☉江蘇省海門市四甲中學 陸叢林
更深更遠更優(yōu)
——一道高考題的解法賞析與拓展
☉江蘇省海門市四甲中學 陸叢林
一年一度的高考又落下惟幕,每年高考后都會涌現(xiàn)出一批題型新穎、立意深遠、背景豐富的好題.2015年的浙江省理科第18題以函數(shù)問題為載體,結(jié)合絕對值考查學生對數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等思想方法的掌握與運用情況,令人耳目一新,本文筆者試給出此題的一些解法賞析與拓展延伸,旨在拋磚引玉.
題目(2015年浙江理科第18題)已知函數(shù)f(x)=x2+ ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.
(1)證明:當|a|≥2時,M(a,b)≥2.
(2)當a,b滿足M(a,b)≤2時,求|a|+|b|的最大值.
分析:本題是一個二次函數(shù)求最值問題,融入了近年常見的元素:絕對值、參數(shù)、不等式.對一般的學生來說往往切題較慢,不容易拿到高分,但若抓住本質(zhì),進行合理的轉(zhuǎn)化和變形,問題就會變得相對簡單.
當a≥2,1+b≥0時,1+a+b≥2,M(a,b)=|f(1)|=|1+a+ b|≥2;
當a≥2,1+b<0時,1-a+b≤-2,M(a,b)=|f(-1)|=|1-a+b|≥2;
當a≤-2,1+b≥0時,1-a+b≥2,M(a,b)=|f(-1)|=|1-a+b|≥2;
當a≤-2,1+b<0時,1+a+b≤-2,M(a,b)=|f(1)|=|1+ a+b|≥2.
考生在平時考試中遇到的函數(shù)題,普遍采用分類討論思想確定函數(shù)最值的解題思路,因此,此法是通法.
解法二:(絕對值不等式)由|a|≥2知道了對稱軸的位置,因此|f(x)|的最大值在1或-1時取得,即M(a,b)= max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|1-a+b|,|1+a+b|}≥
此方法雖然簡潔易行,但不是常規(guī)方法,只有參加數(shù)學競賽輔導的學生做起來才會得心應手.
解法三:(基本初等函數(shù))由解法一知M(a,b)= max{|1+a+b|,|1-a+b|}.
令t=b+1,則M(a,b)=g(t)=max{|t-a|,|t+a|}.分別畫出g(t)的圖像,如圖1、圖2所示.
圖1
圖2
①若a≤-2,由圖1可知M(a,b)min=g(t)min=g(0)= -a≥2,所以M(a,b)≥2.
②若a≥2,由圖2可知M(a,b)min=g(t)min=g(0)=a≥2,所以M(a,b)≥2.
綜上,M(a,b)≥2.
此法中通過換元,轉(zhuǎn)化為求最大值中的最小值問題,常規(guī)方法就是通過數(shù)形結(jié)合畫出圖像,直觀簡潔,簡單易行,若能關注絕對值的幾何意義,從這個方法中還可以推出以下方法:
解法四:(絕對值的幾何意義)由解法三知M(a,b)= max{|1+a+b|,|1-a+b|}.令t=b+1,|(f1)|=|1+a+b|=(|b+1)+a|= |t+a|,|(f-1)|=|1-a+b|=(|b+1)-a|=|t-a|.|(f1)|=|t+a|表示t到-a的距離,|(f-1)|=|t-a|表示t到a的距離.
|(f1)|+|(f-1)|=|t+a|+|t-a|表示t到-a的距離與t到a的距離之和.
|(f1)|+|(f-1)|=|t+a|+|t-a|表示t到-|a|的距離與t到|a|的距離之和.
圖3
如圖3,當t∈[-|a|,|a|]時,|(f1)|+|(f-1)|的最小值為2|a|,
此法中通過換元后畫出圖像,借助數(shù)軸,是數(shù)形結(jié)合的一個好方法.
圖4
直線QS和直線RS與拋物線分別相切于點Q,R,由圖可知|a|+|b|的最大值為3.
此法利用線性規(guī)劃的知識,對可行域的要求比較高,但此法直觀明了,是個好方法.
此法簡潔明了,但對學生不等式應用水平要求較高,體現(xiàn)方程(組)的思想,巧妙地運用了絕對值不等式,發(fā)揮整體代換、化繁為簡的優(yōu)勢.相對于常規(guī)的函數(shù)思想與分類討論思想,既不用討論閉區(qū)間上何時取到最值,也不用線性規(guī)劃畫圖尋找,簡單快捷,計算量小.
若M(a,b)<2,由(1)必有|a|<2.
由|1+|a|+b|≤2,得-2≤1+|a|+b≤2?-3≤|a|+b≤1.
①若b≥0,則|a|+|b|=|a|+b≤1;
所以|a|+|b|的最大值為3.
此法利用不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,同時體現(xiàn)了分類討論思想在解題中的作用.
從上例中我們可以發(fā)現(xiàn),數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸在解題中的巨大作用,如果平時加強對題目的研究,深入剖析題目條件和結(jié)構(gòu),合理進行變形和轉(zhuǎn)化,往往會收到意想不到的效果,解題效率也能大大提升.
在處理這樣的雙變量問題上絕對值不等式有著一定的優(yōu)勢,若含有三個變量問題,又如何解決?
變式:已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,記M(a,b,c)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值,當a,b,c滿足M(a,b,c)≤2時,求|a|+|b|+|c|的最大值.
故|a|+|b|+|c|≤6,當|a|+|b|=4,|c|=2時取到最大值6.
對于含有三個變量問題,依靠絕對值不等式這個有力的工具,也可以做到整體代換,簡單快捷.只要我們把握好不等號的方向,就能在多變量中抓住本質(zhì),從而解決問題.
總之,高考題預示高考命題的規(guī)律與趨勢,倍受廣大師生的關注,認真研究高考題,發(fā)掘其真正的內(nèi)含,探索出新的規(guī)律性結(jié)論,并運用于教學之中,可以豐富我們的教學,使我們的教學理念更新,解題的手段升級,對數(shù)學探究的激情會更高,思索會更遠,收獲將會更大.F