馬建

[摘 要]初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的再探究、再發(fā)現(xiàn)、化零為整、通類訓(xùn)練應(yīng)該成為我們關(guān)注的重點(diǎn).結(jié)合對(duì)一類動(dòng)點(diǎn)型中考模擬壓軸題的解法探究，提出了一些解題的感悟.

[關(guān)鍵詞]動(dòng)點(diǎn)背景 壓軸題 根的判別式 數(shù)學(xué)思想

利用運(yùn)動(dòng)的背景設(shè)計(jì)中考?jí)狠S題，早已是當(dāng)下中考命題者關(guān)注的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也是考生感受到的難點(diǎn)和高點(diǎn).隨著課改的深入，各地的中考數(shù)學(xué)模擬試題繁花似錦、精彩紛呈.在近期組織初三學(xué)生復(fù)習(xí)的過程中，本人偶拾一類利用“Δ”來確定動(dòng)點(diǎn)位置的中考模擬壓軸題，在此與各位讀者分享其解法.

[原題呈現(xiàn)]

1.通過動(dòng)點(diǎn)確定直線的位置關(guān)系

【例1】 （2014·如東一模）如圖1所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)B是x軸正半軸上的點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線l垂直于x軸，點(diǎn)C為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，連接AC，過點(diǎn)C作CD⊥AC交直線l于點(diǎn)D，將△BCD沿CD翻折至△ECD的位置，連接AE，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（m，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（n，0）.

（1）用含m，n的代數(shù)式表示點(diǎn)D的坐標(biāo);

（2）當(dāng)A、E、D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求m，n之間的數(shù)量關(guān)系;

（3）若在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中有唯一位置使得AE∥x軸，求m的值.

圖1 ? ?圖2

分析：（1）如圖1所示，由已知條件可求出∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，得到∠3=∠2;再由∠AOC=∠CBD=90°，可得△AOC∽△CBD，即有AOCB=OCBD，代入數(shù)據(jù)得2m-n=nBD ，求出BD=12n（m-n）=mn-n22 ，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，mn-n22）;（2）由翻折關(guān)系可知∠DEC=∠DBC=90°，∠β=∠2，且EC=BC=m-n，故當(dāng)點(diǎn)A、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，可得到∠AEC=∠AOC=90°;再由∠α+∠β=∠ACD=90°，得到∠1=∠α，根據(jù)AAS可證得△AOC ≌△AEC. 故有OC=EC=BC，所以O(shè)B=2OC，即m，n之間的關(guān)系為m=2n;（3）如圖2所示，由AE∥x軸，可得∠1=∠4，所以∠4=∠α，即AE=EC=m-n.過點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，可得四邊形AOFE為矩形，則有EF=AO=2，OF=AE=m-n，CF=|n-（m-n）|=|2n-m|;在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理可得EF2+CF2=EC2，即22+|2n-m|2=（m-n）2，整理得3n2-2mn+4=0，因?yàn)辄c(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過程中要有唯一位置使得AE∥x軸，就是說關(guān)于n的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即Δ=（-2m）2-4×3×4=0，解得符合條件的m的值為23.

點(diǎn)評(píng)：作為一道壓軸題，此題的綜合性較強(qiáng)，用到的知識(shí)點(diǎn)有：相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等;在翻折與點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的背景下，要求找準(zhǔn)線段之間的大小與位置關(guān)系，并根據(jù)題意作出輔助線，建立有關(guān)變量的方程模型;解題的關(guān)鍵是對(duì)于“動(dòng)點(diǎn)C有唯一位置”的理解，即n有唯一值，從而利用關(guān)于n的二次方程中“Δ=0”，即“方程有兩個(gè)相等的根”輕松破題.

2.通過動(dòng)點(diǎn)確定圖形面積的關(guān)系

【例2】 （2012·如皋一模）如圖3所示，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（6，1），C（0，-2），與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).點(diǎn)P（m，n）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且0（1）求拋物線的解析式.

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，問點(diǎn)P在何處時(shí)，線段PQ最長，最長為多少

（3）設(shè)四邊形OPDC的面積為S.當(dāng)S取何值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P只有一個(gè) 當(dāng)S取何值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)

圖3 ? ?圖4 ? 圖5

分析：（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式為y=-12x2+72x-2 ;（2）由題意可求得直線BC的解析式為y=12x-2 ;因?yàn)辄c(diǎn)P（m，n）在拋物線上，所以P（m，-12m2+72m-2）;如圖4所示，故Q（m，12m-2），所以PQ=（-12m2+72m-2）- （-12m-2）= -12m2+3m ，配方得PQ=-12（m-3）2+92 ，所以當(dāng)m=3時(shí)，PQ最大=92，此時(shí)求得P（3，4）;（3）由y=12x-2可求得D（4，0）;由y=-12x2+72x-2 可求得E（7-332，0）.根據(jù)題意可知四邊形OPDC的頂點(diǎn)P只能在x軸的上方，所以點(diǎn)P在拋物線EB部分段上（不包括E、B兩點(diǎn)），因此S四邊形OPCD=S△OPD+S△OCD=12OD·|yP|+12OD·OC =12×4×（-12m2+72m-2）+12×4×2 ，整理得S=-m2+7m（7-332

3.通過動(dòng)點(diǎn)確定角度相等的關(guān)系

【例3】 （2015·南通模擬）如圖6所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為B（1，0）、A（-3，0），交y軸于點(diǎn)D，過頂點(diǎn)C（-1，4）作軸CH⊥x于點(diǎn)H.

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQ⊥AC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）若點(diǎn)M為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段CA上（與點(diǎn)C、A不重合），點(diǎn)F（n，0）是射線AB上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAC=∠FEM=∠ACM.探究：n在什么范圍內(nèi)，符合條件的點(diǎn)E有2個(gè)

圖6 ? 圖7 ? ? ?圖8 ? 圖9 分析：（1）由題意設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4，將點(diǎn)A（-3，0）代入解得a=-1，所以拋物線的解析式為y=-（x+1）2+4，即y=-x2-2x+3;（2）由題意可知H（-1，0）.①若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)，如圖7所示.此時(shí)有∠QCP>∠ACH，故要使兩個(gè)三角形相似，只能是△PCQ∽△CAH，因此得到∠QCP=∠α;延長CP交x軸于點(diǎn)G，則CG=AG，設(shè)G（g，0），所以（g+1）2+42=g+3，解得G（2，0），從而可求得直線CG的解析式為y=-43x+83 ，由 y=-43x+83

y=-x2-2x+3 ，解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（13，209）;②若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)，如圖8所示.此時(shí)只能是△PCQ∽△ACH，即有∠PCQ=∠ACH;過點(diǎn)A作CA的垂線交CP的延長線于點(diǎn)R，作RS⊥x軸，垂足為S;由△CRA∽△CAH得CAAR=CHHA=42=2 ，由△AHC∽△RSA得AHRS=CHAS=CAAR=2 ，可求RS=1，AS=2，所以R（-5，1），進(jìn)而可求得直線CR的解析式為y= 34x+194 .再由y=34x+194

y=-x2-2x+3 解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-74，5516）.綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P為（13，209）或（-74，5516）;（3）由（2）可知點(diǎn)M與點(diǎn)P（13，209）重合，如圖9所示.過點(diǎn)M作MK⊥CH，垂足為點(diǎn)K，則K（-1，209），在Rt△CKM和Rt△AHC中，由勾股定理可分別求得CM=209，AC=25;設(shè)AE=x，由∠α=∠FEM=∠ACM，可得∠β=∠γ，所以△CME∽△AEF，即CMAE=CEAF ，所以209 x= 25-xn-（-3） ，整理得x2-

25x+209（n+3） =0 ，因?yàn)辄c(diǎn)E要有2個(gè)，所以x要有兩個(gè)不相等的值，故Δ=20-809（n+3）>0 ，解得n<-34，所以n的取值范圍為-3點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要有：利用待定系數(shù)法求直線的方程、直角三角形與相似三角形的性質(zhì)、交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等.解題的關(guān)鍵為：第（2）小題要注意分類討論，并排除不符合題意的情形，根據(jù)相似三角形的條件構(gòu)造圖形將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用點(diǎn)的坐標(biāo)解決問題;第（3）小題要善于運(yùn)用第（2）小題的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)相似的基本圖形，將“符合條件的點(diǎn)E有2個(gè)”這一條件轉(zhuǎn)化為“關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”來理解，對(duì)已知信息和衍生信息要有效整合與應(yīng)用.

[解題感悟]

問題是數(shù)學(xué)的心臟，思想是數(shù)學(xué)的精髓.解決動(dòng)態(tài)問題的關(guān)鍵是“化動(dòng)為靜”，將運(yùn)動(dòng)的幾何元素當(dāng)作靜止來加以解答，能在相對(duì)靜止的瞬間發(fā)現(xiàn)圖形變換前后各種量之間的關(guān)系，通過歸納與計(jì)算得出結(jié)論.感悟如下.

首先，例1和例3均帶有動(dòng)點(diǎn)背景，編造的問題側(cè)重于從定性分析到定量探究.通過對(duì)運(yùn)動(dòng)問題的拓展、變式，要求學(xué)生把數(shù)與形結(jié)合起來考慮、斟酌，分析其特征性質(zhì)，把圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來求解.三個(gè)例題，雖然呈現(xiàn)方式不同，數(shù)據(jù)各異，但透過現(xiàn)象看本質(zhì)，即無論是確定線段的位置關(guān)系，還是確定圖形的面積關(guān)系，抑或是確定角度的等量關(guān)系，用到的解題思想有：數(shù)形結(jié)合、分類討論、構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等，最終都可以通過建立方程模型，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的判別式來求解，從而把復(fù)雜的問題簡單化、抽象的問題具體化.

其次，解題教學(xué)的本質(zhì)其實(shí)就是引導(dǎo)學(xué)生去探尋和挖掘隱藏在問題背景中的思路，搞清一類問題的來龍去脈，通過對(duì)問題進(jìn)行延伸與衍變，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)現(xiàn)“變”中不變的實(shí)質(zhì)，從而概括數(shù)學(xué)思想方法，揭示問題變化的內(nèi)在規(guī)律.站在理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵的高度看，一題多解、多題歸一，解決一類、總結(jié)一類、打通一類，不但可以輕松求解，避免“題海戰(zhàn)術(shù)”的痛苦，更重要的是優(yōu)化了解題思路，讓學(xué)生觸類旁通、舉一反三，使思路有效生成，從根本上突破了囿于問題的認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生解決問題的能力;站在研究命題的角度看，例題中的問題環(huán)境是“老”的，而解決方法是“新”的，此所謂“老瓶裝新酒”，分析和總結(jié)這類問題的解法，對(duì)于研判未來中考命題的趨勢和方向可起到“窺斑見豹”的作用，在一定程度上對(duì)借鑒復(fù)習(xí)策略和積累復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)具有明顯的指導(dǎo)意義.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]楊九詮，李鐵安.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）案例式解讀·初中數(shù)學(xué)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2012.

[2]李鵬.復(fù)習(xí)課教學(xué)模式的探究與實(shí)踐[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2014（12）：1-2.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）