阿不都克熱木·阿吉

摘 要：數(shù)學分析是近代數(shù)學的基礎，是大學應用數(shù)學、信息計算科學和統(tǒng)計分析等專業(yè)的學生的必修課，也是現(xiàn)代科學技術中應用最廣泛的一門課程。數(shù)學分析中幾乎所有的概念都離不開極限。因此，極限的概念是數(shù)學分析中的重要概念，極限的存在性和求極限問題是極限理論的基本問題。在數(shù)學分析教材中，作者詳細介紹了數(shù)列極限、函數(shù)的極限、數(shù)列極限的存在性及其求法以及函數(shù)極限的存在性及其求法等。在該文中，通過引進正則函數(shù)列的概念，給出求數(shù)學分析中一些典型級數(shù)的極限的一種新方法。

關鍵詞：函數(shù)列 ?正則性 ?級數(shù) ?極限

中圖分類號：D11 ? ? ? ? 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）10（c）-0246-02

數(shù)學分析是近代數(shù)學的基礎，是大學應用數(shù)學、信息計算科學和統(tǒng)計分析等專業(yè)的學生的必修課，也是現(xiàn)代科學技術中應用最廣泛的一門課程。數(shù)學分析中幾乎所有的概念都離不開極限。因此，極限的概念是數(shù)學分析中的重要概念，極限的存在性和求極限問題是極限理論的基本問題。在數(shù)學分析教材中，作者詳細介紹了數(shù)列極限、函數(shù)的極限、數(shù)列極限的存在性及其求法以及函數(shù)極限的存在性及其求法等，見文獻[1]。在該文中，通過引進正則函數(shù)列的概念，給出求數(shù)學分析中一些典型級數(shù)的極限的一種新方法。

1 正則函數(shù)列

在這一部分中，我們引進正則函數(shù)列的定義，并且給出函數(shù)列為正則的充分必要條件。

定義1：設是定義上的函數(shù)列，

（1）

是可求和的數(shù)項級數(shù)，其部分和為并且作級數(shù)

（2）

若對于每個，級數(shù)（2）是可求和的，其普通和為，并且當時，向量值函數(shù)收斂于，則稱級數(shù)（1）按函數(shù)列是廣義求和的，稱為級數(shù)（1）關于函數(shù)列的廣義和。

定義2：設由函數(shù)列如上給出一個廣義求和法，若每個可求和的數(shù)項級數(shù)也是按函數(shù)列是廣義求和的，而且廣義和等于普通和，則稱函數(shù)列是正則的。

根據(jù)文獻[2]，可以得到以下結論：

定理1：設是定義在上的函數(shù)列。若函數(shù)列是正則的，則

（1）;

（2）;

反之，若函數(shù)列除了滿足（1），（2）以外還滿足

（3）對任意，存在常數(shù)，使≤，則函數(shù)列是正則的。

定理2：設是定義在上的函數(shù)列。若函數(shù)列是廣義的，則

（1）;

（2）;

反之，若函數(shù)列除了滿足（1），（2）以外還滿足

（3）對任意，存在常數(shù)，使≤，則函數(shù)列是正則的。

2 數(shù)學分析中一些典型級數(shù)的極限

在這一部分中，我們用函數(shù)列的正則性來討論數(shù)學分析中的一些典型級數(shù)的極限。

例1：設，都是數(shù)列，并且滿足

;

（2）;

（3）當時，級數(shù)收斂，當時，級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)當時收斂，并且。

證明：由條件（2）與（3）可證，當時，

級數(shù)收斂。根據(jù)級數(shù)的乘法規(guī)則，我們有

=

如果令，則，

又令，，，則滿足

（1）;

（2）;

（3）對任意，

因此，根據(jù)定理1，函數(shù)列是正則的，

從而

故。

例2：若，則證明

。

證明：的冪級數(shù)展開為，若令，則滿足

（1）;

（2）;

（3）對任意，

因此，由定理2，函數(shù)列是正則的，即

故，

運用函數(shù)列的正則性，我們可以討論類似的很多問題，在這里我們不再一一舉例說明。

參考文獻

[1] 歐陽光中，姚允龍，周淵.數(shù)學分析[M].上海：復旦大學出版社，2011.

[2] 阿布都克里木·阿吉.廣義求和法的幾種推廣[J].新疆大學學報：自然科學版，1993，10（3）：28-35.