孫娜

摘 要：該文主要研究了拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的巧妙應(yīng)用。文章首先對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行證明，對(duì)拉格朗日中值定理的主要內(nèi)容進(jìn)行研究;其次，結(jié)合逆向思維，對(duì)拉格朗日中值定理處理極限問(wèn)題、不等式問(wèn)題、證明問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題等的方法進(jìn)行研究，望為解決高等數(shù)學(xué)問(wèn)題提供一定的參考。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) ?拉格朗日中值定理 ?逆向思維 ?解題策略

中圖分類(lèi)號(hào)：O178 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ?文章編號(hào)：1674-098X（2015）10（c）-0255-02

拉格朗日中值定理作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。只有把握拉格朗日中值定理的相關(guān)內(nèi)容，合理運(yùn)用中值定理，將其與數(shù)學(xué)問(wèn)題緊密結(jié)合在一起，才能夠快速、正確解題，找到解題的捷徑。

1 拉格朗日中值定理及其證明

眾所周知，拉格朗日中值定理是高等數(shù)學(xué)中值定理中最重要的一個(gè)，能夠有效處理極限問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題及證明問(wèn)題，在高等數(shù)學(xué)中具有非常廣泛的應(yīng)用，已經(jīng)成為高等數(shù)學(xué)解題的重要路徑。

1.1 拉格朗日中值定理的主要內(nèi)容

若函數(shù)f（x）滿(mǎn)足以下條件：（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);（2）f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，則函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得。除此之外，拉格朗日中值定理還可以表達(dá)成或。

1.2 拉格朗日中值定理的證明

在對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行證明的過(guò)程中可以適當(dāng)利用羅爾中值定理，將其作為橋介，得出中值定理的相關(guān)內(nèi)容，其具體證明如下：

依照拉格朗日中值定理形式做輔助函數(shù)。

當(dāng)依照羅爾中值定理證明的過(guò)程中輔助函數(shù)必須滿(mǎn)足F（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);F（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，且F（a）=F（b）。滿(mǎn)足以上條件后，由羅爾中值定理可知：

函數(shù)中至少存在一點(diǎn)ξ（a<ξ

除此之外，證明的過(guò)程中還可以選取其他方法構(gòu)建輔助函數(shù)，通過(guò)羅爾中值定理對(duì)其進(jìn)行證明，如直接構(gòu)建輔助函數(shù)，同理可知輔助函數(shù)必須滿(mǎn)足在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);在開(kāi)區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，且==0。滿(mǎn)足以上條件后，由羅爾中值定理可知：

函數(shù)中至少存在一點(diǎn)ξ（a<ξ

2 逆向思維下拉格朗日中值定理的解題策略

拉格朗日中值定理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中要把握好定理的限定條件，在上述基礎(chǔ)上逆向考慮定理與題目之間的關(guān)系，從定理出發(fā)構(gòu)建與題目相關(guān)的函數(shù)，從而準(zhǔn)確求解，快速得到相應(yīng)的答案。

2.1 極限問(wèn)題的求解

求解極限問(wèn)題的方法非常多，如，夾逼定理、洛必達(dá)法則、泰勒公式等。這些方法在求解極限問(wèn)題時(shí)操作較為簡(jiǎn)單，思路非常清晰，解題難度較小，求解效果非常好。但對(duì)于一些較為復(fù)雜的極限問(wèn)題，運(yùn)用上述求解方法并不能夠快速、準(zhǔn)確解題。在上述狀況下，可以適當(dāng)選取拉格朗日中值定理，通過(guò)拉格朗日中值定理的結(jié)論將某些差式的極限轉(zhuǎn)化為求積式型的極限，對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)變，從而達(dá)到簡(jiǎn)化。

運(yùn)用拉格朗日中值定理求極限的時(shí)候要把握好拉格朗日中值定理與極限問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)，要尋找兩者之間的連接點(diǎn)，做好式子的簡(jiǎn)化，這樣才能夠快速解題。除此之外，求解過(guò)程中還要保證極限式符合拉格朗日中值定理的限定條件，防止解題失誤。

2.2 不等式問(wèn)題的求解

不等式證明的過(guò)程中常通過(guò)構(gòu)建函數(shù)，尋找函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，確定在某限定條件下函數(shù)成立，從而證明不等式。這種題型使用初等函數(shù)解法一般不能夠求解出來(lái)，但直接運(yùn)用拉格朗日中值定理后非常簡(jiǎn)單，能夠快速求解。

拉格朗日中值定理求解不等式或證明不等式時(shí)非常簡(jiǎn)單，只需要依照定理構(gòu)建符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件的函數(shù)F（x）即可，然后依照中值定理的相應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行求證。

2.3 證明問(wèn)題的求解

拉格朗日中值定理證明問(wèn)題在當(dāng)前的高等數(shù)學(xué)中非常常見(jiàn)。在對(duì)上述證明問(wèn)題進(jìn)行處理的過(guò)程中，要把握好拉格朗日中值定理的基本內(nèi)容，要學(xué)會(huì)用逆向思維從題目回歸到定理，由題目尋找與定理相關(guān)的內(nèi)容，追本溯源，從而將題目與拉格朗日中值定理聯(lián)系在一起，逆向?qū)ふ易C明路徑，降低解題難度。

2.4 函數(shù)問(wèn)題的求解

拉格朗日中值定理是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間連接的重要內(nèi)容。該定理將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一起，對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了深入研究，可以全面分析函數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)、單調(diào)性、一直連續(xù)性、凹凸性等，對(duì)函數(shù)整體和局部的把握具有至關(guān)重要的意義，是求解函數(shù)問(wèn)題的重要方法。

函數(shù)問(wèn)題求解的過(guò)程中要做好逆向分析，從拉格朗日中值定理及其求證出發(fā)對(duì)其與函數(shù)性質(zhì)求證之間的關(guān)系進(jìn)行分析，找出兩者的一致性。這樣才能夠快速、準(zhǔn)確求證，對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，達(dá)到事半功倍的效果。但上述求證的過(guò)程中一定要注意輔助函數(shù)的構(gòu)造，尋找最直接、最有效的輔助函數(shù)。

3 結(jié)語(yǔ)

拉格朗日中值定理在當(dāng)前數(shù)學(xué)問(wèn)題處理中具有非常廣泛的應(yīng)用效益，已經(jīng)成為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。在對(duì)上述定理進(jìn)行把握的過(guò)程中，要運(yùn)用好逆向思維，從定理本身出發(fā)對(duì)解題思路進(jìn)行分析，徐徐漸進(jìn)，將定理與題目結(jié)合在一起，靈活運(yùn)用，找到合適的解題路徑。只有這樣，才能夠快速找到拉格朗日中值定理與題目之間的關(guān)聯(lián)，抓住本質(zhì)，準(zhǔn)確解題。

參考文獻(xiàn)

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