于澤國

根據(jù)原國家教委《普通高等學(xué)校招收少數(shù)職業(yè)技術(shù)學(xué)校畢業(yè)生的規(guī)定》和原勞動(dòng)部《天津職業(yè)技術(shù)師范學(xué)院單獨(dú)招生辦法》文件規(guī)定，采取單獨(dú)命題、單獨(dú)考試錄取的辦法，從技工院校優(yōu)秀畢業(yè)生中招生，為職業(yè)教育培養(yǎng)“雙證書、一體化”的職教師資，下面對(duì)單獨(dú)招生考試中出現(xiàn)的一道解析幾何題進(jìn)行探究.

一、考題再現(xiàn)

2014年天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)招生考試的19題為：直線L：y=kx+1與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B，（1）求實(shí)數(shù)K的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)K，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出K的值，若不存在則說明理由.本道題目是一個(gè)良好的素材，可供學(xué)生學(xué)習(xí)，教師研討.本文將探究該考題知識(shí)點(diǎn)，并適當(dāng)改編.

二、解法呈現(xiàn)

評(píng)析：從以上解答過程，我們可以看出，問題①要求較基礎(chǔ)，問題②要求考生有較強(qiáng)的分析和計(jì)算能力，該考題的背景為直線與圓錐曲線的關(guān)系.

三、知識(shí)點(diǎn)分析

直線與圓雉曲線位置關(guān)系的基礎(chǔ)知識(shí)為：

（1）直線與圓雉曲線位置關(guān)系可通過對(duì)直線方程與圓雉曲線方程組成的二元二次方程組的解的情況來討論.

（2）若方程組消元后得到一個(gè)一元一次方程，則相交于一個(gè)公共點(diǎn).值得注意的是，直線與二次曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，未必一定相切，還有其他情況，如拋物線與平行（或重合）于其對(duì)稱軸的直線，雙曲線與平行于其漸進(jìn)線的直線，它們都只有一個(gè)公共點(diǎn)，位置不相切，而是相交.

（3）直線與圓雉曲線的位置關(guān)系，還可以利用數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)的方法解決.

本考題第②問，考查學(xué)生在運(yùn)用知識(shí)和方法的過程中表現(xiàn)出的能力，著力考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、潛能和邏輯思維能力.本題從直徑所對(duì)圓周角為直角入手得到PA⊥PB，再由韋達(dá)定理得到關(guān)于k的方程，進(jìn)而解出k的值，但計(jì)算過程較復(fù)雜.

四、考題改編

此直線與雙曲線無交點(diǎn)，故L不存在.本題為我校參加天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)2015年單獨(dú)招生考試班的二模試題，讓筆者和一些老師出乎意料的是，班上基礎(chǔ)較好的學(xué)生也沒有用判別式驗(yàn)證，所以得出了錯(cuò)誤的結(jié)論.本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于求出k的值，并不能說明滿足題意的直線存在，一定要用判別式驗(yàn)證.

天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)單獨(dú)招生考試，十分注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，對(duì)圓錐曲線等主干知識(shí)均已解答題形式出現(xiàn)，考題源于課本，高于課本，重視能力，有一定的廣度和深度，教師在平時(shí)的講解過程中應(yīng)做到分析合理、講解到位、注重基礎(chǔ)，從而使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在聯(lián)系.