鄭永紅 王宏偉

（北京信息科技大學(xué)理學(xué)院 北京 100192）

平板電容器介質(zhì)中的矢量場*

鄭永紅 王宏偉

（北京信息科技大學(xué)理學(xué)院 北京 100192）

介紹了平板電容器真空及各向同性電介質(zhì)中的電場，進(jìn)一步計(jì)算了各向異性平板電容器電場中的電場強(qiáng)度、電位移矢量、電極化強(qiáng)度．根據(jù)計(jì)算的結(jié)果對平板電容器介質(zhì)中的矢量場進(jìn)行了力線描繪，說明了電介質(zhì)矢量場的性質(zhì)．并進(jìn)一步比較了線性各向異性電介質(zhì)與指數(shù)電介質(zhì)對電場產(chǎn)生的影響．

平板電容器 電介質(zhì) 電場強(qiáng)度 電位移

電容器是現(xiàn)代電工技術(shù)和電子技術(shù)中重要的元件，在各類傳感器中有著廣泛的應(yīng)用［1］．在普通物理中，只討論過真空平板電容器、各向同性平板電容器中矢量場的計(jì)算．當(dāng)平板電容器中充有各向異性電介質(zhì)時(shí)，電介質(zhì)對真空中的靜電場會(huì)產(chǎn)生什么樣的影響呢？

本文根據(jù)有介質(zhì)存在時(shí)描述靜電場的物理量電場強(qiáng)度、電位移矢量、電極化強(qiáng)度矢量，分別計(jì)算了有線性各向異性電介質(zhì)、指數(shù)型電介質(zhì)存在時(shí)平板電容器中的各種矢量，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行力線描繪，形象地說明電介質(zhì)對電場的影響．使學(xué)生進(jìn)一步了解真空電場與電介質(zhì)存在時(shí)的不同，了解各向異性電介質(zhì)對電場的影響．

1 電介質(zhì)的極化對矢量場的影響

由于組成電介質(zhì)的分子不同，可以把電介質(zhì)分為無極分子電介質(zhì)和有極分子電介質(zhì)．在無外場時(shí)，分子正負(fù)電荷中心是重合的，這種分子叫做無極分子．例如甲烷、二氧化碳和石蠟等的分子都是無極分子．在無外場時(shí)，分子的正負(fù)電荷中心不重合，這種分子叫有極分子，如有機(jī)玻璃、纖維素等．

無外場時(shí)，無極分子的電偶極矩為零．在外場中，無極分子正負(fù)電荷受到相反方向的電場力，發(fā)生相對位移，每個(gè)分子的電偶極矩不再為零，且都沿外場方向排列．這種現(xiàn)象稱作無極分子的位移極化，如圖1（a）所示．有極分子在無外場時(shí)，具有電偶極矩．由于分子的熱運(yùn)動(dòng)和相互碰撞，整個(gè)電介質(zhì)中分子電偶極矩矢量和為零．在外場中，這些分子的電偶極矩將受到外場力矩的作用轉(zhuǎn)向外場方向，這就是有極分子電介質(zhì)的取向極化，如圖1（b）所示．

圖1 電介質(zhì)的極化

雖然兩種介質(zhì)的微觀機(jī)理不同，但其宏觀效果是一樣的．在電介質(zhì)的表面都出現(xiàn)了極化電荷的現(xiàn)象．介質(zhì)表面極化電荷的出現(xiàn)，會(huì)影響原來的電場．當(dāng)只討論極化電荷對原電場的影響時(shí)，就不需要把這兩種電介質(zhì)進(jìn)行分類．下面分別討論不同性質(zhì)的電介質(zhì)由于極化對電場的影響．

2 各向同性平板電容器的矢量場

真空中平板電容器，平板的面積為S，兩平板相距為d，如圖2所示．設(shè)兩極板的面電荷密度為±σ，則極板間的電場強(qiáng)度為［2］

由上式可得兩極板間的電位移矢量為

圖2 真空平板電容器

真空中平板電容器中的E場和D場，都是均勻場．它們都是無源無旋場．

板間充滿各向同性的電介質(zhì)時(shí)，電介質(zhì)的介電常數(shù)為ε，則電容器的電介質(zhì)中的電位移矢量為［3］

各向同性電介質(zhì)中，E場、D場、P場均為均勻場，電介質(zhì)中電場強(qiáng)度小于真空中電場強(qiáng)度．可見，電介質(zhì)的存在削弱了電場．電位移矢量場不變，有介質(zhì)的極化，極化強(qiáng)度矢量不為零．介質(zhì)中三者均為無源無旋場．

3 線性各向異性電介質(zhì)的矢量場

設(shè)電介質(zhì)的介電常數(shù)為

如圖3所示．由于問題的對稱性可知D是均勻分布的．作如圖的高斯面Σ，只需計(jì)算介質(zhì)內(nèi)與極板平行的面ΔS的電位移通量

電極化強(qiáng)度為

圖3 充有隨y變化各向異性電介質(zhì)的平板電容器

計(jì)算表明介質(zhì)中的D為均勻場是無源無旋的；介質(zhì)中的E是非均勻場，隨y的增大而減小，是有源無旋的；介質(zhì)中P為非均勻場，隨y的增大而增大，是有源無旋的．矢量場的力線分布如圖4所示．

圖5 充有隨x變化電介質(zhì)的平板電容器

由此得介質(zhì)中電場強(qiáng)度為

電位移矢量為

計(jì)算結(jié)果表明，介質(zhì)中E場是均勻場，是無源無旋的；介質(zhì)中的D為非均勻場，隨x的增大而增大，是無源有旋的；介質(zhì)中的P場是非均勻場，隨x的增大而增大，是無源有旋的．圖6為此種介質(zhì)中矢量場的力線分布．

圖6 介質(zhì)中矢量場的力線分布

4 指數(shù)各向異性電介質(zhì)的矢量場

電場強(qiáng)度矢量為

電極化強(qiáng)度矢量為

5 結(jié)論

上面介紹了真空及均勻各向同性電介質(zhì)的矢量場，并進(jìn)一步討論了當(dāng)電容器中充滿線性電介質(zhì)、指數(shù)型電介質(zhì)時(shí)介質(zhì)中的矢量場．當(dāng)電介質(zhì)的介電常數(shù)是y的函數(shù)時(shí)，介質(zhì)中的D為均勻場是無源無旋的；介質(zhì)中的E是非均勻場，是有源無旋的；介質(zhì)中P為非均勻場，是有源無旋的．指數(shù)型電介質(zhì)中電場強(qiáng)度、電極化強(qiáng)度矢量比線性電介質(zhì)變化得快．當(dāng)電介質(zhì)的介電常數(shù)是x的函數(shù)時(shí)，介質(zhì)中E場是均勻場，是無源無旋的；介質(zhì)中的D為非均勻場，是無源有旋的；介質(zhì)中的P場是非均勻場，是無源有旋的．指數(shù)型電介質(zhì)中電位移矢量、電極化強(qiáng)度矢量比線性電介質(zhì)變化得快．

1 趙凱華，陳熙謀．電磁學(xué)（上冊）．北京：高等教育出版社，2008．156

2 程守洙，江之永．普通物理學(xué)（2）．北京：高等教育出版社，2008．98

3 馬文尉，周雨青，等．物理學(xué)教程（上冊）．北京：高等教育出版社，2006．56

*北京市教育委員會(huì)科技發(fā)展計(jì)劃面上項(xiàng)目，項(xiàng)目編號：KM201411232017

鄭永紅（1969- ），女，博士，講師，主要從事物理教學(xué)和傳感器的研究．

2014- 05- 05）