張曉芬

摘 要：數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，概念是思維的細(xì)胞，教好概念是教好數(shù)學(xué)的內(nèi)在要求。概念教學(xué)搞不好，數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)就失去了根基。然而，現(xiàn)實(shí)中不少教師對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)有名無實(shí)，許多教師甚至認(rèn)為教概念不如多講幾道題目更“實(shí)惠”；更令人擔(dān)心的是，有些教師不知如何教概念。學(xué)生也往往錯(cuò)誤地認(rèn)為，學(xué)概念就是背定義、記公式，既沒有形成數(shù)學(xué)概念思維，也根本不理解數(shù)學(xué)思想。專門整理了一位省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)教師的一節(jié)“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”課堂教學(xué)實(shí)錄，并作了一些評(píng)析。就數(shù)學(xué)概念教學(xué)引入發(fā)現(xiàn)、形成理解、深化掌握等方面有許多值得學(xué)習(xí)借鑒的地方，與大家一起分享探討。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；思維 一、概念引入發(fā)現(xiàn)

【課堂實(shí)錄】

教師：在我們生活中，哪些現(xiàn)象也是周而復(fù)始的？請(qǐng)同學(xué)們

舉例。

學(xué)生：太陽東升西落，人的心臟跳動(dòng)。

教師：對(duì)，生活中，這些現(xiàn)象是周而復(fù)始的。今天是星期幾？

學(xué)生：星期四。

教師：再過幾天又是星期四呢？

學(xué)生：七天。

教師：那再過七天呢？

學(xué)生：還是星期四。

教師：今天是星期四，只要過的天數(shù)具有什么特征，就會(huì)再次出現(xiàn)星期四？

學(xué)生：7的倍數(shù)。

教師：我們?cè)谏钪杏纸佑|了周而復(fù)始。

【個(gè)人點(diǎn)評(píng)】

概念的引入貼近生活。在引入課題時(shí)，情境的內(nèi)容生活化，從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在他們的周圍，感覺數(shù)學(xué)并不遙遠(yuǎn)、陌生、從情感上增強(qiáng)了探究的自信；從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，有利于培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)以致用的意識(shí)，提高學(xué)生觀察事物、發(fā)現(xiàn)問題的能力。

二、概念形成理解

【課堂實(shí)錄】

教師：數(shù)學(xué)來源于生活，有這么一個(gè)概念來概括函數(shù)的周期性（板書函數(shù)周期性）。對(duì)于一般函數(shù)f（x），請(qǐng)給出周期函數(shù)的定義，用自己的語言。同學(xué)之間可以討論交流。

學(xué)生：經(jīng)過相等的間隔，函數(shù)值相等。

教師：相等的間隔，間隔值確定的嗎？

學(xué)生：間隔值是個(gè)數(shù)。

教師：間隔值是個(gè)常數(shù)，不妨設(shè)為T，對(duì)函數(shù)f（x），有某個(gè)常數(shù)T，函數(shù)值相等如何用數(shù)學(xué)式子表示？

學(xué)生：f（x）=f（x+T）

教師：通過這位同學(xué)的敘述，整理出對(duì)于一般函數(shù)f（x），存在某個(gè)常數(shù)T，有f（x）=f（x+T），則f（x）為周期函數(shù)（板書）。有沒有要補(bǔ)充的？

學(xué)生：T≠0

教師：當(dāng)T=0時(shí)，f（x）=f（x+T），就是f（x）=f（x），沒什么研究?jī)r(jià)值。

教師：經(jīng)過這位同學(xué)的補(bǔ)充，周期函數(shù)的定義完善為：對(duì)于一般函數(shù)f（x），存在某個(gè)非零常數(shù)T，有f（x）=f（x+T），則f（x）為周期函數(shù)（板書上添加）。從式子上看，x在定義域內(nèi)，x+T也在定義域內(nèi)，那么取出f（3+5）=f（3），f（7+5）=f（7），f（10+5）=f（10）這些式子，能說明函數(shù)f（x）是周期函數(shù)嗎？

學(xué)生：不能說明，不連續(xù)。

教師：那補(bǔ)f（4+5）=f（4），f（5+5）=f（5）……補(bǔ)全就行了嗎？

學(xué)生：應(yīng)該取f（3+5）=f（3），f（3+10）=f（3），f（3+15）=f（3）……

教師：這樣取下去能得到f（3+5k）=f（3），你得到了周期是幾？

學(xué)生：周期是5。

教師：剛才的例子中馬年符合12年一輪回，馬年后的羊年符合12年一輪回嗎？

學(xué)生：符合。

教師：可見，我們年份中的每個(gè)年份都符合12年一輪回。這反映在函數(shù)f（x）上，只對(duì)f（3）符合剛才周而復(fù)始的規(guī)律夠了嗎？

學(xué)生：不夠。

教師：那對(duì)函數(shù)中的x有何要求？

學(xué)生：對(duì)定義域中的每一個(gè)x，都要符合周而復(fù)始的規(guī)律。

教師：在大家的不斷完善下，定義為：對(duì)于一般函數(shù)f（x），存在某個(gè)常數(shù)T≠0，對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有f（x）=f（x+T），則f（x）為周期函數(shù)（繼續(xù)在黑板上補(bǔ)充）。從定義上看到f（x）=f（x+T），那么延續(xù)下去f（x）=f（x+T）=f（x+2T）…x+T在定義域內(nèi)，x+2T也在定義域內(nèi)，那么該函數(shù)對(duì)定義域會(huì)有什么要求呢？

學(xué)生：定義域往兩邊發(fā)展。

【個(gè)人點(diǎn)評(píng)】

概念的形成教師“導(dǎo)”學(xué)生“做”。教師的“導(dǎo)”穿針引線，學(xué)生的“做”數(shù)學(xué)作為課堂的主線。把“現(xiàn)成的數(shù)學(xué)”在教師的指導(dǎo)下變?yōu)閷W(xué)生親身體驗(yàn)和經(jīng)歷的過程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，享受“做”數(shù)學(xué)的樂趣。波利亞曾說過：學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑都是由自己發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)，理解最深刻，也最容易掌握其中內(nèi)在的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。以色列著名數(shù)學(xué)教育家斯法德等人的研究認(rèn)為：在數(shù)學(xué)中，許多抽象的數(shù)學(xué)概念，從操作的角度可以分別被看作一個(gè)過程操作。通過學(xué)生“做”數(shù)學(xué)，這個(gè)過程操作又被再現(xiàn)，這種親身體驗(yàn)和經(jīng)歷的過程，如同重新經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程，也就是學(xué)生的“再發(fā)現(xiàn)”過程，可以啟迪學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，再創(chuàng)造地解決問題；通過學(xué)生“做”重新經(jīng)歷了概念本質(zhì)的形成過程，從而理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。從發(fā)展的眼光看，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，開闊數(shù)學(xué)視野，激活數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)應(yīng)用能力，從而有效提高教學(xué)效率。

三、概念深化掌握

【課堂實(shí)錄】

教師：對(duì)，定義域向無窮方向發(fā)展。我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中接觸過這樣的函數(shù)嗎？舉個(gè)例子。

學(xué)生：y=sin x。

教師：題1.y=sin x的周期，展示圖像（幻燈片）。

學(xué)生：周期2π。

教師：為什么周期是2π，4π是它的周期嗎？

學(xué)生：是。

教師：y=sin x的周期還有嗎？哪些也是？

學(xué)生：6π、-4π、-6π…

教師：正弦函數(shù)周期有多少個(gè)？

學(xué)生：無數(shù)個(gè)。

教師：只要是2π的非零整數(shù)倍，都是正弦函數(shù)的周期，在所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期。例如y=sin x的最小正周期是2π。以后我們就約定函數(shù)f（x）的周期就是f（x）的最小正周期。

課后證明：y=sin x的最小正周期是2π。

教師：題2.y=sin 2x的周期。

學(xué)生：周期kπ，最小正周期π。

教師：約定函數(shù)f（x）的周期就是f（x）的最小正周期。為什么是π？

學(xué)生：∵sin 2x=sin（2x+2π），sin 2x=sin 2（x+π），f（x）=f（x+T）

∴T=π

教師：這位同學(xué)在解題中提到的一個(gè)思想，y=sin 2x的2x相當(dāng)于題1中的x，令u=2x，y=sin u，y=sin u的周期為2π，所以y=

sin 2x的周期為π。

教師：題3.y=sin（2x+）的周期。

學(xué)生：還是π。

教師：你怎么做的？

學(xué)生：令u=2x+，y=sin u的周期為2π，sin（u+2π）=sin u，sin（2x++2π）=sin（2x+），sin[（2x+π）+）]=sin（2x+），

∴f（x+π）=f（x）

∴T=π

教師：題中的2x、2x+都可以整體代換成x，這里用了換元思想。

教師：題4.y=-2 sin（2x+）的周期。

教師：從圖象看，系數(shù)-2對(duì)周期有什么影響？

學(xué)生：沒什么影響。

教師：那題4的周期是多少？

學(xué)生：π。

教師：題5.y=sin（-2x+）的周期。大家各自做，請(qǐng)一位同學(xué)黑板上做。

學(xué)生：f（x）=sin（-2x+），令u=-2x+，∵sin（u+2π）=sin u

∴sin（-2x++2π）=sin（-2x+），∴sin[-2（x-π）+]=sin（-2x+）。

教師：思路清楚。題4中大家認(rèn)為A對(duì)函數(shù)周期無影響，這里的φ=？對(duì)函數(shù)周期有沒有造成影響？

學(xué)生：無影響。

教師：題6.y=A sin（ωx+φ）（A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω≠0）對(duì)周期有影響的是ω，根據(jù)我們剛才同樣整體代換的思想能得出y=

A sin（ωx+φ）的周期是多少？

學(xué)生：T=。

教師：同理，我們可以從y=cos x的周期是2π，得到y(tǒng)=A cos（ωx+φ）

（A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω≠0）的周期是T=.

教師：那我們來一起探究題7：如果函數(shù)y=f（x）的周期是T，那么函數(shù)y=f（ωx），ω≠0的周期如何求？

學(xué)生：令u=ωx，f（u+T）=f（u），f（ωx+T）=f（ωx），f[ω（x+）]=

f（ωx），∴函數(shù)y=f（ωx）的周期是。

教師：有沒有不同意見？

學(xué)生：現(xiàn)在的周期約定為最小正周期，所以是。

【個(gè)人點(diǎn)評(píng)】

概念的深入以問題為線，層層遞進(jìn)，不斷延伸，為思維而教。問題是思維的源泉，更是思維的動(dòng)力。以問題串的形式貫穿于教學(xué)，使學(xué)生一環(huán)扣一環(huán)，在有效問題的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行積極的思考、探究、類比、討論，讓學(xué)生在探索、類比中發(fā)現(xiàn)知識(shí)，使得整節(jié)課有一氣呵成之感。這節(jié)課共設(shè)計(jì)了七個(gè)問題，從考慮一組對(duì)象著手，進(jìn)而考慮包含該組對(duì)象在內(nèi)的更大的一組對(duì)象，把局部的、特殊的數(shù)學(xué)問題上升為整體的、普遍的數(shù)學(xué)問題。設(shè)計(jì)的問題具有較大的思維空間，問題與問題之間存在內(nèi)在的聯(lián)系和因果關(guān)系，這樣的設(shè)計(jì)不僅使課堂教學(xué)富有生命力，而且調(diào)動(dòng)了學(xué)生思維的積極性和主動(dòng)性，促使學(xué)生的思維向知識(shí)的深度和廣度拓展，進(jìn)而提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。站在思維的高度設(shè)計(jì)問題，不僅能使學(xué)生學(xué)到知識(shí)，更能使學(xué)生收獲方法、提高悟性，從而真正促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

四、探討

數(shù)學(xué)學(xué)科是由一系列的概念、定理、法則等組成的體系，具有較強(qiáng)的確定性、準(zhǔn)確性和邏輯性。數(shù)學(xué)概念教學(xué)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，不同概念教學(xué)使用的教學(xué)處理教學(xué)方法不同，但其共性的地方是大多數(shù)都從“具體—半具體—半抽象—抽象”的模式中產(chǎn)生設(shè)計(jì)，從生活實(shí)例出發(fā)，從學(xué)生的主動(dòng)性開始，通過“引入概念—形成概念—深化概念”三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)。該堂課教學(xué)基本沿用這條思路，結(jié)合其個(gè)人優(yōu)秀的教學(xué)基本功與學(xué)科素養(yǎng)，取得了教學(xué)的成功。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)概念教學(xué)這三個(gè)環(huán)節(jié)并不代表唯一方式，更不代表最優(yōu)。重要的是需要教師重視和加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)研究和探索，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的重要性和基礎(chǔ)性，課堂教學(xué)中抓住數(shù)學(xué)核心概念，完善概念教學(xué)環(huán)節(jié)的科學(xué)性和實(shí)用性。從教育學(xué)與心理學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，概念教學(xué)的核心就是“概括”：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)打開，以若干典型具體事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動(dòng)而獲得概念。

編輯 韓 曉