俞丹鋒

摘 要： 極限思想是進(jìn)行微積分學(xué)習(xí)的敲門磚，向?qū)W生滲透極限思想在小學(xué)階段就顯得尤為重要，但是受學(xué)生年齡的限制和知識(shí)掌握的制約，初步讓學(xué)生了解極限思想必須充分考慮學(xué)生的認(rèn)知情況，重視直觀教學(xué)，讓學(xué)生充分感知，在實(shí)踐中潛移默化地滲透極限思想。

關(guān)鍵詞： 極限思想 逼近 滲透 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

極限思想是眾多數(shù)學(xué)思想之一，是發(fā)展數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。近代的極限思想的發(fā)展是與微積分有著重要聯(lián)系，為了給學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)課程打下伏筆，因此小學(xué)階段給學(xué)生滲透極限思想就顯得尤為重要。

如何在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中滲透極限思想呢？極限思想是建立在動(dòng)態(tài)的基礎(chǔ)變量上，既舉足輕重又頗具難度。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是用極限逼近準(zhǔn)確，在有限動(dòng)態(tài)的過(guò)程中研究無(wú)限，在“不變”的基礎(chǔ)上理解“變”，從“曲線形”中轉(zhuǎn)化出“直線形”，用近似的方式理解精確。

在小學(xué)階段，向?qū)W生滲透極限思想就必須讓學(xué)生理解“無(wú)限”和“逼近”這兩個(gè)概念。但是在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)部分教師對(duì)于極限沒(méi)有一個(gè)明確的認(rèn)識(shí)，他們片面地認(rèn)為極限就是“無(wú)限”。例如：直線和射線都可以無(wú)限延伸，自然數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，等等，這些教師將這些知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)誤地理解都蘊(yùn)含著極限的思想，這些看法是不準(zhǔn)確的。微積分的極限理論的核心是，如果一個(gè)函數(shù)或數(shù)列無(wú)限地接近于一個(gè)常數(shù)，我們就說(shuō)這個(gè)常數(shù)稱作這個(gè)函數(shù)或數(shù)列的極限，這是極限概念的定性的描述。因此直線是無(wú)限延伸等知識(shí)點(diǎn)只是一個(gè)無(wú)限的思想，而不是極限思想。受小學(xué)生年齡限制及對(duì)事物認(rèn)知方面制約，理解極限思想這種抽象的思維存在難度，但不能因?yàn)槔щy就弱化它，反而必須抓住一切時(shí)機(jī)向?qū)W生滲透極限思想，讓學(xué)生充分感知，了解極限思想，現(xiàn)在就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)滲透極限思想談幾點(diǎn)策略。

一、在直觀感知中滲透極限思想

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出“要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系”[1]。數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，極限思想又是一種高度抽象的數(shù)學(xué)思想，因此在教學(xué)中要借助感性認(rèn)識(shí)才能實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，采用直觀化的教學(xué)手段，才能為學(xué)生抽象邏輯思維的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

現(xiàn)代教育時(shí)常借助多媒體的使用，它可以調(diào)動(dòng)學(xué)生利用多種感官充分感知，引導(dǎo)學(xué)生思考，在思考中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓抽象的極限思想具體化、形象化、直觀化，降低學(xué)生理解的難度。

在人教版六年級(jí)上冊(cè)《圓的面積》一課時(shí)中，通過(guò)現(xiàn)代多媒體的應(yīng)用，直觀展現(xiàn)把圓進(jìn)行2等分，4等分的過(guò)程，在等分的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，等分的一小塊圖形像什么？學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，很自然地想到像一個(gè)三角形，只是一條邊是完全彎曲的。教師繼續(xù)追問(wèn)：有沒(méi)有什么辦法讓這條彎曲的線變得更直些？學(xué)生自然而然想到把圓更加細(xì)分，等分得越多，得到小扇形的弧度就越小，進(jìn)而更加逼近與直邊。教師立刻根據(jù)學(xué)生的想法，用多媒體課件展示出把一個(gè)圓進(jìn)行8等分、16等分、32等分、64等分的過(guò)程，學(xué)生能更直觀充分地感知等分后的扇形越來(lái)越近似三角形，得出把圓轉(zhuǎn)化為三角形，再拼成的長(zhǎng)方形，求出圓的面積。

又如，人教版義務(wù)教育教科書六年級(jí)下冊(cè)《圓柱的體積》一課，把圓柱體底面的圓分成若干相等的扇形，按扇形的等分線沿高線分割開(kāi)，再拼一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，通過(guò)多媒體直觀展示，讓學(xué)生直觀感受到當(dāng)?shù)酌媲蟹值纳刃卧蕉?，拼接出的圖形就越加逼近于長(zhǎng)方體，通過(guò)多媒體flash的動(dòng)態(tài)展示，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)到極限思想中的“化曲為直”及“逼近”這兩個(gè)重要的特征，教師抓住了實(shí)質(zhì)，將復(fù)雜的內(nèi)容進(jìn)行精簡(jiǎn)，講得明白易懂。不僅在教學(xué)中潛移默化地滲透了極限思想，還為學(xué)生將來(lái)的學(xué)習(xí)做好了鋪墊，未來(lái)學(xué)生就可能創(chuàng)造出屬于自己的東西。

二、在動(dòng)手實(shí)踐操作中滲透極限思想

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次的抽象和概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流、逐步感悟數(shù)學(xué)思想。學(xué)生感知極限思想，也離不開(kāi)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)中，如果僅僅靠教師單方面填鴨式的教學(xué)，學(xué)生必然無(wú)法真正感悟到數(shù)學(xué)思想，因此學(xué)生必須親自參加教學(xué)活動(dòng)實(shí)踐，通過(guò)做一做、擺一擺等數(shù)學(xué)活動(dòng)，在操作中感悟極限思想。

在新人教版六年級(jí)上冊(cè)《數(shù)與形》中有一道例題：■+■+■+■+■+■+…，這道例題實(shí)際上是等比數(shù)列求和的內(nèi)容，如果在高中階段，即可通過(guò)等比數(shù)列公式求解，當(dāng)q=■時(shí)，S■=■=■=1-（■）■，■+■+■+■+■+■+…=■（1-（■）■）=1。但是在小學(xué)階段，學(xué)生大多數(shù)知識(shí)的獲知都是通過(guò)直觀感受才獲取，因此在介紹本題求法之前，建議教師先化繁為簡(jiǎn)，將無(wú)限個(gè)的加數(shù)變?yōu)橛邢迋€(gè)，如■+■+■+■+■+■。讓學(xué)生用自己的方法先算一算這幾個(gè)分?jǐn)?shù)的和，學(xué)生一開(kāi)始用之前學(xué)過(guò)通分的方法求和，算完后有些學(xué)生就立刻得出猜想分母減1等于分子。這時(shí)候教師引導(dǎo)學(xué)生，能否借助直觀圖形驗(yàn)證自己的猜想。讓學(xué)生在事先準(zhǔn)備好的一個(gè)幾何平面圖形（如圓形、正方形等）上涂陰影，先涂出■，然后涂出■，接著在小組合作中分別在圖形上空白位置標(biāo)出■，■，■，學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手實(shí)踐，直觀感受到陰影部分越來(lái)越逼近于整個(gè)圖形。在驗(yàn)證了想法后，再對(duì)比通分和用逆向思維的規(guī)律解決問(wèn)題的兩種方法后，教師適當(dāng)提問(wèn)：當(dāng)分?jǐn)?shù)加到無(wú)限個(gè)的時(shí)候，會(huì)怎么樣？有了前面的鋪墊，學(xué)生就能理解這個(gè)等比數(shù)列的求和會(huì)逼近、甚至?xí)顫M整個(gè)圖形，這時(shí)候教師出示得數(shù)等于1時(shí)，學(xué)生就不會(huì)感覺(jué)唐突或難以接受，教師要把握好近似與精確這兩者對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，讓學(xué)生理解它們?cè)谝欢l件下是可以互相轉(zhuǎn)化的；在教學(xué)中不僅僅通過(guò)圓片涂陰影法，還可以結(jié)合線段圖，在長(zhǎng)度是1的線段上，畫出■，■，■…，學(xué)生在畫圖過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)畫出的線段越來(lái)越接近1，在畫圖操作中漸漸體會(huì)到極限的思想，很好地滲透了數(shù)學(xué)思想。

總之，任何一種數(shù)學(xué)方法和思想的掌握與靈活應(yīng)用，都不是一蹴而就的。教師應(yīng)該重視學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)小組交流、同桌合作，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的共同體，通過(guò)數(shù)形結(jié)合等直觀方法，滲透極限思想，為今后建構(gòu)新的數(shù)學(xué)知識(shí)體系夯實(shí)基礎(chǔ)，為今后學(xué)習(xí)微積分做好了鋪墊。

參考文獻(xiàn)：

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京師范大學(xué)出版社，2012.