邱偉 陶金

摘 要：電偶極子是電介質理論和原子物理學的重要模型。該文研究了電場中的電偶極子的力矩、電勢能與電偶極子的電勢、感生偶極矩、電場線方程。最后，用MATLAB軟件來反應電偶極子激發(fā)的電場在空間上的分布情況。

關鍵詞：電偶極子 ?電場 ?電勢 ?MATLAB

中圖分類號：0441.1 ? ? ? ? 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）10（c）-0253-02

在實際生活中電偶極子的應用很廣泛。在以往電偶極子的教學當中，沒有詳細討論電偶極子，只是給出電偶極子的電場，沒有對電偶極子的力矩、電勢能、電勢電場線作詳細討論。在接下來將詳細討論這幾個問題。

1 電場中的電偶極子

1.1 對電偶極子的力矩

電場中的電偶極子受力矩作用而旋轉，使電偶極矩的方向轉向外電場方向。電偶極矩簡稱電矩，是其在單位外電場作用下受到的最大力矩。一個水分子（見圖1），顯示3個核與電子存在的區(qū)域。電偶極子從氧端（負的）指向氫端（正的）。如圖2所示在均勻外電場中的偶極子，設偶極子是一個大小各為q而中心相距d的兩個異號電荷組成的偶極矩與電場成角。由于電場均勻，電場對偶極子的合力為零，所以偶極子的質心不移動。然而，在帶電末端上力在偶極子上產生一個繞其質心的合力矩。質心位于連接兩個帶電末端的線上，離一個末端的距離為，而另一個末端的距離為，根據(jù)，所以合力矩（1）利用電場的大小和偶極矩的大小寫出的大小，所以上式中用代替并用代替，求得的大小為：，我們還可以寫成矢量形式：（對偶極子的力矩）（2），所得結果與文獻[1]相同。

1.2 電偶極子的電勢能

電偶極子的勢能與其在電場中的取向有關。當電偶極子處于平衡取向具有最小的勢能，而平衡取向是其偶極矩沿電場方向的取向。在所有其他取向的情況下它具有較大的勢能。如圖3所示，角為90°時勢能為零，根據(jù)計算當電偶極子從90°轉到其他任意時，作用在電偶極子上的電場所做的功，可求出電偶極子在該值時的勢能。根據(jù)，在任意角處的勢能為：（3）積分后得，寫成矢量形式：（電偶極子的勢能）（4）。

2 電偶極子的電勢

2.1 電偶極子的電勢

設電場中任意一點到、和電偶極子中心的距離分別是、和，電偶極子中心到點連線和電偶矢徑成角，如圖4所示，由電勢公式與電勢疊加原理，是及在點產生的電勢的代數(shù)和。即：（5），根據(jù)電偶極子的定義是非常小的，假設、和都遠遠大于，所以可得出：。得（6）。

由式（6）可以得出，電偶極子電場的電勢分別與距離、夾角、和電距都有關?？梢栽O想一下：如果距離一定時，在電偶極子矢徑的延長線上，，這時電勢最大，;當=180°時，180°=-1，所以在電偶極子在矢徑的反向延長線上時電勢最小，;當90°時，°=0，所以電偶極子在中垂面上的電勢為零;當<<90°時，，隨角的增大而減小;當90°<<180°時，，隨角增大而減小;從上面的設想中可以得出，電偶極子的中垂面是零勢面，這個零勢面將整個電場分為正負兩個區(qū)域，一側為正電勢區(qū)域，一側為負電勢區(qū)域。電偶極子電場中某點電勢與方位角的關系如圖5所示。

2.2 感生偶極矩

許多分子，比如：水分子，具有永電偶極矩。在其他的分子（叫做無極分子）和在每個孤立的原子中，正電中心和負電中心重合，因而沒有偶極矩形成。然而如果我們把一個原子或無極分子放置在外電場中，電場使電子軌道變形并使正電中心和負電中心分離。因為電子帶負電，它們趨于沿與電場相反的方向移動。這個移動產生指向電場方向的電偶極矩。這個偶極矩被認為是電場感生的，而原子或分子被說成是被電場極化的，當電場除去后，感生偶極矩和極化消失。

2.3 用電勢求電場、電場線方程

電偶極子電勢的遠區(qū)表達式：（7），電偶極子的軸線與軸重合，其中和分別是和到點的距離。此時（7）式又可以寫成（8），電偶極子的遠區(qū)電場強度可由（8）式求梯度得到。因電勢只是坐標和的函數(shù)，于是有（9）。

從（8）式和（9）式可以看到，電偶極子的遠區(qū)場的電場強度與的三次方成反比，電勢與的平方成反比。根據(jù)（8）式，電偶極子的等電勢面方程可。

將電力線方程寫成球坐標形式，此時電場只有和兩個分量，有（10），把電場表達式（9）帶入上式（11），解上式得電偶極子遠區(qū)場的電力線方程恒量（12）。圖6給出了電偶極子為常數(shù)的平面內電偶極子遠區(qū)場電力線方程中恒量取不同的常數(shù)所對應的等電勢線和等電力線。[2]

3 用MATLAB演示電偶極子

用MATLAB演示點偶極子見圖7所示。[3]

4 結語

通過以上的研究，對電偶極子這個最基本的物理模型有了更深入的認識，以上研究只是電偶極子的電學屬性而忽略了力學屬性，電偶極子在電場中并不是靜止不動的，它收到力矩的作用會在平衡位置進行微小的振動，如果對均勻電場中的電偶極子的運動特征進行分析和討論，就能更好的掌握電偶極子這一重要的物理模型。模擬出來的圖形若能夠采用動畫的形式播放，可以給人以視覺上的享受，把抽象的問題具體化、圖形化。

參考文獻

[1] 哈里德.物理學基礎[M].機械工業(yè)出版社，2005.

[2] 張之翔.電磁學千題解[M].科學出版社，2005.

[3] 矯洪楠，侯怒.電偶極子激發(fā)的電場及其MATLAB模擬仿真[J].物理通報，2014（10）：27-29.