☉甘肅省天水市第七中學(xué) 吳俊杰

對(duì)一道旋轉(zhuǎn)相似問題數(shù)學(xué)模型的探究

☉甘肅省天水市第七中學(xué) 吳俊杰

中考試題不僅對(duì)教學(xué)具有很強(qiáng)的指導(dǎo)和借鑒意義，對(duì)中考命題也有很強(qiáng)的啟發(fā)作用.很多中考命題都是對(duì)教材習(xí)題、中考試題的變形、拓展或者直接借鑒.如何在試題教學(xué)中達(dá)到舉一反三，做一題會(huì)一片（類）的效果，是每一個(gè)數(shù)學(xué)教師苦苦思索的問題，筆者認(rèn)為，對(duì)有些數(shù)學(xué)問題可以增強(qiáng)解題分析中的數(shù)學(xué)模型意識(shí)，嘗試“問題→模型→問題”的教學(xué)研究模式，是較好的途徑之一.本文擬以2013年湖州市一道中考試題為例，談?wù)勚锌紡?fù)習(xí)時(shí)增強(qiáng)解題分析中的數(shù)學(xué)模型意識(shí)，嘗試“在問題中構(gòu)建模型，讓模型回歸問題”的教學(xué)研究模式.

一、問題展示

圖1

圖2

現(xiàn)在來(lái)證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）．

圖3

如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為Bi，連接AP、ABi、B0Bi，因?yàn)锳O⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi.又因?yàn)锳B0=AO·tan30°，ABi=AP· tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP．又△AB0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以點(diǎn)Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）．

二、解后反思

（2）這是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)問題，但卻是一個(gè)陌生的運(yùn)動(dòng)問題，說(shuō)起陌生是筆者在之前的解題學(xué)習(xí)中沒有見過相關(guān)知識(shí)和類型的習(xí)題，但有一點(diǎn)是確定的，運(yùn)動(dòng)問題中通常蘊(yùn)含著規(guī)律性的東西，或者某些元素保持不變性，或者某些元素變化呈現(xiàn)一種規(guī)律性，或者相關(guān)元素之間關(guān)系的確定性.基于這種思考，筆者大膽猜測(cè)本題也大概不出其外，如果把定角∠APB=30°，A點(diǎn)橫坐標(biāo)一般化，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑和距離也必然與這兩個(gè)結(jié)果相關(guān).

（3）筆者再思考，既然是運(yùn)動(dòng)問題，筆者很自然地聯(lián)想到了非常熟悉的圖形變化——旋轉(zhuǎn).文1中發(fā)現(xiàn)了問題的本質(zhì)：旋轉(zhuǎn)相似，筆者從另一個(gè)角度思考這個(gè)問題：把圖1在直角坐標(biāo)系中整體旋轉(zhuǎn)一定的角度，不會(huì)影響到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，如果旋轉(zhuǎn)45°，使得直線OC與y軸重合，問題的解答會(huì)不會(huì)變得簡(jiǎn)單一些？

基于以上思考，筆者確定了以下解答思路：首先將問題一般化，建立數(shù)學(xué)模型，探索一般規(guī)律，再應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，回到原始問題，解答問題.

三、建模過程

1.數(shù)學(xué)模型的理解

模型思想是《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的10個(gè)核心概念中唯一一個(gè)以思想指稱的概念，它是數(shù)學(xué)基本思想之一，通俗地講，數(shù)學(xué)模型就是采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，如字母、數(shù)字、等式、不等式，以及圖形、圖像、圖表等數(shù)學(xué)符號(hào)抽象地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征及其內(nèi)在聯(lián)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式.在建模過程中，要把本質(zhì)的東西及其關(guān)系反映進(jìn)去，把非本質(zhì)的、對(duì)反映客觀真實(shí)程度影響不大的東西去掉.課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)模型的教學(xué)意義論述和要求的提法是“教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容采用‘問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用于拓展’的模式展開，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成于應(yīng)用過程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義……”

個(gè)人認(rèn)為，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，也完全具有可能，有必要在具體的問題中抽象、概括、建立數(shù)學(xué)模型，再反過來(lái)利用數(shù)學(xué)模型指導(dǎo)、解答原問題，并加以應(yīng)用.本文擬結(jié)合上述問題，談?wù)勛约涸跀?shù)學(xué)解題教學(xué)中通過“問題→模型→問題”的思路，嘗試建立數(shù)學(xué)模型，回歸問題的研究、教學(xué)態(tài)度.

2.原始問題一般化

一般化之前需要分析發(fā)現(xiàn)原問題中的“本質(zhì)元素與核心關(guān)系”.分析問題，可以發(fā)現(xiàn)原問題本質(zhì)元素在于“三定：定直線、定點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)中的兩個(gè)定角（∠APB和∠PAB）”，核心關(guān)系是點(diǎn)P和點(diǎn)B之間在“旋轉(zhuǎn)”中的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，但是這個(gè)聯(lián)動(dòng)關(guān)系如何？未知.

另外，點(diǎn)P所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x，是否屬于本質(zhì)元素，再如點(diǎn)A為定點(diǎn)，問題中僅僅提到了點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，對(duì)縱坐標(biāo)一字未提，顯然此處“兩定”中依然有一些非本質(zhì)的元素.還有∠APB=30°對(duì)這種聯(lián)動(dòng)關(guān)系有何影響也不明確，它們是不是本質(zhì)元素？基于以上分析，在問題一般化的過程中，可以保留本質(zhì)與核心關(guān)系，其他的數(shù)量元素可以字母化，即將具體數(shù)值轉(zhuǎn)化為字母表示.得到以下更具有一般性的待探究問題：

設(shè)點(diǎn)P是定直線l上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A為直線外一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A到直線l的距離為a.點(diǎn)B在直線PA確定的一側(cè)，且∠APB=β，BA垂直PA，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，探究點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡.

說(shuō)明：（1）具體數(shù)字已知量的字母化：將∠APB=30°字母化為∠APB=β，因?yàn)辄c(diǎn)A為定直線l外一個(gè)定點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線l的距離確定，表示成a，至此原問題被一般化.（2）為了問題研究的方便，也因?yàn)閳D1中y=-x旋轉(zhuǎn)后可以到達(dá)y軸的位置，在問題研究中不妨以直線l為y軸建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點(diǎn)A為第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn).通過對(duì)圖形變化過程中可能的位置分析，以及下面的分析可以發(fā)現(xiàn)，這一特殊處理對(duì)結(jié)論沒有影響.（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中，雖說(shuō)主動(dòng)點(diǎn)P、從動(dòng)點(diǎn)B的具體位置不確定，但沒有必要研究多個(gè)點(diǎn)，只需要隨機(jī)確定兩個(gè)位置，將其視作某一階段運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，從而探索相互之間的關(guān)系，了解變化規(guī)律.結(jié)合點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程可能的位置關(guān)系，可以作出兩個(gè)圖形，如圖4和圖5所示.

圖4

圖5

3.探究

在圖4和圖5，設(shè)P1、P2是P點(diǎn)某一階段運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B1、B2是B的對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)軌跡的終點(diǎn).

結(jié)論2：∠AB1B2=∠AP1P2.

在圖4中，延長(zhǎng)B2B1與y軸（直線l）相交于點(diǎn)M，由∠AB1B2=∠AP1P2，可知點(diǎn)A、P1、M、B1四點(diǎn)共圓，所以∠P1MB1=∠P1AB1=90°，所以直線B1B2垂直于y軸.利用相似三角形的性質(zhì)可知AN的值，AN=atanβ.

在圖5中，延長(zhǎng)B2B1與y軸（直線l）相交于點(diǎn)M，與AP1相交于點(diǎn)H，連接AM，因?yàn)椤鰽P1P2∽△AB1B2，所以∠AB1B2=∠AP1P2，所以點(diǎn)A、M、P1、B1四點(diǎn)共圓.所以∠P1MB1=∠P1AB1=90°.也可以這樣證明，如下：因?yàn)椤螾1AB1=90°，所以∠AHB1+∠AB1B2=90°.因?yàn)椤螦HB1=∠P1HM（對(duì)頂角相等），由等量代換可得∠P1HM+∠AP1P2=90°，所以∠P1MH=90°.所以直線B1B2垂直于y軸.

也可以考慮特殊情形：如圖6，當(dāng)AP1垂直y軸時(shí)，AB1=AN，AP1等于點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離，此時(shí)AB1=AP1tanβ，點(diǎn)P的位置變化不影響這一結(jié)論.

圖6

4.建立模型

綜合以上分析，可以歸納出以下共性結(jié)論，從而建立數(shù)學(xué)模型：

點(diǎn)P是定直線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A為直線l外一個(gè)定點(diǎn)，到直線l的距離為a，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以AP為直角邊向直線l一側(cè)作Rt△APB，使得∠APB=β，∠A為直角，則有結(jié)論：

（1）從動(dòng)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條與直線l垂直的直線m，點(diǎn)A到直線m的距離等于atanβ.

（2）從動(dòng)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)與主動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)之比等于tanβ.

四、回歸問題，模型應(yīng)用

研究后不得不思考一個(gè)問題，這種研究的價(jià)值何在？最簡(jiǎn)單的價(jià)值體現(xiàn)應(yīng)該是在解題中的應(yīng)用，并且需要進(jìn)行比較，這種數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用有沒有廣泛性，問題的解答有沒有更加簡(jiǎn)單.

由模型到實(shí)際問題有一定的距離：（1）圖形的位置：當(dāng)數(shù)學(xué)模型中的直線l為y軸時(shí)，可以通過將整個(gè)圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到原問題中的定直線l；（2）數(shù)量關(guān)系：將數(shù)學(xué)模型中的字母具體數(shù)字化，回歸具體問題，如令∠APB=β=30°.通過這兩步，就可以得到圖1，實(shí)現(xiàn)由問題模型到具體問題的回歸、應(yīng)用.

五、數(shù)學(xué)模型的再優(yōu)化

回顧前面的數(shù)學(xué)模型化的過程，發(fā)現(xiàn)有一點(diǎn)做得并不充分，那就是對(duì)∠APB=90°是否為本質(zhì)元素的認(rèn)識(shí)存疑.我們可以繼續(xù)研究更一般的問題：在原有基礎(chǔ)上令∠PAB=θ，其他要求不變，數(shù)學(xué)模型又會(huì)發(fā)生哪些改變？

如圖7和圖8，同理可以證明△AP1P2∽△AB1B2，在圖7中，∠AB1B2=∠AP1P2，在圖8中，∠AB1B2=∠AP1P2，所以點(diǎn)A、M、P1、B1四點(diǎn)共圓.所以∠P1MB1=∠P1AB1=θ.

圖7

圖8

綜上所述，本題數(shù)學(xué)模型有更一般的形式：

點(diǎn)P是定直線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A為直線l外一個(gè)定點(diǎn)，到直線l的距離為a，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以AP為直角邊向直線l一側(cè)作△APB，使得∠APB=β，∠PAB=θ，則有下面的結(jié)論：

（2）從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑與主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑之比等于tanβ.

1.姜鴻雁.入進(jìn)去展開來(lái)再回首——解答一道中考題的心路歷程及感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（10）.

2.莊士忠.相似三角形中三等角題型一般解答方法及應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2012（2）.

3.張衛(wèi)東.利用旋轉(zhuǎn)解題的若干策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2011（7）.Z