邱愛福

[摘 要]GeoGebra作為新一代的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，很好地傳承并整合了傳統(tǒng)代數(shù)軟件和幾何軟件的優(yōu)點(diǎn)，不僅僅在操作上變得更直接、簡(jiǎn)單、明了，還能更有效地展示數(shù)學(xué)的美和本質(zhì).其強(qiáng)大的功能可以使高中函數(shù)的教學(xué)變得更簡(jiǎn)單和有效.

[關(guān)鍵詞]GeoGebra 函數(shù)教學(xué) 多媒體教學(xué)

GeoGebra是由美國佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter所設(shè)計(jì)的一款結(jié)合幾何、代數(shù)、微積分及統(tǒng)計(jì)的免費(fèi)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，同時(shí)具有處理代數(shù)與幾何的功能.一方面，它是一個(gè)動(dòng)態(tài)的幾何軟件，可以繪制并修改點(diǎn)、直線、線段、多邊形、向量、圓錐曲線及函數(shù);另一方面，它也有處理代數(shù)的能力，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)作微分與積分、求方程的解和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)等功能.它能做到圖形與代數(shù)方程的同步變化，實(shí)現(xiàn)了真正的動(dòng)態(tài)演示.GeoGebra軟件以直線、向量、曲線、函數(shù)等為基本元素，提供了方便的動(dòng)態(tài)演示，顯示和探索軌跡的生成過程，以“動(dòng)態(tài)”為特色，展示代數(shù)與幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境，使原本抽象、枯燥的內(nèi)容變得具體、生動(dòng)、形象，充分展示了數(shù)學(xué)教學(xué)的美.

利用GeoGebra軟件制作直觀鮮明的圖像和動(dòng)態(tài)畫面，可把不常見的、難以理解的內(nèi)容變?yōu)橹庇^的、淺顯的動(dòng)態(tài)感性材料，使學(xué)生既可以看到圖形產(chǎn)生的過程，又真實(shí)地感受數(shù)學(xué)美的過程.這樣有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí) 興趣，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察、思考，從而提高課堂教學(xué)的效率和質(zhì)量.下面我結(jié)合自己對(duì)GeoGebra軟件的研究，重點(diǎn)談?wù)?GeoGebra軟件在高中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用.

一、GeoGebra軟件在對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)圖形對(duì)稱性教學(xué)中的應(yīng)用

GeoGebra的對(duì)數(shù)函數(shù)符號(hào)和國內(nèi)目前所使用的有所差異，如下表：

在GeoGebra中，若輸入y=log（x）代表的是自然對(duì)數(shù)，而常用對(duì)數(shù)是輸入y=lg（x）;若底數(shù)，為其他正數(shù)，則要用換底公式logab= logcblogca ，如輸入y= log（x） log（2）來表示y=log2x.

把y=logax，y=log1ax，y=ax，y=（1a）x 四個(gè)函數(shù)圖像畫在一起，前兩個(gè)圖像對(duì)稱于x軸，后兩個(gè)圖像對(duì)稱于y軸，第一個(gè)與第三個(gè)函數(shù)以及第二個(gè)與第四個(gè)函數(shù)有反函數(shù)關(guān)系，其圖像對(duì)稱于直線y=x.

步驟：（1）設(shè)定數(shù)值滑桿a最?。?.01，最大：10，增量：0.01;（2）輸入y= log（x） log（a）;（3）輸入y= log（x） log（1a） ;（4）輸入y=ax;（5）輸入y=（1a）x; （6）利用在y= log（x）log（a） 上畫出一點(diǎn)A，再用對(duì)稱鈕找出在另三個(gè)圖形上的點(diǎn)A′，A1′，B，拉動(dòng)滑桿看看圖形的變化.如圖1.

圖1

通過這一片段教學(xué)，讓學(xué)生形象直觀地體驗(yàn)y=ax與y=（1a）x 圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，體驗(yàn)y=ax與y=logax圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，體驗(yàn)y=logax與y=log1ax圖像關(guān)于y軸對(duì)稱這三種對(duì)稱，深刻理解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的依賴有對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，從而更加深刻體會(huì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)在的對(duì)稱美.

二、GeoGebra軟件在冪函數(shù)概念教學(xué)中的應(yīng)用

冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型，是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù)，是對(duì)基本初等函數(shù)知識(shí)的更加詳細(xì)的總結(jié)概括，研究?jī)绾瘮?shù)擴(kuò)充和完善了學(xué)生在函數(shù)方面的知識(shí)結(jié)構(gòu).教材把冪函數(shù)安排在指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)之后，在學(xué)習(xí)與探究過程中可體現(xiàn)類比的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)并理解研究基本初等函數(shù)的一般思路.

例如，《冪函數(shù)圖像和性質(zhì)》的教學(xué).步驟：（1）輸入f（x）=x;（2）輸入g（x）=x2;（3）輸入h（x）=x3;（4）輸入s（x）=x12;（5）輸入t（x）= 1x ;（6）利用工具欄中的復(fù)選框，設(shè)置函數(shù)圖像的隱藏按鈕;（7）設(shè)置滑桿α，使α的值從-10逐漸增大至10;（8）輸入f（x）=xα，拖動(dòng)滑桿，觀察冪函數(shù)的圖像變化. 如圖2.

圖2

通過這一片段教學(xué)，我們引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與作圖，觀察圖像形成的過程，分析和總結(jié)圖像的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，并在研究函數(shù)變化的過程中滲透辯證唯物主義的思 想觀點(diǎn).

三、GeoGebra軟件在函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)中的應(yīng)用

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)是高中課程標(biāo)準(zhǔn)新增的內(nèi)容.從表面上看，這一部分內(nèi)容的教學(xué)并不困難，但要讓學(xué)生能夠真正理解，教學(xué)還需要妥善處理其中的一些問題.例如，求函數(shù)h（x）=x2-2x零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般人很容易以紙筆手動(dòng)方式畫出此兩函數(shù)圖像交于兩點(diǎn)的圖形，但要畫出交于三點(diǎn)的情形則遠(yuǎn)超出學(xué)生手工描繪的能力.

步驟：（1）設(shè)定數(shù)值滑桿a，最小：-5，最大：5，增量：0.1，輸入直線型x=a;（2）輸入f（x）=x2;（3）輸入g（x）=2x;（4）另外輸入h（x）=f（x）-g（x）.觀察當(dāng)h（x）和x軸有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即此兩函數(shù)圖形交于3點(diǎn).

圖3

通過這一片段教學(xué)，我們可以利用GeoGebra軟件中數(shù)值滑桿輕松地得到函數(shù)h（x）=x2-2x的零點(diǎn)a、方程x2-2x=0的根和函數(shù)f（x）=x2和g（x）=2x兩個(gè)圖像的交點(diǎn)三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生深刻體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)的問題，方程根的問題與兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問題之間的互相轉(zhuǎn)化，從而加深對(duì)函數(shù)零點(diǎn)概念的理解和掌握.

四、GeoGebra軟件在三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b圖像與性質(zhì)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b的圖像是在學(xué)習(xí)了正、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)之后的一節(jié)內(nèi)容，具有較強(qiáng) 的綜合性.由y=sinx到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）+b的圖像變換過程中，ω、φ、A、b四個(gè)量的不同變化對(duì)圖像的影響是教學(xué)的重點(diǎn).

例如，《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b圖像和性質(zhì)》的教學(xué).步驟：（1）設(shè)置橫向滑桿ω、φ，縱向滑桿A、b;（2）在輸入框在輸入y=A*sin（ωx+φ）+b，即可得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b的圖像;（3）同理，在輸入框中輸入y=sinx，同時(shí)得到函數(shù)y=sinx的圖像.如圖4.

圖4

通過這一片段教學(xué)，我引導(dǎo)學(xué)生參與參數(shù)ω，φ，A，b對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b圖像影響問題進(jìn)行分解的研究，同時(shí)結(jié)合具體函數(shù)圖像的變化，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，特殊到一般的化歸思想，并動(dòng)態(tài)直觀地把圖像變換的本質(zhì)展示給學(xué)生.

五、GeoGebra軟件在導(dǎo)數(shù)定義教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的定義為：設(shè)y=f（x）在點(diǎn)x0的鄰域附近有定義，且當(dāng)自變量在點(diǎn)x0有一增量t（x0+t仍在該鄰域附近）時(shí)，若增量比極限：limΔx→0f（x0+t）-f（x0）t 存在，就稱其值為y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù).由于高中課本并未涉及過多的極限知識(shí)，因此通過理論講授導(dǎo)數(shù)的概念很多學(xué)生是無法接受的.但中學(xué)課本關(guān)于直線斜率問題及切線問題都有詳細(xì)的闡述，因此我們可以利用GeoGebra軟件通過切線斜率問題來解釋導(dǎo)數(shù)的定義.

例如，計(jì)算函數(shù)f（x）=2x3-32x2 在點(diǎn)x=1處的切線斜率.步驟：（1）在命令區(qū)輸入f（x）=2x3- 32x2， 即可作函數(shù)圖像;（2）定義變量x0=1;（3）定義點(diǎn)A=（x0，f（x0））;（4）設(shè)置滑桿，定義函數(shù)在x=1處的增量0≤t≤2;（5）定義點(diǎn)B=（x0+t，f（x0+t））;（6）連接點(diǎn)A、B的割線AB;（7）在命令框中輸入m=f（x0+t）-f（x0）t ，即得割線AB的斜率;（8）通過拖動(dòng)滑桿即可直觀看出割線AB漸變?yōu)榍芯€的過程;（9）通過觀測(cè)代數(shù)區(qū)變量m的值即可得到點(diǎn)B向點(diǎn)A靠近，m值向3靠近，即點(diǎn)A處切線的斜率為3.如圖5.

圖5 通過這一片段教學(xué)，我們可以讓學(xué)生體驗(yàn)和認(rèn)同“有限和無限對(duì)立統(tǒng)一”的辯證觀點(diǎn)，體會(huì)逼近思想在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中的作用，接受用運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問題的方法，進(jìn)而加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解和掌握.

六、GeoGebra軟件在定積分概念教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分就是把區(qū)間[a，b]分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形，對(duì)每個(gè)小曲邊梯形采用“以直代曲”的思想，即用 矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形的面積的近似值，再對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值.可以想象，隨著拆分越來越細(xì)，近似程度就會(huì)越來越大.在近似過程中，通過使用GeoGebra軟件計(jì)算darboux upper sum及darboux lower sum，不論采用哪種方式給學(xué)生演示，只要?jiǎng)澐肿銐蚣?xì)，其結(jié)果最終一定收斂于一個(gè)常數(shù)，此值就是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分.

例如，計(jì)算∫10x2dx，步驟：（1）在命令區(qū)輸入：f（x）=x2，即可得到函數(shù)圖像;（2）設(shè)置滑桿，使n的值從0逐漸增大至100;（3）在命令區(qū)輸入：L=LowerSum[f，0，1，n]，計(jì)算darboux lower sum;（4）在命令區(qū)輸入：U=LowerSum[f，0，1，n]，計(jì)算darboux upper sum;（5）拖動(dòng)滑桿，代數(shù)區(qū)L及U的值將逐漸變化，兩者的差距逐漸越來越小，最終都趨于0.33，即13.如圖6.

圖6

通過這一片段教學(xué)，我們可以主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)曲邊梯形的面積進(jìn)行探求，進(jìn)一步理解求曲邊梯形面積 的四個(gè)步驟——分割、近似代替、求和和取極限，從而感受有限與無限的聯(lián)系和極限的思想在數(shù)學(xué)和實(shí)踐 中的應(yīng)用.

GeoGebra軟件在許多方面有著粉筆與黑板難以替代的獨(dú)特功能和無可比擬的優(yōu)越性，我們制作GeoGebra課件的目的在于讓課堂變得生動(dòng)、讓教學(xué)變得直觀，從而輕松、有效地提高課堂教學(xué)效率.在知識(shí)探索階段，學(xué)生思考解答的同時(shí)，教師可以利用GeoGebra軟件的交互功能，現(xiàn)場(chǎng)操作或演示數(shù)據(jù)與圖像之間的關(guān)系，及時(shí)給予點(diǎn)評(píng)，擴(kuò)大學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)知識(shí)的形成過程.在利用GeoGebra探索數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，學(xué)生已經(jīng)不再是知識(shí)的被動(dòng)接受者，而是知識(shí)的主動(dòng)探索者，問題的行動(dòng)者.在教學(xué)中，GeoGebra軟件的數(shù)形結(jié)合功能使人耳目一新，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，優(yōu)化了高中數(shù)學(xué)的教學(xué)環(huán)境，讓學(xué)生由枯燥、乏味地學(xué)數(shù)學(xué)變成輕松、快樂地學(xué)數(shù)學(xué)，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.