作者簡介：牛若琳，女，現(xiàn)為河北大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院國民經(jīng)濟(jì)學(xué)碩士研究生在讀。

摘要：分析有價證券的方法有很多，為了能夠方便快捷的分析計算出有價證券的最優(yōu)組合情況可借助理論分析與軟件計算的方法。文章通過運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)中非線性規(guī)劃的方法并借助簡單、容易操作的Excel工具來對有價證券的投資組合進(jìn)行最優(yōu)化求解，最后進(jìn)行預(yù)期回報率和風(fēng)險的分析。

關(guān)鍵詞：有價證券；證券投資；最優(yōu)化分析

有價證券投資者的目標(biāo)是在承擔(dān)最小風(fēng)險的時候獲得最大的投資回報。所以該類投資組合優(yōu)化模型就是在投資組合總回報率的方差（投資風(fēng)險）不超過某個可以接受的約束值下確定一組投資項目的最優(yōu)投資比例，以使得總回報率的期望值（預(yù)期收益）最大；或者在投資組合總回報率的期望值（預(yù)期收益）不低于某個所要求的約束下，使得總回報率的方差（投資風(fēng)險）最小。下面通過實(shí)例來進(jìn)行求解驗證。

如表1是三個可以投資項目1987-2006年的投資回報率，如何在總投資的預(yù)期回報率不低于13%的前提下分配這三個投資項目比例才能使得投資組合的風(fēng)險最小。

表1三個投資項目的單項回報率

年份股票1股票2股票319870.000.070.0619880.040.130.0719890.130.140.0519900.190.430.041991-0.150.670.071992-0.270.640.0819930.370.000.0619940.24-0.220.041995-0.070.180.0519960.070.310.0719970.190.590.1019980.330.990.111999-0.05-0.250.1520000.220.040.1120010.23-0.110.0920020.06-0.150.1020030.32-0.120.0820040.190.160.0620050.050.220.0520060.17-0.020.07

1、模型分析步驟

2、結(jié)果分析

2.1 統(tǒng)計計量結(jié)果分析

（1）由所得結(jié)果可以得到：債券的期望收益最小為0.0755，但其相應(yīng)的風(fēng)險也最小為0.000735；而股票2的期望收益最大為0.1850，但相應(yīng)的風(fēng)險也最大，股票1的期望收益和風(fēng)險居中。

（2） 從圖中的協(xié)方差矩陣可以看出，股票1和股票2、股票1和債券、股票2和債券的協(xié)方差均為負(fù)數(shù)，說明它們是反方向變動的，即一個投資項目的風(fēng)險增大時另一個的風(fēng)險會減小。

（3） 根據(jù)投資比例結(jié)果得當(dāng)總預(yù)期回報率不低于13%時，三個項目的投資比例分別為50.634%、32.431%、16.935%。此時的總風(fēng)險（方差）為0.0143，標(biāo)準(zhǔn)差為11.96%小于達(dá)到最小值。

2.2總預(yù)期回報率的置信區(qū)間分析

因為有價證券投資有一定的風(fēng)險，因此還需要對所求結(jié)果進(jìn)行概率分布分析。當(dāng)投資組合總回報率服從正態(tài)分布時，總回報率的置信區(qū)間如下：

總回報率的值落在區(qū)間[總回報率期望值—總回報率標(biāo)準(zhǔn)差，總回報率期望值+總回報率標(biāo)準(zhǔn)差]即[μ—σ，μ+σ]的概率是68%；總回報率的值落在區(qū)間[總回報率期望值—2*總回報率標(biāo)準(zhǔn)差，

總回報率期望值+2*總回報率標(biāo)準(zhǔn)差]即[μ—2σ，μ+2σ]的概率是95%；總回報率的值落在區(qū)間[總回報率期望值—3*總回報率標(biāo)準(zhǔn)差，總回報率期望值+3*總回報率標(biāo)準(zhǔn)差]即[μ—3σ，μ+3σ]的概率是99.7%。

根據(jù)結(jié)果總回報率期望值μ=13%，總回報率的標(biāo)準(zhǔn)差σ=11.96%，所以當(dāng)總回報率服從正態(tài)分布時有以下結(jié)果：總回報率以68%的概率落到區(qū)間[1.04%，24.96%]中；以95%的概率落到區(qū)間[—10.93%，—36.93%]中；以99.7%落在區(qū)間[—22.89%，48.89%]中。由此可見區(qū)間越大，落到區(qū)間的概率接近100%。

2.3預(yù)期回報率和風(fēng)險之間的平衡分析

投資組合優(yōu)化分析是在風(fēng)險最小化的前提下尋找收益最大化，但現(xiàn)實(shí)中要求我們尋找風(fēng)險和收益的最佳平衡。為了能夠求得這個平衡位置，需要改變收益的最低可接受水平，然后觀察對風(fēng)險的影響。

改變收益的最低接受水平后運(yùn)用Excel“規(guī)劃求解”得到表2。表2描述了當(dāng)預(yù)期收益最低可接受水平在某一范圍時分別獲得最優(yōu)解的預(yù)期收益和風(fēng)險。

最低預(yù)期回報率股票1投資比例股票2投資比例債券投資比例總風(fēng)險（標(biāo)準(zhǔn)差）預(yù)期回報率

8%5.32%2.29%92.39%2.67%8.0%9%14.38%8.32%77.30%3.76%9.0%10%23.45%14.34%62.21%5.59%10.0%11%32.51%20.37%47.12%7.64%11.0%12%41.57%26.40%32.03%9.79%12.0%13%50.63%32.43%16.93%11.96%13.0%14%59.70%38.46%1.84%14.16%14.0%15%48.61%51.39%0.00%16.94%15.0%16%34.72%65.28%0.00%20.76%16.0%17%20.83%79.17%0.00%25.17%17.0%18%6.94%93.06%0.00%29.90%18.0%

通過表2看出首先當(dāng)預(yù)期回報率增加時，風(fēng)險也隨之增加。當(dāng)收益為14%時，風(fēng)險為14.16%超過了收益，此后風(fēng)險越來越大。另外當(dāng)預(yù)期回報率增加時，選擇投資項目的投資從最小風(fēng)險的債券逐漸轉(zhuǎn)向收益最大、風(fēng)險也最大的股票2；而收益和風(fēng)險居中的股票1在收益和風(fēng)險居中時，投資比例最大。

如果沒有規(guī)定最低預(yù)期回報率，則投資者需要根據(jù)表2和圖2來決定哪一種投資組合在預(yù)期收益和風(fēng)險之間提供了最佳平衡。

3、小結(jié)

通過以上的理論分析和實(shí)證舉例，非線性規(guī)劃在有價證券的投資組合中得到了很好的使用。在此一定要注意以下幾個問題：

（1）單項投資和多項的投資組合中預(yù)期的回報是用期望回報率來衡量的，但期望回報率高的不一定是最優(yōu)選擇。

（2）期望收益率只能體現(xiàn)投資的平均回報水平。有價證券投資是有風(fēng)險的，為了更好的規(guī)避由于較大風(fēng)險帶來的損失，需要利用回報率的方差或者標(biāo)準(zhǔn)差來衡量。只有將方差或者標(biāo)準(zhǔn)差和期望收益率結(jié)合起來考慮才能更好的選擇最優(yōu)投資組合。

（3）在多項投資組合中，各個投資項目之間是可以互相影響的，這些影響可以使總體的收益風(fēng)險增大也可以減小。因此應(yīng)該詳細(xì)的計算出各個投資項目之間相關(guān)系數(shù)。

（4）多項投資組合隨著預(yù)期收益率的變化，其投資比例會發(fā)生變化，相應(yīng)的風(fēng)險也會發(fā)生變化。為了得到預(yù)期回報和風(fēng)險之間的平衡關(guān)系則需要根據(jù)預(yù)期回報率的變化與各投資項目的變化的關(guān)系及總風(fēng)險和預(yù)期收益的關(guān)系來確定。