能算出。而且這種計(jì)算對(duì)鍛煉學(xué)生的計(jì)算能力幾乎沒(méi)有作用，只會(huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而用Matlab軟件只需一個(gè)命令便可輕松解決。

Matlab軟件是一種以矩陣為基本單元的高級(jí)計(jì)算語(yǔ)言，具有功能強(qiáng)、效率高、簡(jiǎn)單易學(xué)的特點(diǎn)[2]。Matlab最初是美國(guó)Cleve Moler教授為方便矩陣計(jì)算而編寫的使用Linpack和Eispack的接口程序，經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展Matlab現(xiàn)在已經(jīng)成為各高校理工科多門課程基本教學(xué)工具，也逐漸成為大學(xué)生和研究生必須掌握的一門語(yǔ)言工具，對(duì)涉及到矩陣的計(jì)算問(wèn)題使用起來(lái)非常方便，所以講Matlab融入到線性代數(shù)的教學(xué)當(dāng)中是行之有效的。

3 Matlab軟件融入線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用舉例

下面舉幾個(gè)在線性代數(shù)教學(xué)中常見(jiàn)的計(jì)算問(wèn)題：

例1 求矩陣的行列式、逆以及矩陣的秩。

在Matlab命令窗口中輸入：

>> A=[3，-2，0，-1；0，2，2，1；1，-2，-3，-2；3，1，2，1]；

>> det（A） % 求行列式的值。

輸出結(jié)果ans = -11.0000

>> inv（A） % 求矩陣的逆。

輸出結(jié)果ans =

-0.0909 -0.0909 0.1818 0.3636

-0.2727 0.7273 0.5455 0.0909

0.6364 0.6364 -0.2727 -0.5455

-0.7273 -1.7273 -0.5455 0.9091

>> rank（A） %求矩陣的秩

輸出結(jié)果ans =4

這是一個(gè)求四階行列式的值以及矩陣的秩和逆的問(wèn)題，利用矩陣的初等變換筆算方法大家都有體驗(yàn)，計(jì)算麻煩而且不容出任何錯(cuò)誤，用Matlab軟件實(shí)現(xiàn)只需一個(gè)命令，簡(jiǎn)單至極。當(dāng)然有人質(zhì)疑，如果這些計(jì)算都用計(jì)算機(jī)代替了，不利于學(xué)生對(duì)概念的理解，所以教學(xué)中要把握好分寸，簡(jiǎn)單的計(jì)算可以幫助學(xué)生理解概念原理，但更重要的是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)科學(xué)計(jì)算法，因?yàn)楣た茖W(xué)生掌握線性代數(shù)的目的是為后續(xù)專業(yè)課程中涉及到的計(jì)算問(wèn)題做準(zhǔn)備的。再看一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見(jiàn)的應(yīng)用問(wèn)題：

例2 在一次投料生產(chǎn)中，獲得四種產(chǎn)品，每次測(cè)試總成本如下表所示。

試求每種產(chǎn)品的單位成本。

解：設(shè)四種產(chǎn)品的單位成本分別為x1，x2，x3，x4，根據(jù)題意建立線性代數(shù)方程組：

在Matlab命令窗口輸入：

>> A=[200，100，100，50；500，250，200，100；100，40，40，20；400，180，160，60]； % 方程組系數(shù)矩陣

>> b=[2900，7050，1360，5500]'；%方程組右端常數(shù)項(xiàng)

>> x=A＼b %對(duì)方程組求解

輸出結(jié)果x = 10 5 3 2.

從上面幾個(gè)簡(jiǎn)單例子可以看出，Matlab軟件融入線性代數(shù)教學(xué)和學(xué)習(xí)中可以解決很多復(fù)雜機(jī)械的計(jì)算問(wèn)題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中發(fā)揮線性代數(shù)的極大價(jià)值打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也說(shuō)明線性代數(shù)教學(xué)改革中融入Matlab科學(xué)計(jì)算軟件的重要性。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳懷琛.線性代數(shù)要與科學(xué)計(jì)算結(jié)成好伙伴[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，（下轉(zhuǎn)第301頁(yè)）（上接第18頁(yè)）2010（26）：28-33.（增刊1）.

[2]劉衛(wèi)國(guó).Matlab程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

[3]劉金旺，夏學(xué)文.線性代數(shù)（修訂版）[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008，6.

[責(zé)任編輯：曹明明]