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        “good”Boussinesq 方程的平均向量場(chǎng)方法

        2015-07-10 12:21:32黃榮芳孫建強(qiáng)蔣朝龍
        關(guān)鍵詞:向量場(chǎng)演化過程能量守恒

        黃榮芳,孫建強(qiáng),蔣朝龍

        (海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南 ???70228)

        考慮如下的“good”Boussinesq 方程

        方程(1)描述了非線性淺水波在2 個(gè)方向的傳播,具有孤立子相互作用的互動(dòng)機(jī)制[1-2].孤立波只存在有限范圍的速度,孤子可以保持其形狀和速度碰撞后小振幅孤子.然而對(duì)于大型振幅孤子,孤子可能發(fā)展成所謂的反孤立子.在周期或者零邊界條件下,方程(1)有如下的守恒特性

        其中vx=ut.

        對(duì)“good”Boussinesq 方程已經(jīng)有大量的理論和計(jì)算方法研究:El-Zoheriry[3]構(gòu)造了“good”Boussinesq方程的有限差分格式,并做了穩(wěn)定性分析,保結(jié)構(gòu)算法在求解“good”Boussinesq 方程具有顯著的優(yōu)勢(shì);Aydina 和Kara?zen[4]構(gòu)造了“good”Boussinesq 方程的辛和多辛LO-BATTO 格式;曾文平[5]和Huang[6]等構(gòu)造了“good”Boussinesq 方程的多辛preissman 格式;胡偉鵬[7]等研究了廣義Boussinesq 方程的多辛格式;蔡家祥[8]等構(gòu)造了“good”Boussinesq 方程的局部保結(jié)構(gòu)算法,并取得了很好的數(shù)值結(jié)果.然而,在數(shù)值求解時(shí),能精確保持“good”Boussinesq 能量守恒特性的數(shù)值算法很少. 因此在數(shù)值求解時(shí)精確保持“good”Boussinesq 方程的能量對(duì)正確地模擬方程具有重要的意義.

        最近在保結(jié)構(gòu)算法領(lǐng)域內(nèi),Quispel[9]和Mclachlan[10]提出了精確地保持Hamilton 系統(tǒng)能量的平均向量場(chǎng)方法.平均向量場(chǎng)方法已被應(yīng)用于KdV 方程,麥克斯韋方程等的求解[11].筆者利用平均向量場(chǎng)方法求解“good”Boussinesq 方程,并數(shù)值模擬孤立波在不同振幅下的演化行為和能量守恒特性.

        1 平均向量場(chǎng)方法

        對(duì)給定的Hamilton 系統(tǒng)

        可知Hamilton 系統(tǒng)具有能量守恒的特性.

        對(duì)式(4)在時(shí)間方向進(jìn)行離散

        其中 H(zn+1,zn)是Hamilton 系統(tǒng)能量函數(shù)的離散梯度為反對(duì)稱矩陣.

        定理1 離散梯度格式(8)保持Hamilton 系統(tǒng)能量守恒.

        證明 由離散梯度的定義可知

        由式(8),可知

        對(duì)于給定的Hamilton 系統(tǒng),Quispel 和Mclachlan 給出了精確保Hamilton 系統(tǒng)能量守恒的二階平均向量場(chǎng)方法

        其中h 是時(shí)間步長(zhǎng)[3].

        定理2 平均向量場(chǎng)能夠精確保持Hamilton 系統(tǒng)的離散能量守恒.

        證明 方程(11)可以改寫成

        由微積分基本定理,可以得到(H(zn+1)-H(zn))/h=0.

        因此,平均向量場(chǎng)方法可以在每個(gè)時(shí)間層上保持Hamilton 系統(tǒng)能量守恒.

        2 “good”Boussinesq 方程的平均向量場(chǎng)格式

        方程(1)可以寫成無限維Hamilton 系統(tǒng)形式

        其中z=(u,v)T,Hamilton 函數(shù)為

        假設(shè)空間積分區(qū)間Ω=[a,b],空間長(zhǎng)度L=a-b.將區(qū)間Ω=[a,b]分為N 等分,其中N 為正偶數(shù),h=L/N 為空間步長(zhǎng).xj=a+hj,j=0,…,N-1 為空間配置點(diǎn),uj和vj是對(duì)u(x,t)和v(x,t)在配置點(diǎn)xj的近似.

        定義2

        為插值空間,其中g(shù)j(x)可以被顯示表示為

        定義如下的插值算子IN,對(duì)于任意

        由于式(18)的正交性,可知

        下面用uj來表示導(dǎo)數(shù)的值

        同理可得

        用D1近似?x.在空間上,對(duì)式(15)進(jìn)行譜離散,可以得到“good”Boussinesq 方程的Fourier 擬譜半離散形式

        由式(21)和(22)可知式(25)和(26)等價(jià)于

        其中A 是一階譜微分矩陣D1和二階譜微分矩陣D2的乘積,式(27)和(28)可以寫成如下的Hamilton 形式

        其中Z=(u,v)T,相應(yīng)的離散Hamilton 能量函數(shù)為

        在時(shí)間方向上,將式(11)應(yīng)用到式(29)得

        對(duì)式(31)和(32)積分,可得到?!癵ood”Boussinesq 方程離散能量的二階平均向量場(chǎng)格式

        3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

        為了驗(yàn)證上述理論分析的有效性,利用平均向量場(chǎng)格式數(shù)值模擬“good”Boussinesq 方程在不同振幅下的孤立波的演化行為.定義相對(duì)能量誤差如下

        其中H(Z0)是初始離散能量,H(Zn)是在t=nΔt 時(shí)的離散能量.

        首先,考慮利用平均向量場(chǎng)格式模擬孤立子演化過程.初始條件為

        其中x0和σ 是實(shí)參數(shù),A 是振幅,并且A=3σ2/2.

        ?。?5≤x≤75,x0=0,τ =0.02,N =240 和周期邊界條件,對(duì)孤立波在振幅A =1.48 時(shí),進(jìn)行數(shù)值模擬,如圖1 和圖2 所示.

        圖1 孤立波在A=1.48 時(shí)的演化行為

        圖2 在t [0,60]時(shí)的相對(duì)能量誤差圖

        圖1 為“good”Boussinesq 方程在振幅A =1.48 時(shí),孤子波在t [0,60]時(shí)的演化行為.圖1 表明孤立波演化過程中,分裂成2 列波,2 列波分別向相反的方向運(yùn)動(dòng),這與文獻(xiàn)[3]的結(jié)果是一致的.圖2 表明孤立波演化過程中的相對(duì)能量誤差圖.從圖2 可知,孤立波演化過程中相對(duì)能量誤差可以到達(dá)10-13,系統(tǒng)能量守恒.由此可知,平均向量場(chǎng)格式不僅能很好地模擬孤立波的演化行為,并且能精確保持方程的能量.

        圖3 孤立波在A=1.55 時(shí)的演化行為

        圖4 在t [0,8]時(shí)的相對(duì)能量誤差圖

        圖3 為“good”Boussinesq 方程在振幅A=1.55 時(shí),孤立波在t [0,8]時(shí)的演化行為.從圖3 中可以知道當(dāng)在振幅A=1.55 時(shí),孤立波演化一段時(shí)間之后出現(xiàn)了爆破(blows-up)現(xiàn)象.這與文獻(xiàn)[3]的結(jié)果也是一致的. 圖4 表明孤立波演化過程中方程相對(duì)能量誤差圖. 從圖4 中可以看出孤立波演化過程中,即便出現(xiàn)了孤立波的爆破(blows-up)現(xiàn)象,但是方程的能量相對(duì)誤差可以達(dá)到10-13,系統(tǒng)能量守恒.

        4 小 結(jié)

        本文構(gòu)造了“good”Boussinesq 方程的平均向量場(chǎng)格式,利用平均向量場(chǎng)格式研究了孤立波在不同振幅條件下的演化行為. 數(shù)值結(jié)果表明,平均向量場(chǎng)格式不僅能很好地模擬孤立子波的演化行為,并且能精確保持方程能量. 平均向量場(chǎng)算法為數(shù)值模擬具有能量守恒的微分方程提供了新的選擇.

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