宋林

[摘要]初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，多項式的因式分解是很重要的教學(xué)內(nèi)容，這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的好壞，直接關(guān)系著分式、一元二次方程和二次函數(shù)學(xué)習(xí)的好壞.因式分解的方法有很多，主要敘述了幾種常見的方法，以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用能力.

[關(guān)鍵詞]因式分解探究多項式

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2015）110047

學(xué)習(xí)多項式的因式分解，要知道因式分解與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系.整式乘法是把幾個整式相乘，化為一個多項式；而因式分解是把一個多項式化為幾個因式的乘積的形式.這就是說，知道了這種區(qū)別與聯(lián)系，不僅可以知道因式分解的意義，而且可以把整式乘法的過程反過來，從而得到因式分解的一些方法.因式分解的方法有很多，初中數(shù)學(xué)教材主要講了提公因式法和公式法.要徹底學(xué)好因式分解還要掌握一些常見的分解方法.下面介紹幾種常見的因式分解方法.

一、配方法

所謂配方法，就是通過加減項把一個式子的一部分配成完全平方式或幾個完全平方式的和或差的形式，配方法的關(guān)鍵是先配出完全平方式，然后在此基礎(chǔ)上分解因式.

【例1】分解因式a4+3a2+14ab+4-49b2.

解：原式=a4+4a2+4-a2+14ab-49b2=（a2+2）2-（a-7b）2=（a2+2+a-7b）（a2+2-a+7b）.

二、分組分解法

分組分解法適用于四項或四項以上的多項式，分組的基本原則是：（1）分組后可以直接提取公因式；（2）分組后可以直接應(yīng)用公式.

【例2】分解因式a2+a-4b2-2b.

解：原式=（a2-4b2）+（a-2b）=（a+2b）（a-2b）+（a-2b）=（a-2b）（a+2b+1）.

三、拆項變形法

當(dāng)多項式不易直接分解因式時，可考慮將其中的某項拆成幾項的和，拆項的原則是：拆項后有利于提取公因式，或者能運(yùn)用乘法公式等方法分解因式.這種方法指把多項式的某一項拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進(jìn)行變形.

【例3】分解因式a3+4a2+a-6.

解：原式=a3+3a2+a2+3a-2a-6=a2（a+3）+a（a+3）-2（a+3）=（a+3）（a2+a-2）=（a+3）（a+2）（a-1）.

本例也給出了一元三次多項式因式分解的一個基本方法：拆二次項、一次項系數(shù)，使原來的四項變成六項，從高次到低次，每相鄰兩項分為一組，把六項分成三組.拆項的原則是要求三組的系數(shù)比相等，然后這三組用分組分解法進(jìn)行分解.

四、添項變形法

當(dāng)因式分解缺項不能應(yīng)用公式法、十字相乘法等進(jìn)行因式分解時，往往可考慮在分解式中加減一個相同的項，然后再分解.這種加減一個相同項的變形叫做添項變形.

【例4】分解因式4m4+81.

解：原式=4m4+36m2+81-36m2=（2m2+9）2-（6m）2=（2m2+6m+9）（2m2-6m+9）.

五、換元變形法

若多項式中的一些項本身又含有多項式，這種因式分解的過程勢必冗長.對此，?？稍O(shè)輔助未知數(shù)來替代某些多項式，使分解過程得到簡化，以利于分解.把多項式中相同的部分換成另一個未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法.（注意：換元后不要忘記還元）

【例5】分解因式（x2+3x-2）（x2+3x-6）+4.

解：設(shè)y=x2+3x，則原式=（y-2）（y-6）+4=y2-8y+16=（y-4）2=（x2+3x-4）2=（x+4）2（x-1）2.

六、主元素法

這是針對二元多項式或者多元多項式分解因式的一種方法.分解時，先根據(jù)多項式的特點(diǎn)選定某一個字母為主元素，視其他字母為常量，將原式按降冪排列，重新整理成關(guān)于這個字母的多項式，然后進(jìn)行因式分解.

【例6】分解因式m2+4mn+3n2+2m+10n-8.

解：因為這是一個二元二次多項式，所以，不妨設(shè)m為主元素，得

原式=m2+2（2n+1）m+3n2+10n-8=m2+2（2n+1）m+（2n+1）2-（2n+1）2+3n2+10n-8=（m+2n+1）2-n2+6n-9=（m+2n+1）2-（n-3）2=（m+3n-2）（m+n+4）.

上面介紹了在因式分解時比較常用的一些變形方法.由于因式分解的方法有多種，因此變形方法也比較靈活，到底在什么情況下用哪種變形方法，就要根據(jù)分解式的特點(diǎn)而定.有時幾種變形方法可能同時應(yīng)用，對較復(fù)雜的分解式往往要綜合運(yùn)用上述變形方法進(jìn)行變形才能分解.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）