張永梅

（南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 211106）

電偶極子在均勻電場中的運動特征研究

張永梅

（南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 211106）

電偶極子在均勻電場中受到力矩的作用而發(fā)生轉(zhuǎn)動，但由于慣性的存在，電偶極子不會立即靜止在平衡位置，而是會在平衡位置附近振動.本文從動力學(xué)和能量特征兩個方面證實，初始角度較小的情況下，電偶極子做簡諧振動.

電偶極子；均勻電場；力矩；簡諧振動

1 引言

電偶極子是一個重要的物理模型，大部分物質(zhì)的分子的電性質(zhì)都可以看成是由正電中心和負(fù)電中心構(gòu)成的電偶極子［1］.在靜電學(xué)中我們都會討論電偶極子電場的特點，也會討論電偶極子在電場中受到力矩作用而發(fā)生轉(zhuǎn)動，這也是電介質(zhì)極化的基本機理之一.目前的教科書在處理電偶極子時都只考慮它的電學(xué)屬性而忽略力學(xué)屬性，認(rèn)為電偶極子在均勻外電場作用下將發(fā)生轉(zhuǎn)動而趨于外電場方向［2］.這是不全面的.事實上，任何帶電粒子都具有質(zhì)量，都具有慣性.考慮到電偶極子具有慣性，它應(yīng)該會在平衡位置附近振動.本文考慮電偶極子由具有一定質(zhì)量而電荷極性相反的兩個粒子組成，研究由于靜電力和慣性的共同作用，電偶極子在電場中的振動行為，并從能量的角度證實振動的電偶極子類似力學(xué)中的單擺或彈簧振子.

電偶極子是在電磁理論和實際生活中經(jīng)常遇到的一種帶電體系，是距離較近的等量異號電荷構(gòu)成的帶電系統(tǒng).連接兩電荷的直線稱為電偶極子的軸線，取從負(fù)電荷指向正電荷的矢量re的方向為軸線的正方向.電荷量q與矢量re的乘積定義為電偶極矩，簡稱電矩，即pe＝qre.

圖1 電偶極子示意圖

2 電偶極子在均勻電場中的運動

設(shè)外電場的強度為E，把電偶極子放在該均勻的外電場中時，它的電偶極矩pe的方向與電場強度E的方向之間的夾角為θ.電偶極子的正負(fù)電荷分別受到電場力F1和F2的作用，這兩個力的大小F1＝F2均為qE.

由于這兩個力大小相等，方向相反，所以電偶極子受到的合力為零，電偶極子不會發(fā)生平動.但是這兩個力不在同一條直線上，所以電偶極子受到力矩的作用，這個力矩的大小為

寫成矢量式為

圖2 在均勻外電場中的電偶極子

在這個力矩的作用下，電偶極子將發(fā)生轉(zhuǎn)動，直到pe與E的方向一致（θ＝0）.當(dāng)θ＝0或θ＝π時，力矩變?yōu)榱?所以θ＝0或θ＝π是電偶極子的平衡位置.力矩的作用將使電偶極子趨向于平衡位置θ＝0.但是，如果考慮到電偶極子是由具有質(zhì)量的兩個粒子組成，由于慣性，電偶極子不會立即靜止在平衡位置，而是會繼續(xù)運動，再次偏離平衡位置，再由于力矩的作用回轉(zhuǎn)到平衡位置，如此繼續(xù)下去.也就是說，電偶極子會在平衡位置附近來回擺動.我們忽略電偶極子擺動時的輻射阻尼，下面來看電偶極子的運動方程.

力矩的作用使電偶極子趨向于平衡位置，設(shè)使電偶極子角位置θ增加的轉(zhuǎn)向為正，則力矩M使電偶極子沿θ減小的方向轉(zhuǎn)動.因此我們把力矩的值寫作

如果角度θ足夠小，比如θ＜5°，那么sinθ≈θ.這時力矩就寫為

其中，θ是電偶極子對平衡位置的偏離.所以電偶極子受到的力矩與角位置成正比而方向相反，電偶極子作簡諧振動.由M＝Jβ，則有

其中，θ0是振動角位置的振幅；ω0是振動的圓頻率由電偶極子本身和外電場的性質(zhì)決定.

我們可以對振動頻率的數(shù)量級做個估計.電介質(zhì)分子電偶極矩的數(shù)量級是10－30C·m［3］，電場采用擊穿場強的1/10，數(shù)量級為106V·m－1，質(zhì)量的數(shù)量級為10－27kg，距離的數(shù)量級為10－10m.代入頻率的公式計算，則頻率的數(shù)量級是1013Hz.電偶極子振動的頻率還是相當(dāng)高的，若考慮它的電磁輻射，其頻率大約在中、近紅外的范圍.

既然考慮到帶電粒子具有質(zhì)量，在分析力矩的時候就必須考慮到重力矩，在分析振動能量時也應(yīng)該考慮重力勢能，就是說應(yīng)該考慮重力場的作用.究竟重力場會不會對電偶極子的振蕩行為產(chǎn)生影響呢？如圖3示，無論電偶極子處在怎樣的位置，構(gòu)成電偶極子的兩個帶電粒子受到的相對于轉(zhuǎn)動中心的力矩都是大小相等而方向相反，所以力矩的總和等于零.因此重力的力矩對電偶極子的轉(zhuǎn)動沒有影響.

圖3 電偶極子系統(tǒng)受到的重力矩

3 振動電偶極子的能量特征

上面從動力學(xué)特征分析，電偶極子在均勻電場中作簡諧振動，下面再從能量角度分析它是否符合簡諧振動的特征.處于電場中的電偶極子的能量應(yīng)當(dāng)包括振動的動能和電勢能.

再看電偶極子在電場中的電勢能.電偶極子在任意位置時的電勢能為Wp＝W1＋W2＝－qErecosθ.它在平衡位置的電勢能是Wp0＝－qEre.所以電偶極振子偏離平衡位置時的勢能Ep＝Wp－Wp0＝qEre（1－cosθ）.考慮到小角度近似而θ＝θ0cos（ω0t＋φ0），所以電偶極子偏離平衡位置的勢能為

我們發(fā)現(xiàn)電偶極子的動能和勢能都是隨時間周期性變化.電偶極子的總能量為

可見，電偶極振子的總能量是不變的.這是因為振動過程中既沒有外力做功，也沒有非保守內(nèi)力做功.

4 電偶極子模型及其應(yīng)用

電偶極子是電介質(zhì)理論和原子物理學(xué)的重要模型，研究從穩(wěn)恒到X光頻電磁場作用下電介質(zhì)的色散和吸收，以及天線的輻射等現(xiàn)象，可以用振蕩偶極子來表示［4］.盡管剛性電偶極子在均勻電場中做無耗散的簡諧振動，但在電介質(zhì)中存在大量的電偶極子，它們之間有大量的相互作用.電介質(zhì)被極化后，內(nèi)部電場被削弱，電偶極子受到的力矩減小，振動圓頻率也會減小.電介質(zhì)很快達到穩(wěn)定的極化狀態(tài).生物體所有的功能和活動都以生物電的形式涉及電偶極子的電場.例如，心臟的一個完整的電活動過程就包含了心肌細胞接受刺激形成電偶極子、伴隨刺激在細胞內(nèi)的傳播電偶極子的電矩向前延伸、刺激結(jié)束后心肌細胞的復(fù)原即正負(fù)電中心重合而電矩為零，完全復(fù)原后心肌細胞又可以接受新的刺激［5］.電偶極子模型還用來研究艦船靜態(tài)電場的深度換算，實現(xiàn)艦船電場補償，有效提高艦船的安全性［6］.

5 總結(jié)

對均勻電場中電偶極子的運動特征進行分析和討論，不僅使學(xué)生理解和掌握電偶極子這一重要的物理模型，而且把靜電學(xué)和剛體轉(zhuǎn)動、機械振動等知識有機結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維和綜合應(yīng)用知識的能力.

［1］ 孫目珍.電介質(zhì)物理基礎(chǔ)［M］.廣州：華南理工大學(xué)出版社，2002

［2］ 程守洙，江之泳.普通物理學(xué)［M］.6版.北京：高等教育出版社，2006

［3］ 張三慧.大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué) 下冊［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003

［4］ 殷之文.電介質(zhì)物理學(xué)［M］.3版.北京：科學(xué)出版社，2003

［5］ 段鶴.電偶極子模型及其應(yīng)用［J］.齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版，2011，27（2）

［6］ 劉文寶，王向軍，嵇斗.基于電偶極子模型的艦船靜電場深度換算［J］.空軍雷達學(xué)院學(xué)報，2010，24（6）

STUDY OF MOTION CHARACTERISTICS OF
ELECTRIC DIPOLE IN UNIFORM ELECTRIC FIELD

Zhang Yongmei
（College of Science，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing，Jiangsu 211106）

Electric dipole in uniform electric field rotates because of electric torque.When the electric dipole reaches its balance position，it doesn't rest at the position as inertia exists，but vibrates around the balance position.In this paper，it is confirmed that the electric dipole exhibits simple harmonic motion under small angle initial condition from the view of dynamics and energy characteristics.

electric dipole；uniform electric field；torque；simple harmonic vibration

2011－11－04）