何 雅，吳元芬

(云南師范大學 數學學院，云南 昆明 650500)

1 主要定理

共形向量場是微分幾何中的一個必不可少的組成部分． 若流形M上的一個向量場ξ所誘導的局部單參數可微變換群是共形變換群， 則稱向量場ξ是M上的一個共形向量場， 下面給出共形向量場的定義[1]．

設ξ為黎曼流形(Mn,g)上的光滑切向量場， 如果在M上存在一個光滑函數ρ滿足：

則稱ξ為共形向量場， 其中Lξ是度量g關于ξ的李導數，ρ為共形向量場ξ的勢函數． 特別地， 當ρ為零時，ξ稱為Killing向量場[2]， 其誘導的局部單參數可微變換群是等距變換群． 若ξ是閉的向量場， 那么ξ稱為閉的共形向量場； 若ξ是某個光滑函數的梯度向量場，ξ則稱為共形梯度向量場．

許多作者[3-4]研究了具有常純量曲率， 且存在共形向量場的黎曼流形在一定的條件下等距于歐氏空間中的球， 而黎曼流形上存在共形梯度向量場在文獻[5—6]中已被研究． 本文主要考慮共形向量場的Ricci平均值， 下面給出Ricci平均值的定義．

設(Mn,g)是n維黎曼流形，M上的一個光滑向量場X的Ricci平均值定義為：

其中V為M的體積，Ric為M上的Ricci張量．

在文獻[7]中， Yano等證明了如下定理．

定理1設(Mn,g)(n≥2)是一個緊定向的黎曼流形，Ric為M上的Ricci張量， 若M上的共形向量場ξ滿足Ric(ξ,ξ)≤0， 則ξ必為平行向量場， 且Ric(ξ,ξ)=0當且僅當ξ是Killing向量場．

然而， 該定理沒有給出Ric(ξ,ξ)=0時流形的分類， 因此， 本文在較弱的假設條件下給出了流形的分類， 于是得到了下面的結果．

定理2設(Mn,g)(n≥2)是一個緊定向的黎曼流形， 若Mn上存在非零的共形向量場ξ， 則關于ξ的Ricci平均值δ(ξ)≥0． 特別地， 當δ(ξ)=0時，Mn等距于黎曼積?！罬n-1， 其中dim Γ=1．

2 預備知識

本文運用活動標架法進行計算， 并采用Einstein求和約定(重復指標表示求和)． 設(M,g)是n維黎曼流形， {e1,…,en}是局部單位正交標架場， {ω1,…,ωn}是對偶向量場， 規(guī)定指標范圍1≤i,j,k,l≤n， 則M的結構方程為：

dωi=ωj∧ωji,ωij+ωji=0,

(1)

(2)

其中d為M上的外微分算子，ωij與Rijkl分別為黎曼度量g誘導的聯(lián)絡形式與黎曼曲率．

下面定義Ricci曲率和純量曲率：

顯然Ricci曲率關于i,j是對稱的．

設向量場ξ∈X(M)， 則ξ在單位正交標架場下的表達式為：

ξ=ξiei.

向量場ξ∈X(M)的一階、 二階協(xié)變導數分別定義為：

ξi,jωj=dξi+ξjωji,

(3)

ξi,jkωk=dξi,j+ξk,jωki+ξi,kωkj.

(4)

對(3)式兩邊外微分， 并由結構方程及(3)式與(4)式得向量場ξ∈X(M)的Ricci恒等式為：

ξi,jk-ξi,kj=ξlRlijk.

向量場ξ∈X(M)的散度定義為：

div(ξ)=ξi,i,

則ξ為共形向量場當且僅當

(5)

顯然，ρ=div(ξ)．

向量場ξ為Killing向量場當且僅當ξi,j+ξj,i=0, 向量場ξ為平行向量場當且僅當▽ξ=0, 即ξi,j=0． 顯然平行向量場為Killing向量場．

對(5)式兩邊同時求協(xié)變導數， 有：

(6)

由(6)式有：

(7)

(8)

結合(6)式、 (7)式和(8)式有：

由ξ的Ricci恒等式有：

通過第一Bianchi恒等式， 上式為：

(9)

3 定理2的證明

在證明定理2之前， 先證明如下引理．

引理1設(Mn,g)(n≥2)是一個緊定向的黎曼流形， 若Mn上存在非零的共形向量場ξ， 則關于ξ的Ricci平均值δ(ξ)≥0， 特別地， 當δ(ξ)=0時，ξ是平行向量場．

證明取局部單位正交標架場e1,e2,…,en， 規(guī)定指標范圍1≤i,j,l≤n， 因為

(10)

(11)

將(11)式帶入(10)式， 有：

(12)

因為

div(ρξ)=ρdiv(ξ)+<▽ρ,ξ>,

又ρ=div(ξ)， 所以上式為：

div(ρξ)=ρ2+<▽ρ,ξ>,

(13)

(14)

從(14)式可以得到ξ的Ricci平均值δ(ξ)≥0， 特別地， 當δ(ξ)=0時，ρ=0且▽ξ=0， 即ξ是平行向量場． 引理1證畢．

引理2設(Mn,g)(n≥2)是黎曼流形， 若Mn上存在非零的平行向量場， 則Mn可以分解成黎曼積?！罬n-1， 其中dimΓ=1．

證明設ξ為Mn上非零的平行向量場， 即▽ξ=0， 則對?X∈X(M)有：

X|ξ|2=X<ξ,ξ>=2<▽Xξ,ξ>=0,

因此

|ξ|2=c2,

其中c為常數．

又因為ξ非零， 所以存在p∈Mn使得ξ(p)≠0， 從而c≠0． 因此|ξ|2≠0(處處)． 取局部標架場e1,e2,…,en， 使得

規(guī)定指標范圍為1≤i,j,k,…≤n， 2≤α,β,γ…≤n． 又ξ=ξiei， 所以有：

ξ1=c,ξα=0,

(15)

由協(xié)變導數的定義有:

ξi,jωj=dξi+ξjωji,

則▽ξ=0當且僅當ξi,j=0， 即 dξi+ξjωji=0.

所以有： dξα+ξ1ω1α=0.

(16)

結合(15)式和(16)式有：ω1α=0.

所以Mn有黎曼乘積分解?！罬n-1． 引理2證畢．

本文從Δ|ξ|2出發(fā)， 然后結合共形向量場的性質并化簡后得到共形向量場ξ的Ricci平均值δ(ξ)≥0， 并且δ(ξ)=0時，ξ為平行向量場(引理1)． 緊接著， 從平行向量場的定義入手得到了ω1α=0， 即具有非零平行向量場的黎曼流形有黎曼乘積分解?！罬n-1(引理2)， 結合引理1和引理2即可得到定理2 ．

4 結論

本文在Yano和Boncher證明定理的過程啟發(fā)下， 考慮黎曼流形上光滑向量場的Ricci平均值， 得到了緊定向黎曼流形上一個光滑向量場ξ為共形向量場的必要條件是δ(ξ)≥0， 并且給出了δ(ξ)=0時黎曼流形的分類， 即此時Mn有黎曼乘積分解Γ×Mn-1．