☉江蘇省昆山市第一中學(xué) 周維軍

挖掘課本習(xí)題功能探究高考命題趨勢
——一道解三角形課本習(xí)題的探究

☉江蘇省昆山市第一中學(xué) 周維軍

又sin∠BDA=sin∠ADC，BD=CD，所以∠DAC=90°，所以∠BAC=120°，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+ AC2-2AB·ACcos∠BAC，即BC2=48+12-24=36，故BC=6.

點(diǎn)評：挖掘所給三角形中角的關(guān)系，是解題入手點(diǎn)之一，其中角的關(guān)系主要包括三角形內(nèi)角和為180°，外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，兩角互補(bǔ)正弦值相等，余弦值互為相反數(shù)，兩角互余正弦值與余弦值相等.

點(diǎn)評：本解法抓住題目條件本質(zhì)，將三角形置于平行四邊形中，使題目中不明確的邊角關(guān)系突顯出來，進(jìn)而利用正、余弦定理快速解題.

一、改變題目條件，解法根出同源

在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·

點(diǎn)評：本題無論從命題形式，還是解法探究，上述兩例都與課本源題出奇的相似，準(zhǔn)確把握“兩角互補(bǔ)，其正弦值相等”和“三角形的一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和”是問題順利求解的關(guān)鍵.

二、落實(shí)基本能力，展現(xiàn)考綱要求

點(diǎn)評：新課標(biāo)考綱對解三角形的要求是：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.

三、把握圖形關(guān)系，由四邊形還原三角形

例4（2015年全國新課標(biāo)I卷）如圖6，在平面四邊形ABCD中，A=B=C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是____________.

點(diǎn)評：三角形是平面中最簡單的圖形，四邊形可以認(rèn)為是由三角形切割而成，故解題中將四邊形還原于三角形中，使邊角關(guān)系更加明朗化，從而順利解題.

四、合理利用條件，由四邊形分割出三角形

例5（2014年全國新課標(biāo)卷（Ⅱ）文）四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1，BC=3，CD=DA=2.

（1）求C和BD；

（2）求四邊形ABCD的面積.

解析：（1）由題設(shè)及余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC①，BD2=AB2+DA2-2AB· DAcosA=5+4cosC②.

點(diǎn)評：第（1）問是先利用余弦定理列出關(guān)系式，再結(jié)合方程思想求解.第（2）問是將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積求解.

綜上，本文以一道課本習(xí)題為例，引導(dǎo)學(xué)生多方位思考，將試題進(jìn)行了推廣探究，通過探究，從深層次上挖掘了課本習(xí)題的教學(xué)價(jià)值，有力地激發(fā)了學(xué)生的探究性思維，培養(yǎng)了探究能力.A