張夏葦
(廈門理工學院應(yīng)用數(shù)學學院,福建 廈門 361024)
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多?;植诩再|(zhì)的幾個充分條件
張夏葦
(廈門理工學院應(yīng)用數(shù)學學院,福建 廈門 361024)
多?;植诩荘awlak粗糙集非常重要的一種推廣,主要給出當X是C(C′)中任意有限個元素的并集時,樂觀多?;植诩?悲觀多?;植诩?上下近似對于交并運算的封閉性;得到若X是C′中任意有限個元素的并集,樂觀多?;植诩捅^多?;植诩陆葡嗟?;若~X是C′中任意有限個元素的并集,樂觀多?;植诩捅^多?;植诩辖葡嗟?
多粒化;粗糙集;等價關(guān)系;充分條件
粗糙集是1982年由波蘭數(shù)學家Pawlak提出的[1],粗糙集理論是一種新的處理不確定性問題的又一有效的工具.目前,該理論已在諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,如:模式識別,醫(yī)療衛(wèi)生,數(shù)據(jù)挖掘,模糊分析[2-6].但是,在粗糙集的理論發(fā)展過程中,有許多問題是經(jīng)典的Pawlak粗糙集無法解決的.因此,為了擴展粗糙集理論的應(yīng)用范圍,諸多學者不斷地對Pawlak粗糙集進行推廣.錢宇華等[7-8]提出了多粒化的粗糙集,從“粒”的角度對Pawlak粗糙集進行了推廣.至此,人們對多?;植诩M行了廣泛和深入的研究.例如:徐偉華等[9-10]將模糊等理論融入到多?;植诩碚撝?,提出了多?;哪:植诩P?,楊習貝等[11]在不完全信息的情形下討論多?;植诩男再|(zhì),并得到諸多有意義的結(jié)果.但是悲觀多?;植诩蜆酚^多?;植诩纳舷陆频南嚓P(guān)性質(zhì),它們對于交、并運算是否封閉,如果不封閉,那么在什么條件下會封閉,這些問題都還沒有被研究,本文在前人對多?;植诩芯康幕A(chǔ)上,對該模型做了進一步的研究,得出了一些結(jié)論,豐富和完善了粗糙集的相關(guān)理論.
定義1[1]設(shè)(U,R),R?R為U上一個等價關(guān)系,對?X?U,則
分別稱為子集X關(guān)于等價關(guān)系R的Pawlak下近似和上近似.
定義2[7-8]設(shè)(U,R)為近似空間,R1,R2,…,Rs?R為等價關(guān)系,對?X?U,則
分別稱為子集X關(guān)于等價關(guān)系R1,R2,…,Rs的樂觀多?;陆坪蜆酚^多?;辖?
分別稱為子集X關(guān)于等價關(guān)系R1,R2,…,Rs的悲觀多?;陆坪捅^多?;辖?
在文獻[7]中給出多?;植诩娜缦滦再|(zhì).
定理1[7]設(shè)(U,R)為近似空間,R1,R2,…,Rs?R為等價關(guān)系,對?x∈U和?X,Y?U,有下列性質(zhì):
定理2設(shè)(U,R)為近似空間,R1,R2,…,Rs為等價關(guān)系,對?X?U,有下列性質(zhì)成立:
證明由定義2及C的構(gòu)造顯然可得.
下面舉例對定理2作進一步的說明.
例1設(shè)
U={x1,x2,…,x6},U/R1={{x1,x2},{x3},{x4,x6},{x5}},U/R2={{x1,x3},{x2,x5},{x4},{x6}},對X1={x3}∪{x2,x5}={x2,x3,x5},有
對~X2={x3}∪{x2,x5}={x2,x3,x5},即X2={x1,x4,x6},有
定理3設(shè)(U,R)為近似空間,R1,R2,…,Rs為等價關(guān)系,?X,Y?U,有下列性質(zhì)成立:
1)若X∩Y是C中任意有限個元素的并集,則
2)若~(X∪Y)是C中任意有限個元素的并集,則
證明1)“?”由定理1顯然可得.
2)由定理1和1)可得.
下面舉例對定理3進行說明.
例2在例1中令X1={x1,x2,x3,x4},Y1={x3,x4,x5},則
所以有
令X2={x4},Y2={x5,x6},則
另外還有如下結(jié)論.
定理4設(shè)(U,R)為近似空間,R1,R2,…,Rs為等價關(guān)系,對?X?U,下列性質(zhì)成立:
1)若X是C中任意有限個元素的并集,則
2)若~X是C中任意有限個元素的并集,則
2)類似可證.
下面舉例對定理4進行說明.
例3令
U={x1,x2,…,x6},U/R1={{x1,x2,x3},{x4,x5},{x6}},U/R2={{x1,x3,x4,x5},{x2,x6}},
取X1={{x1,x2,x3},{x2,x6}}={x1,x2,x3,x6},則有
在文獻[8]中給出了悲觀多?;植诩娜缦滦再|(zhì).
定理5[8]設(shè)(U,R)為近似空間,R1,R2,…,Rs?R為等價關(guān)系,對?x∈U和?X、Y?U,下列性質(zhì)成立:
定理6設(shè)(U,R)為近似空間,R1,R2,…,Rs?R為等價關(guān)系,對?X?U,下列性質(zhì)成立:
1)若X是C′中任意有限個元素的并集,則
2)若~X是C′中任意有限個元素的并集,則
證明1)“?”由定理1顯然可得.
2)類似可證.
例4由例4,可得C′={{x1,x2,x3},{x1,x2,x5},{x1,x3},{x4,x6},{x2,x5}},對
X1={{x1,x2,x3}∪{x4,x6}}={x1,x2,x3,x4,x6},由定義2可得
對~X2={x1,x2,x3}∪{x2,x5}={x1,x2,x3,x5},即X2={x4,x6},由定義2可得
由定義2顯然可得:對?X?U,
定理7對?X?U,若X是C′中任意有限個元素的并集,則有
證明由定理2,定理3和定義2顯然可得.
定理8對?X?U,若~X是C′中任意有限個元素的并集,則有
證明由定理2,定理3和定義2顯然可得.
多粒化粗糙集模型是Pawlak粗糙集一種非常重要的推廣形式,目前仍是粗糙集領(lǐng)域的一個研究熱點.Pawlak粗糙集有著良好的性質(zhì),但是多?;植诩泻芏嘈再|(zhì)卻并不滿足,例如多?;植诩⒉粷M足粒度性,悲觀多?;植诩粷M足冪等性,樂觀多?;植诩膊粷M足蘊含性等等.本文則結(jié)合相應(yīng)的例子分別給出了使上述條件成立的充分條件,那就是X或~X需要滿足是C(C′)中任意有限個元素的并集,這些結(jié)論的取得豐富了粗糙集的有關(guān)理論,擴大了多?;植诩膽?yīng)用范疇.
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(責任編輯李寧)
Several Sufficient Conditions on Multi-granulation Rough Sets
ZHANG Xiawei
(School of Applied Mathematics,Xiamen University of Technology,Xiamen 361024,China)
Multi-granulation Rough Set is an important extension of Pawlak rough set,and we mainly give properties on union and intersection of upper and lower approximation of optimistic(pessimistic)multi-granulation rough sets when X is the union of finite elements of C(C′).Finally,we show that when X is the union of finite elements ofC′,the lower approximation of optimistic multi-granulation rough sets and pessimistic multi-granulation rough are equivalent;Same result to the upper approximation of optimistic multi-granulation rough sets and pessimistic multi-granulation rough when~X is the union of finite elements of C′.
multi-granulation;rough set;equivalent relation;sufficient condition
2016-01-08
2016-04-22
國家自然科學基金項目(11426192)
張夏葦(1981-),女,講師,碩士,研究方向為人工智能、粗糙集的研究.E-mail:xwzhang@xmut.edu.cn
O23;TP18
A
1673-4432(2016)03-0106-06