穆華　吳美平　潘獻(xiàn)飛

[摘 要]大學(xué)課堂教學(xué)的一種成功方式是引導(dǎo)學(xué)生自己將所要講授的知識(shí)重新“發(fā)明”出來。大學(xué)老師提出一個(gè)或多個(gè)問題作為引子，然后引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識(shí)解決所提出的引子問題，并在解決問題的過程中推導(dǎo)出新知識(shí)。這種“知識(shí)發(fā)明”的教學(xué)方式有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，營造良好的課堂氛圍，提高學(xué)生解決問題的能力，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

[關(guān)鍵詞]歐拉角 教學(xué)設(shè)計(jì) 知識(shí)發(fā)明

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2015）03-0163-03

所謂“知識(shí)發(fā)明”教學(xué)法，是指老師在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)合理的問題，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)解決問題，并在解決問題的過程中“發(fā)明”出新知識(shí)的一種教學(xué)方式。全國數(shù)學(xué)名師李尚志在教學(xué)中推行這種教學(xué)方式，他在自己編著的教材《線性代數(shù)》[1]中寫到：“不從定義出發(fā)而從問題出發(fā)引入概念，引導(dǎo)學(xué)生在嘗試解決這些問題的過程中將所要講授的知識(shí)重新‘發(fā)明出來”。我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中積極采用“知識(shí)發(fā)明”教學(xué)法，嘗試通過引導(dǎo)學(xué)生解決問題來組織課堂教學(xué)，收到了良好的教學(xué)效果。本文以本科導(dǎo)航類專業(yè)課程中歐拉角的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，來說明這種教學(xué)方式。描述空間直角坐標(biāo)系（下文簡稱“坐標(biāo)系”）空間關(guān)系的歐拉角在理論力學(xué)[2]、飛行力學(xué)[3] [4]和導(dǎo)航專業(yè)課程[5] [6]中都有所涉及。學(xué)生在不同課程中多次學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容后，往往還存在以下問題：不能快速找出兩個(gè)坐標(biāo)系之間的歐拉角，對(duì)12種歐拉角的存在性心存疑惑等等。究其原因，從教材編寫到老師授課，往往把重點(diǎn)放在結(jié)論上，直接把結(jié)論灌輸給學(xué)生。如果按照教材編寫授課，歐拉角的引入通常是一句話“歐拉首先提出可以用三個(gè)角度來描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)”。接下來就是“拿來主義”，將歐拉提出的歐拉角拿來用。但是學(xué)生對(duì)于這種拿來的東西往往只知其一、不知其二，很難真正擁為己有。我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中嘗試引導(dǎo)學(xué)生自己把歐拉角“發(fā)明”出來，這種課堂教學(xué)有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生自主更新知識(shí)體系，從而優(yōu)化教學(xué)效果。

一、歐拉角的引入

兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系的空間關(guān)系用一個(gè)轉(zhuǎn)角就可以刻畫，這是學(xué)生所熟悉的，由此引申到空間直角坐標(biāo)系，請(qǐng)學(xué)生思考：能否用轉(zhuǎn)角來刻畫兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系的空間關(guān)系？

（一）引子問題

設(shè)O-xpypzp和O-xqyqzq是兩個(gè)原點(diǎn)重合、坐標(biāo)軸方向不重合的空間直角坐標(biāo)系，分別以P和Q表示。確定兩個(gè)坐標(biāo)系的空間關(guān)系可以通過確定坐標(biāo)系Q在坐標(biāo)系P中的位置來實(shí)現(xiàn)，這相當(dāng)于取坐標(biāo)系P為參考坐標(biāo)系。那么如何確定坐標(biāo)系Q在坐標(biāo)系P中的位置呢？

（二）解答

兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系的空間關(guān)系用一個(gè)轉(zhuǎn)角就可以刻畫。能否用轉(zhuǎn)角來刻畫兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系的空間關(guān)系呢？

確定坐標(biāo)系Q在坐標(biāo)系P中的位置，只需依次確定坐標(biāo)系Q的兩個(gè)坐標(biāo)軸的位置，以依次確定Oxq軸和Oyq軸的位置為例。

首先確定Oxq軸。在圖1中，ON是Oxq軸與OxP軸所在平面OxqxP與平面OypzP的交線，同時(shí)是Oxq軸在平面OypzP內(nèi)的投影。ON到OzP軸的轉(zhuǎn)角記為β，OxP軸到Oxq軸的轉(zhuǎn)角記為α。兩個(gè)轉(zhuǎn)角可以唯一確定Oxq軸在坐標(biāo)系P中的位置。對(duì)于轉(zhuǎn)角，規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，轉(zhuǎn)角取值范圍限制為（-180°，180°）。

Oxq軸的位置確定后，由于Oyq軸被限定在Oxq軸的垂面內(nèi)，所以只需要一個(gè)角度來確定Oyq軸在垂面內(nèi)的位置便可以確定Oyq的空間位置。Oxq軸和Oyq軸的位置確定后，Ozq軸的位置由右手法則確定。可見，可以利用三個(gè)轉(zhuǎn)角確定一個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)于另外一個(gè)坐標(biāo)系的空間關(guān)系。

（三）點(diǎn)評(píng)

利用兩個(gè)轉(zhuǎn)角刻畫Oxq軸在坐標(biāo)系P中的位置，這種方式也提供了通過兩次轉(zhuǎn)動(dòng)使得OxP軸與Oxq軸重合的方案。

（1）首先，坐標(biāo)系P繞OxP軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度90°-β，使得OyP軸與ON重合，得到的中間坐標(biāo)系記作Ox′P y′P z′P；

（2）接下來，中間坐標(biāo)系Ox′P y′P z′P 繞OzP 軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度α，便可以使得Ox′P 軸與Oxq軸重合，得到的中間坐標(biāo)系記作Ox″P y″P z″P。

當(dāng)坐標(biāo)系P經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)動(dòng)使得OxP軸與Oxq軸重合后，中間坐標(biāo)系Ox″P y″P z″P的Oy″P軸與Oyq軸同位于Oxq軸的垂面內(nèi)，Oyq的空間位置可以用Oy″P軸到Oyq軸的轉(zhuǎn)角γ來刻畫。同時(shí)，只需將中間坐標(biāo)系Ox″P y″P z″P再繞重合的坐標(biāo)軸Oxq軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度γ，便可以使得坐標(biāo)系P與坐標(biāo)系Q重合?？梢姡齻€(gè)轉(zhuǎn)角<90°-β，α，γ>及轉(zhuǎn)動(dòng)順序（1、3、1）（這里1、2、3分別表示坐標(biāo)系的x軸、y軸、z軸）可以完整刻畫兩個(gè)坐標(biāo)系的空間關(guān)系。這里的轉(zhuǎn)角就稱作歐拉角。至此，我們順理成章的引入了歐拉角的概念。

二、歐拉角的分析

（一）歐拉角的組數(shù)

顯然，用歐拉角確定兩個(gè)原點(diǎn)重合坐標(biāo)系的空間關(guān)系有多種選擇。一方面，通過兩次轉(zhuǎn)動(dòng)重合的坐標(biāo)軸可以在第一軸、第二軸和第三軸之間任意選擇；另一方面，通過兩次轉(zhuǎn)動(dòng)使一組坐標(biāo)軸重合也有多種實(shí)現(xiàn)方式。下面以O(shè)xq軸與Oxp軸重合為例，分析所有實(shí)現(xiàn)方式。

（1）利用Oxq軸與Oxp軸所在平面Oxqxp（見圖1）。在對(duì)引子問題解答的點(diǎn)評(píng)中，給出了按照1、3順序轉(zhuǎn)動(dòng)的方案<90°-β，α>。也可以采用另一種方案使得Oxp軸與Oxq軸重合。首先坐標(biāo)系P繞Oxp軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使得Ozp軸與ON重合，然后繞中間坐標(biāo)系的Oy′P 轉(zhuǎn)動(dòng)使Ox′P 軸與Oxq軸重合。兩次轉(zhuǎn)動(dòng)的角度分別為-β和-α，轉(zhuǎn)動(dòng)順序?yàn)?、2。

（2）利用Oxq軸與Oyp軸所在平面Oxqxp（見圖2a）。只有一種方案：先繞2軸轉(zhuǎn)動(dòng)使得Oxp軸與ON（Oxq軸在平面Oxpzp的投影）重合，然后繞3軸轉(zhuǎn)動(dòng)到達(dá)Oxq軸的位置。兩次轉(zhuǎn)動(dòng)的角度分別為？覫-90°和90°-φ，轉(zhuǎn)動(dòng)順序?yàn)?、3。

（3）利用Oxq軸與Ozp軸所在平面Oxqzp（見圖2b）。只有一種方案：先繞3軸轉(zhuǎn)動(dòng)使得Oxp軸與ON（Oxq軸在平面Oxpyp的投影）重合，然后繞2軸轉(zhuǎn)動(dòng)到達(dá)Oxq軸的位置。兩次轉(zhuǎn)動(dòng)的角度分別為90°-λ和η-90°，轉(zhuǎn)動(dòng)順序?yàn)?、2。

可見，通過兩次轉(zhuǎn)動(dòng)使一組坐標(biāo)軸重合有四種轉(zhuǎn)法，相應(yīng)的首先使該組坐標(biāo)軸重合，然后再使兩個(gè)坐標(biāo)系重合的轉(zhuǎn)法也就有四種，對(duì)應(yīng)四組歐拉角。轉(zhuǎn)動(dòng)使兩個(gè)坐標(biāo)系重合時(shí)首先重合的軸有三種選擇，因此使兩個(gè)坐標(biāo)系重合的轉(zhuǎn)法有12種，對(duì)應(yīng)12組歐拉角。

（二）特殊情況

本文所考慮的兩個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向不重合。當(dāng)兩個(gè)坐標(biāo)系的1軸共坐標(biāo)系P的坐標(biāo)平面，即Oxq軸位于平面Oxpyp或者平面Oxpzp內(nèi)時(shí)，上述四種轉(zhuǎn)動(dòng)方案退化為兩種。以O(shè)xq軸位于平面Oxpyp內(nèi)為例，設(shè)Oxp軸到Oxq軸的轉(zhuǎn)角為θ，一種方案為按照1、2順序轉(zhuǎn)動(dòng)<-90°，-θ>，另一種方案為繞3軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ。此時(shí)，如果兩個(gè)坐標(biāo)系的2軸和3軸均不共坐標(biāo)系P的坐標(biāo)平面，那么使兩個(gè)坐標(biāo)系重合的歐拉角有10組，其中一組僅有兩個(gè)歐拉角。如果兩個(gè)坐標(biāo)系的另外一組坐標(biāo)軸也共坐標(biāo)平面，例如Oxq軸位于平面Oxpyp內(nèi)，同時(shí)Oyq軸位于平面Oypzp內(nèi)時(shí)，使兩個(gè)坐標(biāo)系重合的歐拉角有8組，其中兩組僅有兩個(gè)歐拉角。

（三）確定坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的歐拉角

在可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的多組歐拉角中，有些歐拉角可以由已知條件直接獲得。清楚歐拉角的來源，可以幫助學(xué)生快速確定合適的歐拉角及轉(zhuǎn)動(dòng)順序。考慮下面的例子。

設(shè)地球?yàn)橐粓A球，地心坐標(biāo)系的原點(diǎn)在地心OE，OEXE軸在赤道平面內(nèi)指向發(fā)射時(shí)刻的起始子午線并隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，OEZE軸垂直于赤道平面指向北極。發(fā)射坐標(biāo)系的原點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)o固連，發(fā)射點(diǎn)的經(jīng)度為λ0、地心緯度為？覫0；ox軸在發(fā)射點(diǎn)水平面內(nèi)，與o點(diǎn)正北方向的夾角為α0；oy軸垂直于發(fā)射點(diǎn)水平面指向上方。如圖3所示。

從歐拉角的引入過程不難體會(huì)到，確定歐拉角關(guān)鍵是要找到兩個(gè)坐標(biāo)系的某兩個(gè)軸所在的平面，并且能夠確定這個(gè)平面在參考坐標(biāo)系中的位置及平面內(nèi)兩個(gè)坐標(biāo)軸的相對(duì)位置。在圖3中，發(fā)射點(diǎn)o所在子午面正是這樣一個(gè)平面，它是oy軸和OEZE軸所在平面，其位置可以用發(fā)射點(diǎn)的經(jīng)度λ0來刻畫，子午面內(nèi)oy軸的位置可以用發(fā)射點(diǎn)的地心緯度？覫0描述。由此可以確定使地心坐標(biāo)系與發(fā)射坐標(biāo)系各對(duì)應(yīng)軸平行的三個(gè)歐拉角，λ0-90°、？覫0、-（-90°+α0），轉(zhuǎn)動(dòng)順序?yàn)?、1、2。

說明：這部分屬于后續(xù)教學(xué)內(nèi)容，不屬于本次課內(nèi)容。這里是為了表明學(xué)生自己“發(fā)明”歐拉角后，在確定坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的歐拉角時(shí)可以更加得心應(yīng)手，因此老師在后續(xù)課堂教學(xué)中可以少用課時(shí)。

三、結(jié)束語

對(duì)于通過解決問題引入新知識(shí)的教學(xué)方式，我們有以下體會(huì)：

1）設(shè)計(jì)的問題要容易解決，這樣才能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。在本次教學(xué)設(shè)計(jì)中，引子問題的求解僅用到了中學(xué)幾何知識(shí)，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和信心。

2）與傳統(tǒng)教學(xué)相比，這種教學(xué)方式可能需要多一些教學(xué)時(shí)間；但是由于學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解更為深刻，所以后續(xù)教學(xué)往往可以少用課時(shí)，總的教學(xué)時(shí)間是相當(dāng)?shù)?，而教學(xué)效果會(huì)更好。在本次課中，讓學(xué)生自己“發(fā)明”歐拉角的方式比“歐拉提出了歐拉角”一句話引入方式用的課時(shí)要多一些，但在后續(xù)教學(xué)“常用坐標(biāo)系及其相互轉(zhuǎn)換”中學(xué)生可以很快的確定常用坐標(biāo)系之間的歐拉角，與傳統(tǒng)教學(xué)方式相比可以少用課時(shí)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 李尚志.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2] 孫世賢.理論力學(xué)教程[M].長沙：國防科技大學(xué)出版社，2009.

[3] 錢杏芳，林瑞雄，趙亞男.導(dǎo)彈飛行力學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2011.

[4] 胡小平，吳美平，王海麗.導(dǎo)彈飛行力學(xué)基礎(chǔ)[M].長沙：國防科技大學(xué)出版社，2006.

[5] Titterton D.H.and Weston J.L.，Strapdown Inertial Navigation Technology[M]，2nd Ed，The Institution of Electrical Engineers，2004.

[6] Grewal M.S.，Weill L.R. and Andrews A.P.，Global Positioning Systems，Inertial Navigation and Integration [M]，New York：Wiley，2001.

[責(zé)任編輯：林志恒]