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        探究函數(shù)思想,提高考研數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量

        2015-09-10 07:22:44李霞
        考試周刊 2015年36期
        關(guān)鍵詞:函數(shù)思想應(yīng)用

        李霞

        摘 要: 函數(shù)是考研數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一,而由此產(chǎn)生的函數(shù)思想更是重要的.在考研數(shù)學(xué)教學(xué)中,重視函數(shù)思想的滲透與貫穿,對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和提高課堂教學(xué)質(zhì)量均具有非常深遠的意義.

        關(guān)鍵詞: 函數(shù)思想 考研數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 應(yīng)用

        函數(shù)是考研數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一,而由此產(chǎn)生的函數(shù)思想對于微積分理論的學(xué)習(xí)更加重要,它幾乎貫穿考研高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的始終,非常值得探究.所謂函數(shù)思想,就是運用函數(shù)的方法,必要時引入輔助函數(shù),化靜為動、化離散為連續(xù)、化特殊為一般、化形式為內(nèi)容、化常量為變量、化未知為近似、化存在為內(nèi)在規(guī)律,將所討論的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題并加以解決的一種重要的思想方法.在考研數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,重視函數(shù)思想的滲透與貫穿,對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和提高課堂教學(xué)質(zhì)量均具有非常深遠的意義.

        一、以函數(shù)為橋梁,化靜為動——函數(shù)思想在方程根的存在性問題中的應(yīng)用

        代數(shù)方程與函數(shù)相比,前者是靜止,后者是運動,方程的根可視為對應(yīng)函數(shù)在某種特定狀態(tài)下的值.在研究方程問題時,特別是證明方程根的存在性與個數(shù)時,若從函數(shù)的觀點出發(fā),化靜為動,往往能將問題化難為易,化繁為簡.

        例1:證明方程x■+x-1=0只有一個正根.

        解:設(shè)函數(shù)f(x)=x■+x-1,x∈[0,+∞),因為f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),且f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以由零點定理知,至少存在一點ξ∈(0,1),使f(ξ)=0,也即方程x■+x-1=0至少有一個正根ξ.又因為f′(x)=5x■+1>0恒成立,所以函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)增加,故方程x■+x-1=0只有一個正根.

        二、以函數(shù)為背景,化離散為連續(xù)——函數(shù)思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用

        數(shù)列通項可看作定義在正整數(shù)集上的離散函數(shù)u■=f(n)(n∈Z■),而將它連續(xù)化后的函數(shù)y=f(x)(x∈(0,+∞))通常很可能具有可導(dǎo)性等良好的性質(zhì).從函數(shù)的觀點出發(fā),將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的連續(xù)化函數(shù)問題,是求解數(shù)列問題的有效方法之一.

        例2:試求數(shù)列{■}的最大項.

        分析與求解:數(shù)列{■}各項分別為1,■,■,■,…,■,若想通過比較法求解最大項,十分困難.現(xiàn)采用函數(shù)方法求解,將數(shù)列{■}連續(xù)化為函數(shù)f(x)=■,在(0,+∞)上作一般討論.因f(x)=■=x■=e■,故f′(x)=(e■)′=■■,令f′(x)=0得f(x)在(0,+∞)上唯一駐點x=e,當(dāng)x>e時,f′<0,f(x)單調(diào)減少,當(dāng)x0,f(x)單調(diào)增加,故f(x)在x=e處取得最大值e■.而2

        又f(2)=■≈1.414

        項■.

        三、以函數(shù)為背景,化特殊為一般——函數(shù)思想在級數(shù)求和問題中的應(yīng)用

        例3:求級數(shù)■■的和.

        分析與求解:此問題直接求解相當(dāng)困難,于是想引入一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)項級數(shù)■u■(x),使得當(dāng)x取某個特定值x■時,■u■(x■)恰好等于■■,且函數(shù)項級數(shù)■u■(x)的和函數(shù)比較容易得到.為此,引入s(x)=■■,則■■=s(■).冪級數(shù)■■的收斂區(qū)間為(-1,1),顯然x■=■∈(-1,1).利用逐項積分公式得,

        S(x)=■■=x■■=x■?蘩■■x■dx=x?蘩■■(■x■)dx=x?蘩■■■dx=-xln(1-x)

        故■■=s(■)=-■ln■=■ln2.

        四、以函數(shù)為中心,化形式為內(nèi)容——函數(shù)思想在不等式證明問題中的應(yīng)用

        在證明不等式時,可以將不等式問題化為以函數(shù)為中心的問題思考,化形式為內(nèi)容,從而為解決問題帶來方便.

        例4:證明不等式■≤■+■

        分析與證明:通過觀察不等式的形式特征,發(fā)現(xiàn)它的內(nèi)容實質(zhì)上是以函數(shù)f(x)=■,x∈[0,+∞)為中心的問題.事實上,因為f′(x)=■>0恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)增加.又因為0≤|a+b|≤|a|+|b|,所以f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),即■≤■,

        而■=■+■≤■+■,

        所以由不等式的傳遞性得■≤■+■.

        五、以函數(shù)為媒介、化常量為變量——函數(shù)思想在積分問題中的應(yīng)用

        例5:證明微積分基本公式?蘩■■f(x)dx=F(b)-F(a).

        分析與證明:牛頓和萊不尼茲在證明微積分基本公式?蘩■■f(x)dx=F(b)-F(a)時,將常量b一般化為變量x,引入變上限函數(shù)φ(x)=?蘩■■f(t)dt,于是定積分?蘩■■f(x)dx可看作φ(x)在x=b處的值,只需先證明φ(x)=F(x)-F(a),事實上,由于變上限函數(shù)φ(x)=?蘩■■f(t)dt與F(x)都是f(x)的原函數(shù),因此二者之間只相差一常數(shù)C,即?蘩■■f(t)dt=F(x)+C,令x=a得C=-F(a),因此?蘩■■f(t)dt=F(x)-F(a),再將x=b代入即可得到要證明的結(jié)論.這是用函數(shù)思想研究積分問題的典型代表.

        六、以函數(shù)為工具、化未知為近似——函數(shù)思想在近似計算中的應(yīng)用

        求解某些常數(shù)問題,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,化未知為近似,應(yīng)用函數(shù)微分與函數(shù)增量之間的關(guān)系作出近似計算.

        例6:計算■.

        解:■=■=5■,設(shè)f(x)=■,x■=1,△x=-■,則f(1)=1,f′(1)=■,

        因為|△x|=■較小,所以f(x■+△x)-f(x■)≈f′(x■)△x,即■≈1+(-■)×■=■,

        所以■≈5×■≈4.6667.

        七、以函數(shù)為紐帶、化存在為內(nèi)在規(guī)律——函數(shù)思想在討論中間值存在性問題中的應(yīng)用

        例7:設(shè)b>a>0,證明存在ξ∈(a,b),使得blna-alnb=(b-a)(lnξ-1)成立.

        分析與證明:由于要證中間值ξ的存在性,這類問題顯然要用到中值定理,關(guān)鍵要從所證等式中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律性,找到要構(gòu)造出何種函數(shù)應(yīng)用中值定理.所證等式經(jīng)過變形,實質(zhì)上等價于■=lnξ-1,還是看不出要找的函數(shù),為了湊出f(b)-f(a)的形式,繼續(xù)變形為■=lnξ-1,這樣就能看出應(yīng)對函數(shù)■,■在[a,b]上應(yīng)用柯西中值定理.事實上,設(shè)函數(shù)f(x)=■,g(x)=■,則它們在[a,b]上滿足柯西中值定理的條件,

        所以,存在ξ∈(a,b),使得■=■,即■=■,

        化簡得blna-alnb=(b-a)(lnξ-1).

        參考文獻:

        [1]高等數(shù)學(xué)(第六版).同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編.高等教育出版社.

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