楊忠林 侯新國 歐陽華

【摘要】連續(xù)信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系是“數(shù)字信號處理”、“信號與系統(tǒng)”等課程的重點和難點之一，本文分析了連續(xù)信號轉(zhuǎn)化為離散信號的過程，并在此基礎(chǔ)上，推到了連續(xù)信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系，降低了學(xué)生理解的難度，提高了教學(xué)質(zhì)量，取得了較好的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】連續(xù)信號 ?離散信號 ?頻譜 ?數(shù)字信號處理

【Abstract】 The relationship between the continuous signal spectrum and the discrete signal spectrum is the one of the important and difficult points in “Digital Signal Processing” course and “Signals and Systems” course. In this paper， the transformation process from the continuous signals into the discrete signal was analyzed. And on this basis， the relationship between the continuous signal spectrum and the discrete signal spectrum was deduced， which reduce the difficulty of understanding of students and improve the quality of teaching， so good teaching effect was achieved.

【Keywords】 Continuous Signal; Discrete Signal; Spectrum; Digital Signal Processing

【中圖分類號】G64 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）08-0209-02

離散信號可以由連續(xù)信號經(jīng)過采樣得到[1-4]，而這兩者之間的關(guān)系是在《信號與系統(tǒng)》、《數(shù)字信號處理》等課程中非常重要的內(nèi)容，然而學(xué)生往往難以理解連續(xù)信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系。本文通過分析連續(xù)信號轉(zhuǎn)化為離散信號的過程，推導(dǎo)每一步信號頻譜的變換過程，使得學(xué)生容易理解兩者頻譜的關(guān)系。

一、連續(xù)信號離散化的過程

連續(xù)信號到離散信號的轉(zhuǎn)換如圖1（a）所示[5，6]。

圖1 連續(xù)信號到離散信號的轉(zhuǎn)換過程

由圖1可知，連續(xù)信號到離散信號的轉(zhuǎn)化過程可分為以下兩個步驟：

1.連續(xù)信號到采樣信號

連續(xù)信號xc（t）（如圖1（b）所示）與采樣脈沖信號s（t）=δT（t）=■ δ（t-nT）（如圖1（c）所示）相乘，得到采樣信號xs（t），根據(jù)沖激信號的“篩選特性”，xs（t）可以表示為

xs（t）=xc（t）·s（t）=■xc（nT）δ（t-nT） ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

采樣信號如圖1（d）所示，即采樣信號是一系列沖激信號的疊加，這些沖激信號的強度等于連續(xù)信號在采樣時刻的函數(shù)值。

2. 采樣信號到離散信號

采樣信號經(jīng)過沖激串到離散時間序列的轉(zhuǎn)換模塊后，將信號轉(zhuǎn)化所需要的離散信號x（n），即轉(zhuǎn)化成為僅在一系列離散時間點取值的信號。

x（n）=xc（t）|t=NT=xc（nT） ? ? ? ? ? ? ?（2）

在以上連續(xù)信號到離散信號的轉(zhuǎn)化過程中涉及到連續(xù)信號xc（t）、采樣信號xs（t）以及離散信號x（n）。它們之間在時域的關(guān)系比較清楚，學(xué)生很容易理解。但這三者在頻域的關(guān)系較為復(fù)雜，下面我們重點分析這三個信號頻譜的對應(yīng)關(guān)系。

需要注意的是：采樣信號xs（t）仍然是連續(xù)信號，應(yīng)該通過連續(xù)信號的傅里葉變換（CTFT）求其頻譜。離散信號x（n）的頻譜可由其離散序列傅里葉變換（DTFT）求得。

二、連續(xù)信號離散化前后信號頻譜的關(guān)系

直接推導(dǎo)連續(xù)信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系比較困難，下面我們借助采樣信號這個橋梁，分別推導(dǎo)其頻譜與連續(xù)信號頻譜和離散信號頻譜的關(guān)系，再在這個基礎(chǔ)上，推導(dǎo)連續(xù)信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系。

1.連續(xù)信號頻譜與采樣信號頻譜的關(guān)系

假設(shè)連續(xù)信號xc（t）的頻譜記為Xc（jΩ），采樣信號xs（t）的頻譜記為Xs（jΩ），離散信號x（n）的頻譜記為X（ejω）。采樣脈沖信號s（t）可由下式得到

S（jΩ）=■■ ?δ（Ω-kΩs）| ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

其中Ωs為采樣角頻率，可由下式求得

Ωs= ■ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

根據(jù)CTFT的卷積特性，由（1）式的前一個等式可得采樣信號的頻譜

Xs（jΩ）= ■Xc（jΩ）*S（jΩ）=■■ ? Xc（jΩ-jkΩs） ? ? （5）

由（5）式可以看到，采樣信號頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，周期是采樣角頻率Ωs，幅度受1/T加權(quán)。

2.采樣信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系

由于單位沖激信號δ（t）的頻譜為常數(shù)1，根據(jù)CTFT的時移特性和線性性質(zhì)，由（1）式的后一個等式可得采樣信號頻譜的另一種表達形式

Xs（jΩ）=■Xc（nT）e-jΩnT=■Xc（n）e-jΩnT ? ? ? ? ? ? ?（6）

而根據(jù)DTFT的定義可得離散信號x（n）的頻譜為

X（ejω）=■X（n）e-jωn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

對比（6）式與（7）式可得采樣信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系

X（ejω）|ω=ΩT=Xs（jΩ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

由（5）式可以看到，離散信號的頻譜可由采樣信號的頻譜在頻率軸上進行尺度變換而得到。兩個頻譜的變換規(guī)律是一致的。因此，在一些教材中，用采樣信號的頻譜代替離散信號的頻譜去分析連續(xù)信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系[7，8]。

3.連續(xù)信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系

結(jié)合（5）式和（8）式可知連續(xù)信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系為

X（ejω）|ω=ΩT=Xs（jΩ）=■■ ? Xc（jΩ-jkΩs） ? ? ? ? ? ? （9）

由（9）式可知，連續(xù)信號頻譜到離散信號頻譜的變化過程如圖2所示。這個過程可以分為兩步：首先，對連續(xù)信號的頻譜進行周期延拓，得到采樣信號的頻譜;其次，在對采樣信號的頻譜在頻率軸上進行尺度變換，得離散信號的頻譜。

圖2 連續(xù)信號頻譜到離散信號頻譜的變化過程

三、模擬頻率與數(shù)字頻率的關(guān)系

前面的過程不僅推導(dǎo)了連續(xù)信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系，而且推導(dǎo)了模擬頻率Ω與數(shù)字頻率ω的關(guān)系。由（8）式可知連續(xù)頻率與離散頻率的關(guān)系為

ω=ΩT=2π■ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（10）

由（10）可知，模擬頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間具有線性關(guān)系，數(shù)字頻率是模擬頻率對采樣頻率的歸一化值，它代表了離散信號值變化的速率。所以它只有相對的時間意義（相對于采樣周期T），而沒有絕對時間和頻率的意義。模擬頻率f、模擬角頻率Ω以及數(shù)字頻率ω的對應(yīng)關(guān)系如圖3所示。

圖3 模擬頻率與數(shù)字頻率的對應(yīng)關(guān)系

四、結(jié)論

在《數(shù)字信號處理》、《信號與系統(tǒng)》等課程中，連續(xù)信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系是一個非常重要的知識點，本文根據(jù)連續(xù)信號到離散信號的轉(zhuǎn)化過程，借助采樣信號這橋梁，詳細推到了連續(xù)信號頻譜與離散信號頻譜的關(guān)系，并同時推導(dǎo)了模擬頻率Ω與數(shù)字頻率ω的關(guān)系，使得學(xué)生對于連續(xù)信號到離散信號的轉(zhuǎn)化過程中，信號頻譜的變化規(guī)律有了更加直觀的理解，取得了較好的教學(xué)效果。

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