付秀鳳

【摘要】“算兩次”這種數(shù)學(xué)方法在數(shù)學(xué)中又叫做富比尼原理，其基本思想是：把一個(gè)量按照兩個(gè)不一樣的角度進(jìn)行兩次計(jì)算，然后建立一種等量關(guān)系.本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)中具體例子探討了算兩次思想方法在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)解題；算兩次思想方法；應(yīng)用

解析幾何中如果要求某個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，一般是按照動(dòng)點(diǎn)所滿足兩個(gè)條件來建立等式.算兩次思想方法在數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中也有較多的應(yīng)用.在高中數(shù)學(xué)中，教師和學(xué)生在解題時(shí)也使用算兩次思想方法，但是該解題方法沒有受到重視，沒有從數(shù)學(xué)思想上認(rèn)識(shí)它，在教師的解題教學(xué)中算兩次方法被應(yīng)用的也不多.

1.算兩次數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)題中的體現(xiàn)

算兩次解題法表現(xiàn)出了從兩個(gè)方面來解題的特點(diǎn)，從深一層次來說它蘊(yùn)含的思想是換角度看問題，也就是轉(zhuǎn)化思想.高中數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想有重要地位與作用，是數(shù)學(xué)思想精髓.何為轉(zhuǎn)化思想，教育分類學(xué)中指出：轉(zhuǎn)化思想把問題從一種形式朝另一種轉(zhuǎn)化，可從語言向圖形轉(zhuǎn)化，或從語言向符號(hào)轉(zhuǎn)化，或每種情況反轉(zhuǎn)化.這種轉(zhuǎn)化包含數(shù)學(xué)中數(shù)、式和形的轉(zhuǎn)換，又包含心理轉(zhuǎn)換.

哲學(xué)上看，轉(zhuǎn)化是用運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系與發(fā)展的觀點(diǎn)來看問題；思想結(jié)構(gòu)上，首先對(duì)一些原理、法則與典型問題解法形成深刻認(rèn)識(shí)，遇到復(fù)雜問題時(shí)，通過尋找其和基本問題關(guān)系，化繁為簡(jiǎn)，化抽象成具體，從而解決問題.基本原則有簡(jiǎn)單化與熟悉化、正難則反、和諧化與直觀化等.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)呈現(xiàn)起點(diǎn)高、容量多和課時(shí)緊特點(diǎn)，學(xué)生不適應(yīng)突出，師生迫切強(qiáng)化思想方法，重視思想的教學(xué)和應(yīng)用.

（1）簡(jiǎn)單化與熟悉化在三角函數(shù)中應(yīng)用.簡(jiǎn)單化與熟悉化是將復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的，生疏的轉(zhuǎn)化為熟悉的來解題.簡(jiǎn)單化與熟悉化是數(shù)學(xué)解題與探究中常見方法之一，它要通過積累與熟悉基礎(chǔ)知識(shí)、技能與方法，既是解本題需掌握的技能方法，又是分解轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題的方法.簡(jiǎn)單化與熟悉花在三角函數(shù)中化簡(jiǎn)、求值與證明中應(yīng)用廣泛.（2）和諧化與直觀化在不等式最值中應(yīng)用.和諧化是指轉(zhuǎn)化的條件與結(jié)論，使其形式符合數(shù)和形所表示的和諧的形式.直觀化是指將抽象問題轉(zhuǎn)化成直觀問題解決.恩格斯指出數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)的空間形式與數(shù)量關(guān)系.解析幾何促進(jìn)數(shù)形結(jié)合，利用代數(shù)解決幾何題.數(shù)學(xué)中遇見數(shù)、形與式的轉(zhuǎn)化問題，出現(xiàn)函數(shù)會(huì)聯(lián)想相關(guān)熟悉函數(shù)，它的圖像、所包含性質(zhì)和它們的關(guān)系等.求解或者驗(yàn)證不等式最值時(shí)，可根據(jù)條件、形式與特征構(gòu)造輔助函數(shù)，轉(zhuǎn)化問題條件與結(jié)論，把原問題轉(zhuǎn)化的研究函數(shù)性質(zhì)，通過數(shù)、形、式轉(zhuǎn)化求解.（3）正難則反在證明題和概率題、排列組合中應(yīng)用.正難則反指問題正面遇到困難，應(yīng)考慮反面，設(shè)法從反面探求.這種問題是經(jīng)常出現(xiàn)的，可鍛煉與提升逆向思維.證明題反證法是應(yīng)用逆否等價(jià)來求證，如恒等式正難則反轉(zhuǎn)化問題，概率和排列組合中出現(xiàn)至多、至少問題，可比較問題與它對(duì)立問題的復(fù)雜和簡(jiǎn)單關(guān)系解題.

2.算兩次法在數(shù)學(xué)教材解題中的應(yīng)用

該思想方法是以教材為基礎(chǔ)通過對(duì)很多道題的解答和證明而獲得的，所以說它來自教材，從數(shù)學(xué)水平和思想上來說又比教材高.在高考數(shù)學(xué)的命題過程中它是一個(gè)重要考查點(diǎn)，高考對(duì)它的考查也是以教材為基礎(chǔ)的，對(duì)于算兩次法現(xiàn)在的新數(shù)學(xué)教材中也出現(xiàn)了好幾次，例如在等差數(shù)列中求出數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，在推導(dǎo)中要用到倒序相加法；關(guān)于兩個(gè)角在推導(dǎo)其和、差的余弦公式時(shí)也用到了算兩次法.但在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，算兩次思想方法并不被重視，不少一線教師和高三骨干教師，對(duì)這種思想方法都知道的不多；還有的認(rèn)為該數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說不是重要的，所以就不對(duì)它做重點(diǎn)講解，這就使學(xué)生在高考解數(shù)學(xué)題時(shí)如果可以用該思想方法解答，學(xué)生就不會(huì)運(yùn)用.學(xué)會(huì)找出數(shù)學(xué)思想與對(duì)應(yīng)方法，使學(xué)生提高分析與解決問題的水平，從而提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)，要把教材作為基礎(chǔ).

在推導(dǎo)定理與公式時(shí)多多運(yùn)用算兩次法，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用該思想方法來分析與解決數(shù)學(xué)題的意識(shí).在新出版的高中數(shù)學(xué)教材中，像那些比較重要而又基礎(chǔ)性較強(qiáng)的定理與公式，對(duì)它們的結(jié)論進(jìn)行證明時(shí)需要使用有創(chuàng)新性的方法，創(chuàng)新性主要是說選擇較為合適的角度來計(jì)算，更方便地建立等量或者不等量關(guān)系，這時(shí)算兩次法便是一種很好的方法，在課堂教學(xué)中教師要注意在講解這種題型時(shí)有效運(yùn)用算兩次法，并讓學(xué)生聽明白，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)該數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí).此外，高中數(shù)學(xué)課本上有不少定義與公式都有好幾種表達(dá)形式，像三角形面積公式、解答平面向量數(shù)量積時(shí)所用公式、圓錐曲線定義等，因?yàn)樗鼈冇卸喾N表達(dá)方式，所以在應(yīng)用過程中靈活性較強(qiáng)，算兩次在理解和解決這些定義與公式時(shí)是一種比較合適的方法.在給學(xué)生講解課本上和其他資料上的題時(shí)，對(duì)那些典型例題與習(xí)題要進(jìn)行深入和多次講解，方便學(xué)生對(duì)算兩次思想方法的總結(jié).

3.總 結(jié)

在立體幾何中求兩點(diǎn)距離或其他距離經(jīng)常使用等體積法，這是運(yùn)用了三棱錐的可換底性質(zhì)，對(duì)三棱錐體積進(jìn)行兩次計(jì)算，然后建立等式來求高.算兩次法是一種常用到的解題方法，還是一個(gè)重要數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)課本上它是化歸與方程思想的一種表現(xiàn)形式，同時(shí)也表現(xiàn)出了換角度思考這種理性思維特點(diǎn).在使用算兩次法來解題時(shí)，不必注重其表面形式，重要的是要對(duì)該思想方法在本質(zhì)上認(rèn)識(shí)與理解它.

【參考文獻(xiàn)】

[1]任興發(fā).化歸思想在高中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2013.

[2]宋丹.例談?wù)w思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].學(xué)科建設(shè)，2011（10）：160-161.

[3]劉福根.提高高中生數(shù)學(xué)解題能力的教學(xué)方法研究[D].天津：天津師范大學(xué)，2012.

[4]楊光.化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用的試驗(yàn)研究[D].天津：天津師范大學(xué)，2012.