葉明超

摘 要： 導(dǎo)數(shù)在歷年的高考中占據(jù)相當(dāng)重要的位置，但學(xué)生在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的時機(jī)把握不明確，導(dǎo)致考生在有限的時間內(nèi)無法找到解題的突破口.我們在學(xué)習(xí)中要用導(dǎo)數(shù)尋求解題思路，并在教學(xué)實(shí)踐中突出導(dǎo)數(shù)工具的重大應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 解題思路 教學(xué)應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用廣泛，在中學(xué)階段導(dǎo)數(shù)與代數(shù)、幾何、物理的應(yīng)用息息相關(guān)，也是初等代數(shù)與大學(xué)高數(shù)的重要銜接部分，為學(xué)生深入學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).導(dǎo)數(shù)作為強(qiáng)大的數(shù)學(xué)研究工具，為我們進(jìn)一步對初等函數(shù)以外的研究提供了可能和依據(jù).

一、正確理解導(dǎo)數(shù)的知識，為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用奠定基礎(chǔ)

表示為該點(diǎn)處的切線斜率.因此求切線的斜率，只需求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.導(dǎo)數(shù)的物理意義，利用導(dǎo)數(shù)可以解決物理學(xué)中的瞬時速度及加速度.其解決的辦法如同切線斜率，當(dāng)時間增量△t→0時，兩個時刻間的變化率即轉(zhuǎn)化為瞬時速度及加速度.正確理解導(dǎo)數(shù)的意義，其關(guān)鍵在于△x→0使平均變化率轉(zhuǎn)化為瞬時變化率.導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的研究工具，借助基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式及運(yùn)算法則，對非初等函數(shù)的研究提供強(qiáng)有力的依據(jù).

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用：1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.借助導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性.2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.首先，通過解方程f′（x）=0，求得x的值，此時x的值未必是極值點(diǎn)，因?yàn)閒′（x）=0是極值點(diǎn)的必要而不充分條件，要進(jìn)一步檢驗(yàn)這一點(diǎn)是不是極值點(diǎn)，看該點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號是否異號是關(guān)鍵.3.函數(shù)的區(qū)間最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.它是在求得極值的基礎(chǔ)上，考查區(qū)間端點(diǎn)值與極值的大小進(jìn)而得出最值的結(jié)論.4.導(dǎo)數(shù)圖像的單調(diào)性與切線斜率變化的關(guān)系.導(dǎo)數(shù)圖像的遞增表明導(dǎo)數(shù)值增大即切線斜率增大，在選擇題中可以判斷原函數(shù)圖像是上凸還是下凹變化.

二、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的常規(guī)思路應(yīng)用

三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義在解題思路的實(shí)踐

近年來高考在導(dǎo)數(shù)的問題上既有傳統(tǒng)的知識的考查，基本上都在前1-2問上考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)，又注重題型的創(chuàng)新，導(dǎo)數(shù)命題創(chuàng)新有兩個方面：一是研究對象的多元化，由研究單一函數(shù)轉(zhuǎn)向研究兩個函數(shù)或多個函數(shù)；二是研究內(nèi)容的多元化，由用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值、極值）轉(zhuǎn)向運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像的交點(diǎn)和方程根的分布等綜合研究，實(shí)際上就是借助導(dǎo)數(shù)圖像分析原函數(shù)圖像的特征.導(dǎo)數(shù)圖像的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)值的變化有這樣的關(guān)系，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上，如果|f′（x）|越大，函數(shù)在區(qū)間（a，b）上的變化就越快，函數(shù)圖像就比較“陡峭”（向上或向下）；如果|f′（x）|越小，函數(shù)在區(qū)間（a，b）上的變化就越慢，函數(shù)圖像就比較“平緩”（向上或向下）.例如：（2013年浙江高考文科第8題）已知函數(shù)y=f（x）的圖像是下列四個圖像之一，且其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖像如右圖所示，則該函數(shù)的圖像是.

對導(dǎo)數(shù)圖像的分析：對于給出導(dǎo)數(shù)圖像的問題，關(guān)鍵在于如何解讀導(dǎo)數(shù)的圖像，導(dǎo)數(shù)的圖像給了我們什么樣的信息.在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中，無非就是用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)解決函數(shù)增減問題，用導(dǎo)數(shù)的增減可以解決函數(shù)圖像的變化率即相應(yīng)點(diǎn)的切線斜率的變化，用導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)解決函數(shù)的極值點(diǎn).因此本題的導(dǎo)數(shù)圖像給我們的第一印象是在區(qū)間[-1，1]上圖像都在x軸的上方，恒為正值，即在區(qū)間[-1，1]上函數(shù)單調(diào)遞增，而A、B、C、D四個選項(xiàng)都是單調(diào)遞增，無法區(qū)分出其函數(shù)圖像的區(qū)別，再從導(dǎo)數(shù)圖像的單調(diào)性角度研究，導(dǎo)數(shù)圖像的單調(diào)性反映的函數(shù)的幾何意義是，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時，導(dǎo)數(shù)遞增表示f′（x）隨自變量的增大而增大，即自變量增大時對應(yīng)的切點(diǎn)的斜率在增大（函數(shù)的平均變化率是增大的），此時函數(shù)圖像是下凸的，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時，導(dǎo)數(shù)遞減表示f′（x）隨自變量的增大而減小，即自變量增大時對應(yīng)的切點(diǎn)的斜率在減小（函數(shù)的平均變化率是減小的），此時函數(shù)圖像是上凸的.因此本題導(dǎo)數(shù)圖像中在[-1，0]上單調(diào)遞增，圖像下凸，在[0，1]上單調(diào)遞減，圖像上凸，故答案應(yīng)為B.

四、非初函數(shù)問題，導(dǎo)數(shù)尋思路謀時機(jī)

導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具，它涉及中學(xué)數(shù)學(xué)的各個方面.在高考中是屬于必考題型，本文就導(dǎo)數(shù)容易忽略的知識應(yīng)用進(jìn)行了探討，闡述了研究初等函數(shù)以外的函數(shù)等相關(guān)問題，有助于對中學(xué)數(shù)學(xué)的深入探究、學(xué)習(xí).

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