王海鵬 叢瑜 王萌
摘要:《數(shù)字信號(hào)處理》這門(mén)課程中,概念多,公式復(fù)雜,許多難點(diǎn)問(wèn)題成為了學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的絆腳石,如線性卷積、周期卷積和圓周卷積的概念,三種傅里葉變換的概念及相互之間的關(guān)系等。本文在具備大量教學(xué)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上,針對(duì)難點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行解析,讓學(xué)生能夠理清思路,撥開(kāi)云霧,以此激發(fā)學(xué)生的積極性。
關(guān)鍵詞:數(shù)字信號(hào)處理; 卷積; 傅里葉變換
中圖分類(lèi)號(hào):G434文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):2095-9214(2016)12-0083-02
數(shù)字信號(hào)處理[1]作為信息處理、電子工程等專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程,有很強(qiáng)的理論性和實(shí)踐性,對(duì)于學(xué)生從事電子類(lèi)的工作和繼續(xù)深造電子信息類(lèi)專(zhuān)業(yè),都有不可低估的基石作用。但是由于這門(mén)課程公式繁雜、理論性強(qiáng)、很抽象,所以學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中顯得有些力不從心。為了能夠解決學(xué)生在學(xué)習(xí)中普遍遇到的一些難點(diǎn)問(wèn)題,本文做了詳細(xì)的解析。
一、線性卷積、周期卷積和圓周卷積
卷積[2]是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的一種重要運(yùn)算,也是信號(hào)處理中的一個(gè)重要理論。在線性系統(tǒng)中,如果輸入信號(hào)是x(n),系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是h(n),則輸出信號(hào)為x(n)和h(n)的卷積。卷積描述了信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后的變換,反映了線性時(shí)不變系統(tǒng)中輸入和輸出的關(guān)系,但是在數(shù)字信號(hào)處理中出現(xiàn)了三種卷積,線性卷積、周期卷積和圓周卷積,這三種卷積往往使學(xué)生感到很迷惑,容易混淆。
線性卷積:y(n)=x(n)h(n),x(n)的長(zhǎng)度為N1,h(n)的長(zhǎng)度為N2;
周期卷積:(n)=(n)(n),(n)和(n) 的周期為N ;
圓周卷積:y(n)=x(n)h(n),x(n) 和 h(n)的長(zhǎng)度均為N,不足者補(bǔ)零。
首先三種卷積針對(duì)的對(duì)象不同,線性卷積針對(duì)的序列x(n)和h(n)是任意的兩個(gè)序列,而周期卷積針對(duì)的是兩個(gè)周期序列和,而且周期同樣都為N。圓周卷積針對(duì)的對(duì)象是有限長(zhǎng)序列(n) 和(n),而且圓周卷積和周期卷積沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別,它和周期卷積的過(guò)程是一樣的,只不過(guò)結(jié)果只取了主值區(qū)間而已。其次三種卷積后的序列的長(zhǎng)度有所不同。假設(shè)輸入序列x(n) 的長(zhǎng)度為 N1,h(n)的長(zhǎng)度為N2,則線性卷積后序列的長(zhǎng)度L為N1+N2-1。周期卷積后的序列依然是一個(gè)周期序列,而且周期跟輸入序列的周期一樣都為N。圓周卷積后序列的長(zhǎng)度也為N,注意這里的N是周期序列的周期,N可能大于L,也可能小于L。當(dāng)N≥L時(shí),線性卷積和圓周卷積的結(jié)果是一樣的,當(dāng)N≤L時(shí),N點(diǎn)的圓周卷積是線性卷積的結(jié)果以N點(diǎn)為周期的周期延拓序列的主值序列。如果學(xué)生能夠從這兩個(gè)方面對(duì)三種卷積進(jìn)行比較的進(jìn)行學(xué)習(xí),將會(huì)使得對(duì)問(wèn)題的理解更容易些。
二、離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)、離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)和離散傅里葉變換(DFT)
在教學(xué)過(guò)程中,需要對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)的是,本門(mén)課程的重點(diǎn)是離散傅里葉變換。DTFT和DFS實(shí)際上是學(xué)習(xí)DFT之前的預(yù)備知識(shí),DFT才是數(shù)字信號(hào)處理的核心知識(shí)。所以在學(xué)習(xí)過(guò)程中,一定要遵循既要相互區(qū)別又要相互聯(lián)系的學(xué)習(xí)方法,才能真正地理解所學(xué)知識(shí)點(diǎn)[3]。
傅里葉變換是法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家傅里葉在1807年發(fā)表了一篇論文,提出任何連續(xù)周期信號(hào)的都可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成,從而開(kāi)辟了分析信號(hào)的另一個(gè)領(lǐng)域——頻域。傅里葉變換顯然是時(shí)域和頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系,在理解DTFT、DFS和DFT時(shí),顯然要弄清楚這三種變換在時(shí)域和頻域的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。
首先在時(shí)域上,離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)的研究對(duì)象是任意一個(gè)序列,例如正弦序列,離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)研究的對(duì)象是周期序列,如復(fù)指數(shù)序列ejωn,而離散傅里葉變換(DFT)的研究對(duì)象是有限長(zhǎng)的序列,如矩形序列RN(n)。
其次在頻域上,離散時(shí)間傅里葉變換的頻譜是連續(xù)且周期的函數(shù),周期為2π。傅里葉技術(shù)的頻譜是離散且周期的函數(shù),周期為N。離散傅里葉變換的頻譜是離散且非周期的,長(zhǎng)度為N。
在區(qū)別DFS和DFT的時(shí)候,一定要記住,DFS和DFT沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別,DFT只不過(guò)是時(shí)域和頻域均取了一個(gè)周期的值而已。在DTFT和DFT的區(qū)別中,DFT是DTFT進(jìn)行離散化后的取值。
三、z變換、拉普拉斯變換和離散時(shí)間傅里葉變換
z變換在離散時(shí)間系統(tǒng)中的作用如同拉普拉斯變換在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的作用一樣,它把描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)方程,使得求解大大的簡(jiǎn)化。由于數(shù)字信號(hào)是又連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣得到的,故數(shù)字信號(hào)的z變換與被采樣的連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換有密切關(guān)系。
學(xué)生往往對(duì)這三種變換之間的關(guān)系容易混淆,故將此關(guān)系進(jìn)行梳理,找到相互聯(lián)系的關(guān)鍵點(diǎn),才能很好的進(jìn)行理解。首先由表1看出,三種變換的研究對(duì)象分別為x(n)、x(t)和x(n),這三種信號(hào)的關(guān)系是理解三種關(guān)系的關(guān)鍵,即x(n) 是由x(t)采樣得到的,在采樣點(diǎn)上,x(n)和x(t)的數(shù)值是一樣的。通過(guò)s平面到z平面的映射關(guān)系為紐帶,并由奈奎斯特定理可知,得到x(n)的z變換和被采樣信號(hào)x(t)的拉普拉斯變換之間的關(guān)系式為X(z)z = esT = 1T∑∞k = -∞Xa (s-j2πTk)。由該式可以看出,時(shí)域的抽樣導(dǎo)致了頻域的周期延拓,z變換中蘊(yùn)含著周期性。
由表1第二列的關(guān)系式 z=ejω可以看出,序列在單位圓上的z變換,就是序列的離散時(shí)間傅里葉變換。
四、高密度譜和高分辨譜[4]
在分析數(shù)字信號(hào)的頻譜時(shí),我們往往很關(guān)心信號(hào)的頻率分辨力,對(duì)于信號(hào)x(n),n1≤n≤n2,信號(hào)的長(zhǎng)度為T(mén)0,如果想提高信號(hào)的頻率分辨力,必須增加信號(hào)的有效長(zhǎng)度,使得信號(hào)的長(zhǎng)度 TT0,如果通過(guò)在信號(hào)x(n)后補(bǔ)零來(lái)增加信號(hào)的長(zhǎng)度,是不會(huì)增加頻率分辨力的。這個(gè)問(wèn)題給歷屆學(xué)生帶來(lái)過(guò)困惑,很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為,補(bǔ)零后增加了信號(hào)的長(zhǎng)度,也就提高了信號(hào)的頻率分辨力,這其實(shí)是錯(cuò)誤的。補(bǔ)零后只會(huì)使得信號(hào)的譜線更加平滑,即得到高密度譜,而不會(huì)增加信號(hào)的任何信息,從而不會(huì)提高頻率分辨力。
圖(d)和(e)只顯示了一個(gè)峰值,(e)較(d)更平滑,即補(bǔ)零使得譜線顯得更加平滑,消除了柵欄效應(yīng),但是無(wú)法分辨出更多的譜線。(f)中則出現(xiàn)了兩條譜線,即能夠?qū)⑿盘?hào)中的兩個(gè)頻率成分分辨出來(lái),從而說(shuō)明增加信號(hào)的有效長(zhǎng)度,能夠提高信號(hào)的頻率分辨力。
結(jié)束語(yǔ)
本文所述四個(gè)問(wèn)題,均為上課過(guò)程中學(xué)生所普遍遇到的難點(diǎn)問(wèn)題,這些問(wèn)題如同前進(jìn)大道上的溝溝坎坎,容易讓學(xué)生陷進(jìn)去出不來(lái),如果能夠?qū)⑦@些問(wèn)題迎刃而解,在學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理這門(mén)課的過(guò)程中,思路將更加清晰明了,不僅能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力,而且能激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造力。
(作者單位:海軍航空工程學(xué)院信息融合研究所)
參考文獻(xiàn):
[1]程佩青.數(shù)字信號(hào)處理教程(第四版).清華大學(xué)出版社,2013.08.
[2]于家誠(chéng).數(shù)字信號(hào)處理課程教學(xué)中需要解決的幾大關(guān)系.合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009.05,第27卷第3期
[3]耶曉東.數(shù)字信號(hào)處理課程興趣教學(xué)法初探.高教論壇,2011.01第一期.
[4]栗學(xué)麗,劉琚.數(shù)字信號(hào)處理_教學(xué)中易混淆的問(wèn)題討論.電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào),2009.08,第31卷第4期