邱愛福

[摘 要]GeoGebra作為新一代的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，很好地傳承并整合了傳統(tǒng)代數(shù)軟件和幾何軟件的優(yōu)點，不僅僅在操作上變得更直接、簡單、明了，還能更有效地展示數(shù)學(xué)的美和本質(zhì).其強大的功能可以使高中函數(shù)的教學(xué)變得更簡單和有效.

[關(guān)鍵詞]GeoGebra 函數(shù)教學(xué) 多媒體教學(xué)

GeoGebra是由美國佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter所設(shè)計的一款結(jié)合幾何、代數(shù)、微積分及統(tǒng)計的免費動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，同時具有處理代數(shù)與幾何的功能.一方面，它是一個動態(tài)的幾何軟件，可以繪制并修改點、直線、線段、多邊形、向量、圓錐曲線及函數(shù);另一方面，它也有處理代數(shù)的能力，可以實現(xiàn)對函數(shù)作微分與積分、求方程的解和數(shù)據(jù)統(tǒng)計等功能.它能做到圖形與代數(shù)方程的同步變化，實現(xiàn)了真正的動態(tài)演示.GeoGebra軟件以直線、向量、曲線、函數(shù)等為基本元素，提供了方便的動態(tài)演示，顯示和探索軌跡的生成過程，以“動態(tài)”為特色，展示代數(shù)與幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境，使原本抽象、枯燥的內(nèi)容變得具體、生動、形象，充分展示了數(shù)學(xué)教學(xué)的美.

利用GeoGebra軟件制作直觀鮮明的圖像和動態(tài)畫面，可把不常見的、難以理解的內(nèi)容變?yōu)橹庇^的、淺顯的動態(tài)感性材料，使學(xué)生既可以看到圖形產(chǎn)生的過程，又真實地感受數(shù)學(xué)美的過程.這樣有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí) 興趣，引導(dǎo)學(xué)生主動觀察、思考，從而提高課堂教學(xué)的效率和質(zhì)量.下面我結(jié)合自己對GeoGebra軟件的研究，重點談?wù)?GeoGebra軟件在高中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用.

一、GeoGebra軟件在對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)圖形對稱性教學(xué)中的應(yīng)用

GeoGebra的對數(shù)函數(shù)符號和國內(nèi)目前所使用的有所差異，如下表：

在GeoGebra中，若輸入y=log（x）代表的是自然對數(shù)，而常用對數(shù)是輸入y=lg（x）;若底數(shù)，為其他正數(shù)，則要用換底公式logab= logcblogca ，如輸入y= log（x） log（2）來表示y=log2x.

把y=logax，y=log1ax，y=ax，y=（1a）x 四個函數(shù)圖像畫在一起，前兩個圖像對稱于x軸，后兩個圖像對稱于y軸，第一個與第三個函數(shù)以及第二個與第四個函數(shù)有反函數(shù)關(guān)系，其圖像對稱于直線y=x.

步驟：（1）設(shè)定數(shù)值滑桿a最?。?.01，最大：10，增量：0.01;（2）輸入y= log（x） log（a）;（3）輸入y= log（x） log（1a） ;（4）輸入y=ax;（5）輸入y=（1a）x; （6）利用在y= log（x）log（a） 上畫出一點A，再用對稱鈕找出在另三個圖形上的點A′，A1′，B，拉動滑桿看看圖形的變化.如圖1.

圖1

通過這一片段教學(xué)，讓學(xué)生形象直觀地體驗y=ax與y=（1a）x 圖像關(guān)于y軸對稱，體驗y=ax與y=logax圖像關(guān)于y=x對稱，體驗y=logax與y=log1ax圖像關(guān)于y軸對稱這三種對稱，深刻理解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的依賴有對立統(tǒng)一的關(guān)系，從而更加深刻體會指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)內(nèi)在的對稱美.

二、GeoGebra軟件在冪函數(shù)概念教學(xué)中的應(yīng)用

冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型，是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù)，是對基本初等函數(shù)知識的更加詳細(xì)的總結(jié)概括，研究冪函數(shù)擴充和完善了學(xué)生在函數(shù)方面的知識結(jié)構(gòu).教材把冪函數(shù)安排在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之后，在學(xué)習(xí)與探究過程中可體現(xiàn)類比的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生進(jìn)一步體會并理解研究基本初等函數(shù)的一般思路.

例如，《冪函數(shù)圖像和性質(zhì)》的教學(xué).步驟：（1）輸入f（x）=x;（2）輸入g（x）=x2;（3）輸入h（x）=x3;（4）輸入s（x）=x12;（5）輸入t（x）= 1x ;（6）利用工具欄中的復(fù)選框，設(shè)置函數(shù)圖像的隱藏按鈕;（7）設(shè)置滑桿α，使α的值從-10逐漸增大至10;（8）輸入f（x）=xα，拖動滑桿，觀察冪函數(shù)的圖像變化. 如圖2.

圖2

通過這一片段教學(xué)，我們引導(dǎo)學(xué)生主動參與作圖，觀察圖像形成的過程，分析和總結(jié)圖像的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，并在研究函數(shù)變化的過程中滲透辯證唯物主義的思 想觀點.

三、GeoGebra軟件在函數(shù)零點教學(xué)中的應(yīng)用

方程的根與函數(shù)的零點是高中課程標(biāo)準(zhǔn)新增的內(nèi)容.從表面上看，這一部分內(nèi)容的教學(xué)并不困難，但要讓學(xué)生能夠真正理解，教學(xué)還需要妥善處理其中的一些問題.例如，求函數(shù)h（x）=x2-2x零點個數(shù)，一般人很容易以紙筆手動方式畫出此兩函數(shù)圖像交于兩點的圖形，但要畫出交于三點的情形則遠(yuǎn)超出學(xué)生手工描繪的能力.

步驟：（1）設(shè)定數(shù)值滑桿a，最?。?5，最大：5，增量：0.1，輸入直線型x=a;（2）輸入f（x）=x2;（3）輸入g（x）=2x;（4）另外輸入h（x）=f（x）-g（x）.觀察當(dāng)h（x）和x軸有3個交點時，即此兩函數(shù)圖形交于3點.

圖3

通過這一片段教學(xué)，我們可以利用GeoGebra軟件中數(shù)值滑桿輕松地得到函數(shù)h（x）=x2-2x的零點a、方程x2-2x=0的根和函數(shù)f（x）=x2和g（x）=2x兩個圖像的交點三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生深刻體會函數(shù)零點的問題，方程根的問題與兩個函數(shù)圖像交點問題之間的互相轉(zhuǎn)化，從而加深對函數(shù)零點概念的理解和掌握.

四、GeoGebra軟件在三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b圖像與性質(zhì)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b的圖像是在學(xué)習(xí)了正、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)之后的一節(jié)內(nèi)容，具有較強 的綜合性.由y=sinx到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）+b的圖像變換過程中，ω、φ、A、b四個量的不同變化對圖像的影響是教學(xué)的重點.

例如，《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b圖像和性質(zhì)》的教學(xué).步驟：（1）設(shè)置橫向滑桿ω、φ，縱向滑桿A、b;（2）在輸入框在輸入y=A*sin（ωx+φ）+b，即可得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b的圖像;（3）同理，在輸入框中輸入y=sinx，同時得到函數(shù)y=sinx的圖像.如圖4.

圖4

通過這一片段教學(xué)，我引導(dǎo)學(xué)生參與參數(shù)ω，φ，A，b對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b圖像影響問題進(jìn)行分解的研究，同時結(jié)合具體函數(shù)圖像的變化，讓學(xué)生領(lǐng)會由簡單到復(fù)雜，特殊到一般的化歸思想，并動態(tài)直觀地把圖像變換的本質(zhì)展示給學(xué)生.

五、GeoGebra軟件在導(dǎo)數(shù)定義教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)的定義為：設(shè)y=f（x）在點x0的鄰域附近有定義，且當(dāng)自變量在點x0有一增量t（x0+t仍在該鄰域附近）時，若增量比極限：limΔx→0f（x0+t）-f（x0）t 存在，就稱其值為y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù).由于高中課本并未涉及過多的極限知識，因此通過理論講授導(dǎo)數(shù)的概念很多學(xué)生是無法接受的.但中學(xué)課本關(guān)于直線斜率問題及切線問題都有詳細(xì)的闡述，因此我們可以利用GeoGebra軟件通過切線斜率問題來解釋導(dǎo)數(shù)的定義.

例如，計算函數(shù)f（x）=2x3-32x2 在點x=1處的切線斜率.步驟：（1）在命令區(qū)輸入f（x）=2x3- 32x2， 即可作函數(shù)圖像;（2）定義變量x0=1;（3）定義點A=（x0，f（x0））;（4）設(shè)置滑桿，定義函數(shù)在x=1處的增量0≤t≤2;（5）定義點B=（x0+t，f（x0+t））;（6）連接點A、B的割線AB;（7）在命令框中輸入m=f（x0+t）-f（x0）t ，即得割線AB的斜率;（8）通過拖動滑桿即可直觀看出割線AB漸變?yōu)榍芯€的過程;（9）通過觀測代數(shù)區(qū)變量m的值即可得到點B向點A靠近，m值向3靠近，即點A處切線的斜率為3.如圖5.

圖5 通過這一片段教學(xué)，我們可以讓學(xué)生體驗和認(rèn)同“有限和無限對立統(tǒng)一”的辯證觀點，體會逼近思想在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中的作用，接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問題的方法，進(jìn)而加深對導(dǎo)數(shù)概念的理解和掌握.

六、GeoGebra軟件在定積分概念教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分就是把區(qū)間[a，b]分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形采用“以直代曲”的思想，即用 矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形的面積的近似值，再對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值.可以想象，隨著拆分越來越細(xì)，近似程度就會越來越大.在近似過程中，通過使用GeoGebra軟件計算darboux upper sum及darboux lower sum，不論采用哪種方式給學(xué)生演示，只要劃分足夠細(xì)，其結(jié)果最終一定收斂于一個常數(shù)，此值就是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分.

例如，計算∫10x2dx，步驟：（1）在命令區(qū)輸入：f（x）=x2，即可得到函數(shù)圖像;（2）設(shè)置滑桿，使n的值從0逐漸增大至100;（3）在命令區(qū)輸入：L=LowerSum[f，0，1，n]，計算darboux lower sum;（4）在命令區(qū)輸入：U=LowerSum[f，0，1，n]，計算darboux upper sum;（5）拖動滑桿，代數(shù)區(qū)L及U的值將逐漸變化，兩者的差距逐漸越來越小，最終都趨于0.33，即13.如圖6.

圖6

通過這一片段教學(xué)，我們可以主動引導(dǎo)學(xué)生對曲邊梯形的面積進(jìn)行探求，進(jìn)一步理解求曲邊梯形面積 的四個步驟——分割、近似代替、求和和取極限，從而感受有限與無限的聯(lián)系和極限的思想在數(shù)學(xué)和實踐 中的應(yīng)用.

GeoGebra軟件在許多方面有著粉筆與黑板難以替代的獨特功能和無可比擬的優(yōu)越性，我們制作GeoGebra課件的目的在于讓課堂變得生動、讓教學(xué)變得直觀，從而輕松、有效地提高課堂教學(xué)效率.在知識探索階段，學(xué)生思考解答的同時，教師可以利用GeoGebra軟件的交互功能，現(xiàn)場操作或演示數(shù)據(jù)與圖像之間的關(guān)系，及時給予點評，擴大學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)知識的形成過程.在利用GeoGebra探索數(shù)學(xué)知識的過程中，學(xué)生已經(jīng)不再是知識的被動接受者，而是知識的主動探索者，問題的行動者.在教學(xué)中，GeoGebra軟件的數(shù)形結(jié)合功能使人耳目一新，極大地調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，優(yōu)化了高中數(shù)學(xué)的教學(xué)環(huán)境，讓學(xué)生由枯燥、乏味地學(xué)數(shù)學(xué)變成輕松、快樂地學(xué)數(shù)學(xué)，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.