馮慶紅

摘 要： 本文討論了定積分與曲線積分之間存在的一般與特殊的關(guān)系.定積分作為最基本、最重要，以及應(yīng)用最廣泛的積分，為曲線積分的計(jì)算提供了堅(jiān)實(shí)理論依據(jù)與可行性的操作方法.而曲線積分是將定積分積分區(qū)間推廣到一段曲線弧，被積函數(shù)由一元函數(shù)推廣到二元或三元函數(shù)的情形，它是定積分的拓展.

關(guān)鍵詞： 定積分 曲線積分 特殊與一般關(guān)系

從歷史上看，定積分是從幾何與力學(xué)問題出發(fā)，在基于計(jì)算平面上封閉曲線所圍平面有界閉區(qū)域面積和物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的路程而產(chǎn)生的.而曲線積分是在計(jì)算彎曲構(gòu)件的質(zhì)量及研究變力沿曲線做功時(shí)產(chǎn)生的，它們有著不同的實(shí)際背景并且都聯(lián)系著不同的物理意義或幾何意義.重積分與曲面積分也類似.

隨著人類認(rèn)識(shí)和實(shí)踐活動(dòng)的逐漸深入，定積分已經(jīng)成為各種數(shù)學(xué)計(jì)算及計(jì)算許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)工具.它是一元函數(shù)積分學(xué)中最重要的概念與方法，其他所有的積分包括重積分、曲線與曲面積分的計(jì)算都需要轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算，而定積分也可以作為一些積分的特殊情況.本文只針對(duì)定積分與曲線積分的關(guān)系進(jìn)行相關(guān)討論，用以說明數(shù)學(xué)概念與方法的相通性，同時(shí)反映出數(shù)學(xué)中“特殊中有一般，一般存在于特殊之中”的哲學(xué)思想.

一、定積分是最一般的積分

之所以這么說，是因?yàn)榍€積分都要轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算.由于有了不定積分的各種計(jì)算方法做保障，還有牛頓萊布尼茨公式做橋梁，定積分成為最基本、最重要，也是應(yīng)用最廣泛的積分.重積分、曲線和曲面積分就是將定積分的積分區(qū)間推廣到平面（或空間）有界閉區(qū)域、曲線和曲面上的積分，因此它們的計(jì)算方法當(dāng)然與定積分有著密不可分的關(guān)系.此時(shí)，定積分就是一般積分，其他積分就是特殊積分.

例1.計(jì)算？蘩

二、定積分是特殊積分

1.定積分可以看做是其他各種積分的特殊情況.

曲線積分是定積分的推廣，它不同與定積分，被積函數(shù)都是定義在曲線弧上的二元（或三元）函數(shù)，并且沿著曲線弧l進(jìn)行積分.而定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分變量僅在區(qū)間[a，b]上變動(dòng).在此意義下，定積分就是曲線積分的特殊情形.具體表現(xiàn)在以下方面.

（1）定積分

綜上所述，定積分與曲線積分存在著密不可分的關(guān)系.曲線積分是定積分的拓展，定積分是曲線積分的計(jì)算工具，是它的特殊情形.

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[4]劉玉璉，等.《數(shù)學(xué)分析講義》第五版上冊(cè).高等教育出版社，2009.6.

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