☉江蘇省南通中學 秦霞

教學設計：任意角
——“數(shù)形結合”思想引領下的概念教學

☉江蘇省南通中學 秦霞

一、課題來源

江蘇教育出版社普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學必修4第1章“三角函數(shù)”第一節(jié)“任意角和弧度制”第一課時——1.1.1任意角.

二、學情基礎

任意角是三角函數(shù)的第一節(jié)內(nèi)容，是本章教學內(nèi)容的基本概念，而任意角的概念及其應用不僅體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，又為下面的弧度制和三角函數(shù)的學習提供了知識基礎.

學習本節(jié)前，學生已經(jīng)掌握了0°到360°之間的角，以及角的靜態(tài)概念，既為任意角的尋找做好了知識準備，又為后面弧度制、三角函數(shù)等內(nèi)容的學習做了必要的準備；高一上學期學習指數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖像時，已帶領學生學習了基本的作圖方法、幾何畫板等基礎知識，學生已經(jīng)具備了初步的作圖能力，能夠制作簡單的動畫，開展數(shù)學實驗.

三、教學過程

1.創(chuàng)設情境，引入新題

（1）復習：初中階段我們是如何定義角的？

具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角（angle）.這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊，如圖1.（靜態(tài)定義）

圖1

圖2

一個角可以看做由平面內(nèi)一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形，如圖2.（動態(tài)定義）

頂點：射線的端點；

始邊：射線旋轉的開始位置；

終邊：射線旋轉的終止位置.

角的取值范圍：0°到360°，一般研究的是小于平角的角.

（2）情境：一只時鐘，快了15分鐘，怎樣撥動分針，可盡快校準？如果慢了1小時15分鐘呢？

（3）思考：時鐘如果快了15分鐘，分針要逆時針方向旋轉90°；如果時鐘慢了1小時15分鐘，分針要順時針方向旋轉450°，這里的450°已經(jīng)不是初中所熟悉的角了.我們該怎么辦？

（4）問題：從哪個角度來解釋上述問題中所遇到的“角”才更科學、更合理呢？

學生討論：旋轉定義角更科學合理.從大小、方向兩方面推廣角的定義，從而將角從0°到360°范圍推廣到任意角.

設計意圖：從初中時角的定義復習入手，提出角的動態(tài)和靜態(tài)兩種定義，再用時鐘這個熟悉的模型，提出一個不熟悉的角450°，讓學生對角的認識從0°到360°拓展到任意角的范圍.

2.合理引導，建構理論

（1）角的概念.

（2）正角、負角、零角.按逆時針方向旋轉所形成的角叫做正角（positiveangle）；按順時針方向旋轉所形成的角叫做負角（negativeangle）；如果射線沒有做任何旋轉，那么也把它看成一個角，叫做零角（zeroangle）.

（3）意義：用“旋轉”定義角之后，角的范圍擴大到“任意角”（anyangle）.

（4）規(guī)范：文字語言、圖形語言、符號語言的使用.

一般用小寫的希臘字母α、β、γ…來表示角；

用帶箭頭的螺旋線來表示角的旋轉量和旋轉方向，如圖3.

圖3

3.互動合作，探究拓展

請分別畫出下列各組角：

①30°，-330°，390°，750°；

②240°，-120°，600°，960°；

③180°，-180°，540°，900°.

圖4

圖5

圖6

（1）探究：觀察每一組角的圖形，如圖4～圖6，有何特征？（學生討論）

（2）分析：①將每組角的始邊和頂點重合，終邊也重合，發(fā)現(xiàn)同一個圖形表示不同的角.②提出將角置于直角坐標系中研究的必要性：將角置于直角坐標系中，即角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸正半軸重合，這樣在同一“參照系”下，可以使角的討論得到簡化，同時還能有效地表現(xiàn)角的終邊位置“周而復始”的現(xiàn)象.③將角置于直角坐標系中，發(fā)現(xiàn)任意角的終邊只能落在四個象限和兩條坐標軸上，從而定義象限角和軸線角.

（3）拓展：觀察第一組角，回答：

①銳角是第幾象限角？（第一象限角）第一象限角都是銳角嗎？（不是，如第①組角中的-330°，390°等）

②以30°為例，歸納與30°角終邊相同的角的集合，從而推廣到與任意角α終邊相同的角的集合.（從“數(shù)、形”兩個方面理解）

（4）結論：以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系.

象限角：角的終邊（除端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.

軸線角：如果角的終邊在坐標軸上，稱這個角為軸線角.（軸線角不屬于任何象限）

注意：強調(diào)定義象限角、軸線角的前提，即“二重合”.

終邊相同的角的集合：

一般地，與角α終邊相同的角的集合為｛β|β=k·360°+ α，k∈Z｝.

注意：數(shù)形結合，理解定義.

從“數(shù)”的角度：終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍.

從“形”的角度：k＞0時，按逆時針方向旋轉k圈后角的終邊重合；k＜0時，按順時針方向旋轉k圈后角的終邊重合；k=0時，角α的終邊沒有轉動，如圖7.

圖7

設計意圖：介紹完任意角的概念后，請學生在直角坐標系中作出三組角，并且讓學生自主觀察每組角的特征.橫向觀察每組角，將角的終邊分類，發(fā)現(xiàn)象限角和軸線角；縱向觀察每組角，總結出終邊相同的角的集合.學生在這樣的互動探究中，從“數(shù)”“形”兩個方面加深了對任意角的認識.

4.梳理歸納，有效訓練

例1在0°到360°范圍內(nèi)，找出與960°角終邊相同的角，并判斷它是第幾象限角.

設計意圖：（1）通過這道題，今后我們?nèi)绾闻袛嗳我庖粋€角α是第幾象限角？借助本題讓學生體會研究終邊相同的角的意義，即把角從0°到360°范圍，拓展到任意角之后，現(xiàn)在借助于終邊相同的角，又可以把研究任意角的位置問題化歸為研究0°到360°范圍內(nèi)的角.（2）通過變式題還可以讓學生體會到，每360°內(nèi)只有一個與960°終邊相同的角.（3）解題過程中，學生可能呈現(xiàn)多種解法，充分讓學生體會數(shù)形結合、一題多解.

圖8

從“形”的角度驗證：當k為偶數(shù)時，k·180°表示角的終邊落在x軸正半軸，然后再逆時針旋轉120°，角的終邊落在第二象限；當k為奇數(shù)時，k·180°表示角的終邊落在x軸負半軸，然后再逆時針旋轉120°，角的終邊落在第四象限.

四、教學反思

1.一個中心：以學生對知識的內(nèi)在需求為中心

本課復習了初中對角的定義以后，以學生熟悉的時鐘問題，創(chuàng)設課堂情境，發(fā)現(xiàn)450°已經(jīng)不是初中角的定義所能解決的，使學生產(chǎn)生認知上的沖突，說明從“旋轉量”和“旋轉方向”兩個方面對角的概念的推廣的必要性，同時激發(fā)學生的學習興趣和主動探究的精神.

將角從0°到360°拓展到“任意角”之后，讓學生自己動手畫四組角，從而觀察這些角的圖形的特征，發(fā)現(xiàn)這些角的始邊和頂點重合后，終邊才能重合，從而產(chǎn)生了將角放到直角坐標系中的想法，這樣產(chǎn)生了象限角和軸線角.將角放到直角坐標系后發(fā)現(xiàn)，同一組圖形可以表示不同的角，自然想到研究這些角之間的數(shù)量關系，從特殊到一般，發(fā)現(xiàn)終邊相同的角的集合.讓學生自行嘗試，培養(yǎng)學生處理數(shù)學問題的動手能力，以及猜想、探究能力.

2.兩個基本點：“數(shù)”、“形”兩點緊抓不放

在拓展“任意角”角的概念時，從“大小”和“方向”兩方面引導學生思考，緊抓數(shù)形兩方面；在引入終邊相同的角的集合時，先從“形”入手，觀察這些角的圖形特征，再從“數(shù)”入手，歸納這些角的數(shù)量特征，由特殊到一般，從具體到抽象，培養(yǎng)學生的觀察、歸納能力，為后面學習周期的概念做鋪墊，并使學生理解終邊相同的角不是唯一的，而是一個角的集合.

例1的講解中，既可以從“形”入手，以旋轉的角度來尋找終邊相同的角，也可以從“數(shù)”入手，用“賦值法”，或者“解不等式法”來尋找在0°到360°范圍內(nèi)的與之終邊相同的角，從而確定角的終邊所在位置.

3.三種思想，相互滲透

本課的主要思路是：將初中所學的0°到360°的角，從“旋轉量”和“旋轉方向”兩方面推廣到任意角，再通過對象限角、軸線角、終邊相同的角的研究，將研究任意角的位置問題轉化為研究0°到360°角的位置，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想.

教學過程中又處處滲透著數(shù)形結合的思想，使學生的理解更加具體形象，也為后面學習周期性做好鋪墊.如總結終邊相同的角的集合、兩道例題的講解，都從數(shù)形兩方面入手，直觀形象，便于學生的理解.

例2中還滲透了分類討論思想，盡管這點是學生在學習上的難點，但是由于在直角坐標系中，角的終邊可以直觀形象的旋轉，這時數(shù)形結合思想的加入，又降低了教學難點，使得學生的思維障礙得以突破.F