孫文鑫

（重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)部，重慶永川 402160）

基于雙論域的一般多粒度模糊粗糙集

孫文鑫

（重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)部，重慶永川 402160）

首先定義了各論域上的支撐函數(shù)；其次通過支撐函數(shù)分別給出了不同論域一般多粒度模糊下上近似算子的定義，建立了雙論域的一般多粒度模糊粗糙集模型；此外，還討論了各近似算子的性質(zhì)．

粗糙集；多粒度；雙論域

由Z．Pawlak在1982年提出的粗糙集理論［1］是一種處理不確定性的數(shù)學工具［2］．如今，它已成功的應(yīng)用到了各個領(lǐng)域，如模式識別［3］、數(shù)據(jù)挖掘［4］等．而由Zadeh提出的模糊集理論也是一種處理不確定性問題的數(shù)學工具，然而這兩種數(shù)學理論處理的不確定性問題是完全不同的，因此一些研究者便將Pawlak粗糙集理論和模糊集理論結(jié)合起來提出了模糊粗糙集模型和粗糙模糊集模型［5，6］．

粗糙集研究的另一方面還集中在粒計算上．Zadeh在1979年首先提出了粒計算的概念并討論了模糊信息粒度［7］．Hobbs在1985年提出了粒的概念［8］．從粒計算的觀點來看，經(jīng)典的Pawlak粗糙集模型可以視為是基于一個粒度（等價關(guān)系）的粗糙集模型，當由多個粒度來劃分論域時，便會出現(xiàn)如下情況：

情形1：至少存在一個粒度使得該元素一定屬于刻畫的概念；

情形2：至少存在一個粒度使得該元素可能屬于刻畫的概念；

情形3：存在某些粒度使得該元素一定屬于刻畫的概念；

情形4：存在某些粒度使得該元素可能屬于刻畫的概念；

情形5：所有的粒度都使得該元素一定屬于刻畫的概念；

情形6：所有的粒度都使得該元素可能屬于刻畫的概念；

從上述情形出發(fā)，一些研究者已經(jīng)將粗糙集模型推廣到了多粒度粗糙集模型．為了將多粒度粗糙集模型更好的應(yīng)用到實際問題中，文獻［9］提出了基于等價關(guān)系的多粒度粗糙集模型．

1 基于雙論域的模糊粗糙集

下面將介紹一些必備的理論知識［10］。

定義1設(shè)u和V是兩個非空論域，若R是u×V上的子集，則稱R是從論域u到論域V上的一個二元關(guān)系．

定義2稱三元組（u，V，R）為一般的近似空間，其中u和V是兩個非空的有限集稱為論域，R是u×V上的任意一個二元關(guān)系．

定義3設(shè)（u，V，R）是一般的近似空間，分別定義兩個算子Rs：U｜→P（V）Rp：V｜→P（U）稱Rs（x）為x對于關(guān)系R的后繼領(lǐng)域，Rp（y）為y對于關(guān)系R的前繼領(lǐng)域．

定義4設(shè)（U，V，R）是一個一般的近似空間，對于任意的模糊集A∈F（U），B∈F（V），分別定義論域U，V上的兩個近似算子如下：

則分別稱RU（A）和RU（A）為論域U上模糊集A的下近似和上近似，而別稱為論域V上模糊集B的下近似和上近似．

2 基于雙論域的一般多粒度模糊粗糙集

介紹雙論域上的一般多粒度模糊粗糙集．

定義5設(shè)U，V是兩個不同的非空論域，是上的個不同的二元關(guān)系，對于x∈U，y∈V，分別定義

分別稱SRi（y）為y在關(guān)系Ri的支撐函數(shù)，SRi（x）為x在關(guān)系Ri的支撐函數(shù)．

定義6設(shè)U，V是兩個不同的非空論域，是上的個不同的二元關(guān)系，對于任意的β∈（0．5，1］，A∈F（U），定義

根據(jù)論域u上一般多粒度模糊粗糙集下上近似算子的定義可得到以下性質(zhì)．

性質(zhì)1設(shè)u，V是兩個不同的非空論域，Ri（i＝1，…，m）是u×V上的m個不同二元關(guān)系，對于任意的β∈（0．5，1］，A，A*∈F（u），則有以下性質(zhì)成立。

證明：（1）對于任意的，有

（2）如果A?A*，則對于任意的y∈V，有A（y）≤A*（y）．故

同理可證得性質(zhì)成立．

（3）對于任意的y∈V，有

（4）對于任意的y∈V，有（A∩A*）（y）≤A（y）且（A∩A*）（y）≤A*（y）。根據(jù)性質(zhì)（2），故性質(zhì)成立．

同理可證得性質(zhì)（5）和（6）成立．

定義7設(shè)U，V是兩個不同的非空論域，Ri（i＝1，…，m）是u×V上的m個不同的二元關(guān)系，對于任意的β∈（0．5，1］，B∈F（V），定義

稱分別為論域V上模糊集B的一般多粒度粗糙模糊下近似和上近似．如果，則稱B是論域V上的一般多粒度模糊可定義的，否則稱B是論域V上的一般多粒度模糊粗糙的．

性質(zhì)2設(shè)u，V是兩個不同的非空論域，Ri（i＝1，…，m）是u×V的m個不同的二元關(guān)系，對于任意的β∈（0．5，1］，B，B*∈F（V），則有以下性質(zhì)成立．

證明：證明過程類似于性質(zhì)1的證明過程．

3 結(jié) 論

將雙論域上的模糊粗糙集和粒計算理論結(jié)合起來建立了雙論域上的一般多粒度模糊粗糙集模型．為了更好的建立模型，定義了各論域上的支撐函數(shù)，并討論研究了各論域上近似算子的性質(zhì)．研究為雙論域上多粒度的研究奠定了理論基礎(chǔ)．

［1］PAWLAK Z．International Journal of Computer and Information Sciences［J］．Rough Sets 1982（11）：341-356

［2］代春艷．粗糙集理論及其應(yīng)用發(fā)展綜述［J］．重慶工商大學學報：自然科學版，2004，21（6）：575-579

［3］ANAN V S，NARASU M M，SUBR D K．Tree Structure for Efficient Data Mining Using Rough Sets［J］．Pattern Recognition Letter，2003（24）：851-862

［4］CHAN C C，A Rough Set Approach to Attribute Generalization in Data Mining［J］．Information Sciences，1998（107）：169-176

［5］DUBIOS D，PRADE H，Rough Fuzzy Sets and Fuzzy Rough Sets［J］．International Journal of General Systems，1990（17）：191-209

［6］CHEN D G，ZHAO S Y．LocalReduction of Decision System with Fuzzy Rough Sets［J］．Fuzzy Sets and Systems，2010（161）：1871-1883

［7］ZADEH L A．Fuzzy Sets and Information Granularity［J］．Advances in Fuzzy Set Theory and Application，North Holland Publishing，1979（60）：1211-1214

［8］HOBBS J R．Granularity Proc of Ijcal［J］．Los Angeles，1985（18）：432-435．

［9］QIAN Y H，LIANG Y．A Multi-granulation Rough Set［J］．Information Sciences，2010（180）：949-970

［10］XU W H，SUN W X．Fuzzy Rough Set Models Over Two Universes［J］．International Journal of Machine Learning and Cybernetics，2013（4）：631-645

Generalized Multi-granulation Fuzzy Rough Set Based on Two Universes

SUN Wen-xing

（Chongqing Water Resources and Electric Engineering College Chongqing，402160，China）

Firstly，this paper defines the support function of the universes，with which the approximation operators of the generalized multi-granulation fuzzy rough set is defined，and then generalized multi-granulation fuzzy rough set based on two universes model is constructed．In addition，the properties of the approximation operators are discussed．

Rough set；multi-granulation；two universes

O380

A

1672－058X（2015）03－0012－04

10．16055／j．issn．1672－058X．2015．0003．003

2014－09－01；

2014－10－12．

孫文鑫（1988－），女，河南焦作人，碩士研究生，從事粗糙集和模糊集的研究．