☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭良

八方聯(lián)系智慧現(xiàn)渾然一體高效生

☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭良

一、問(wèn)題提出

社會(huì)一方面要求教育必須減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，另一方面對(duì)人才能力的需求越來(lái)越高.如何解決這對(duì)矛盾，唯有提高課堂教學(xué)效率.“教學(xué)效率需從兩個(gè)維度來(lái)認(rèn)識(shí)：在學(xué)生的時(shí)間投入方面，指能夠充分利用實(shí)踐，全身心、主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；在數(shù)學(xué)結(jié)果方面，指多方面學(xué)習(xí)效果——認(rèn)知成績(jī)、理性精神、效率意識(shí)、良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.教學(xué)效率是相對(duì)概念，同樣的學(xué)習(xí)結(jié)果，學(xué)習(xí)時(shí)間較少，則教學(xué)效率高.同樣的學(xué)習(xí)時(shí)間，學(xué)習(xí)的效果好而且多樣，則教學(xué)效率高.”［1］反觀我們的課堂，師傳生受的教學(xué)現(xiàn)狀使課堂發(fā)展是線(xiàn)性的、波瀾不驚的.這種對(duì)知識(shí)、思想方法的“填鴨”式灌輸?shù)慕虒W(xué)，學(xué)生沒(méi)能切身體驗(yàn)到思維歷程和感悟到認(rèn)知沖突的歷練，從而導(dǎo)致“懂而不會(huì)”現(xiàn)象的不斷產(chǎn)生.“探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線(xiàn)”（布魯納語(yǔ)），探索是一個(gè)曲折的過(guò)程，是失敗與成功交融的辯證統(tǒng)一過(guò)程，是師生之間的互動(dòng)過(guò)程.追溯成因、探尋解決方案具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.基于上述分析與思考，筆者選取了如下問(wèn)題進(jìn)行探究：

二、情境再現(xiàn)

限于篇幅，下面的所有討論都只對(duì)a≠0展開(kāi).為真實(shí)呈現(xiàn)教學(xué)情境，現(xiàn)以師生對(duì)話(huà)形式再現(xiàn)課堂實(shí)錄.

師：對(duì)于本題的條件和結(jié)論，你有哪些想法？（學(xué)生思考后）

生1：對(duì)任意不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)a，b，f（x）=0至少有一個(gè)根在（-1，0）內(nèi).設(shè)f（x）=0的兩個(gè)根分別為x1，x2，且x1＜x2，通過(guò)x1∈（-1，0），x2∈（-1，0）分別找出a與b的關(guān)系

生2：思路可取，過(guò)程繁雜.

師：生1的想法非常自然、接地氣.樸素的解法過(guò)程如何呢？絕知此事要躬行.（展示生1的解題過(guò)程）

證法1：當(dāng)a≠0時(shí)，則有f（x）=a（3x2+2tx+t-1）.記h（x）= 3x2+2tx+t-1，其Δ=4（t2-3t+3）＞0，設(shè)h（x）（f（x））的兩個(gè)零

由-1＜x1＜0

①當(dāng)t≤0時(shí)，平方得t2＜t2-3t+3＜t2-6t+9，解得t＜1，則t≤0；

③當(dāng)t＞3時(shí)，不等式無(wú)解.

綜上所述，由x1∈（-1，0）得t∈（-∞，2）.

同理，由x2∈（-1，0）得t∈（1，+∞）.因此，當(dāng)t∈（-∞，1］∪［2，+∞）或t∈（1，2）時(shí)，函數(shù)h（x）在（-1，0）內(nèi)分別有1個(gè)，2個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=（fx）在（-1，0）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

圖1

生2：生1的處理比較“精細(xì)化”，結(jié)論中“至少”提示我們可用并集概念“模糊化”進(jìn)行整體考量，即（-∞，2）∪（1，+∞）=R.生1從數(shù)的角度對(duì)不等式進(jìn)行求解，導(dǎo)致只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林，需要分類(lèi)討論；若能利用形的整體與直觀，運(yùn)算具有針對(duì)性，可提高解題效率.

（師生共同完善生2的解題過(guò)程）

生3：結(jié)論中“至少有一個(gè)零點(diǎn)”中的“至少”提示我們可以嘗試用反證法來(lái)證明.

①當(dāng)x1≥0時(shí)，x1x2≥0，x1+x2≥0，故s＞2，與s=0矛盾；

②當(dāng)x2≤-1時(shí)，s=3（x1+1）（x2+1）+3x1x2-1＞2，與s=0矛盾；

③當(dāng)x1≤-1，x2≥0時(shí)，s=3（2x1+1）x2+3x1+2＜0，與s=0矛盾.

綜上所述，假設(shè)不成立，即原命題成立.

師：（追問(wèn)生3，針對(duì)如此變形的思維過(guò)程，少數(shù)學(xué)生可能會(huì)遺漏③）反設(shè)的結(jié)果是原結(jié)論的反面（補(bǔ)集），必須一一駁斥，能根據(jù)具體數(shù)式等進(jìn)行合理變形，導(dǎo)出矛盾是證明的關(guān)鍵.

生4：“閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理”是判定“連續(xù)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)”的充分不必要條件.欲使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）在（a，b）的子區(qū)間（c，d）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).利用二次函數(shù)的（最值）性質(zhì)，可嘗試用區(qū)間的中點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值（二分法）進(jìn)行判斷.綜上所述，函數(shù)y=（fx）在（-1，0）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).生5：生4將f（-1）（f0）巧妙變形，合理分解，只需判2斷的取值范圍，當(dāng)然還可以將其細(xì)化.二次函數(shù)的最值只能在端點(diǎn)處或頂點(diǎn)處取得，利用端點(diǎn)和頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的關(guān)系是解題的方向，更能反映問(wèn)題的本質(zhì).

①若t＞2或t＜1時(shí)，（f-1）（f0）=-a（2t-2）（t-1）＜0，則函數(shù)y=（fx）在（-1，0）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

②若t=1時(shí)，（fx）=ax（3x+2）的零點(diǎn)分別為-2，0，符3合題意；若t=2時(shí)，（fx）=a（3x+1）（x+1）的零點(diǎn)分別為，-1，符合題意.

③若1＜t＜2時(shí)，（f-1）（f0）＞0，（fx）的對(duì)稱(chēng)軸所以（fx）在（-1，0）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)y=（fx）在（-1，0）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

師：生5將問(wèn)題進(jìn)行分解，對(duì)f（-1）f（0）＞0，能結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、最值，準(zhǔn)確定位，合理解剖.下面我們共同探究參考答案的思維歷程.

生6：本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）在（-1，0）的子區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).可用待定系數(shù)法得到問(wèn)題的通解，賦值法體現(xiàn)了特殊與一般的邏輯關(guān)系.

探究目標(biāo)：設(shè)m，n∈［-1，0］，且m≠n，使得f（m）f（n）＜0.

師：精彩！賦值是操作，是邏輯推理的顯性化.根據(jù)題意如何取值往往涉及解方程（組）等.例如，f（x）在（-1，0）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，必存在一個(gè)數(shù)，其函數(shù)值（-1，0）.

當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，記a=（0，a），b=（b，0），則向量m，n的“故事”，才能做到知其然并知其所以然.

生7：由上面方程組，聯(lián)想到共線(xiàn)（反向）向量，可得如下證法.

證法6：當(dāng)a≠0，b=0時(shí)，f（x）=3ax2-a的零在基底｛a，b｝下的坐標(biāo)分別為m=（2m+1，3m2-1），n=（2n+ 1，3n2-1），由題意知m，n共線(xiàn)（反向）.

師：生7由方程組的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到向量，（通過(guò)坐標(biāo)變換）從圖形的角度給出解釋.

生8：本題的命題背景為高等數(shù)學(xué)的羅爾中值定理（若函數(shù)F（x）滿(mǎn)足如下條件：①F（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；②F（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；③F（a）=F（b）.則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得F′（ξ）=0）.

證法7：設(shè)F（x）=ax3+bx2+（b-a）x，則F′（x）=f（x）=3ax2+ 2bx+b-a.又函數(shù)F（x）在閉區(qū)間［-1，0］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（-1，0）內(nèi)可導(dǎo)，且F（-1）=F（0）=0，由羅爾中值定理可知，至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)ξ，使得F′（ξ）=0，即y=f（x）在（-1，0）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

三、教學(xué)感悟

1.高效課堂應(yīng)強(qiáng)調(diào)先進(jìn)理念的引領(lǐng)

在界定“高效課堂”時(shí)，我們需要不斷地返回到時(shí)代精神之中，用新的理念、新的觀點(diǎn)去詮釋課堂，追求的應(yīng)該是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的過(guò)程.如給每個(gè)學(xué)生話(huà)語(yǔ)權(quán)，對(duì)話(huà)是思維交流的重要方式.案例中生1想法樸實(shí)，過(guò)程稍顯煩瑣，引來(lái)學(xué)生笑聲，教師不為了進(jìn)度而剝奪其話(huà)語(yǔ)權(quán)，取而代之與學(xué)生一起聆聽(tīng)其思維發(fā)生、發(fā)展、完善的過(guò)程，生2準(zhǔn)確理解并能靈活運(yùn)用并集概念，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識(shí)深刻，生3變形巧妙說(shuō)明其對(duì)目標(biāo)與方向把握精準(zhǔn).通過(guò)“擠”出學(xué)生想法，深入理解學(xué)生，以學(xué)定教.教師要信賴(lài)學(xué)生，敢于放手，嘗試通過(guò)教師的“無(wú)為”促使學(xué)生的“有為”，如每個(gè)學(xué)生均給出不同的證法，課堂上群策群力，還給出其他證法，例如，利用平均值原理0等.同時(shí)要善于向?qū)W生（教育服務(wù)對(duì)象）學(xué)習(xí)，在做好學(xué)生學(xué)習(xí)幫助者的同時(shí)堅(jiān)信每位學(xué)生不僅能幫助自己完成教學(xué)任務(wù)，還能幫助自己提高教學(xué)水平.又如，教學(xué)評(píng)價(jià)的目的不是為了證明（互動(dòng)），而是為了改進(jìn).評(píng)價(jià)的根本目的是反饋交流，促進(jìn)師生反思、改進(jìn)，促使其完善、發(fā)展，從而保證課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).

2.高效課堂應(yīng)關(guān)注課堂系統(tǒng)的優(yōu)化

研究高效課堂，其目的不是去構(gòu)建一個(gè)普適性的、通用型的教學(xué)模式，而是引導(dǎo)教師結(jié)合具體的教學(xué)情境選擇和創(chuàng)新最優(yōu)化的教學(xué)設(shè)計(jì).例如，盡可能站在學(xué)科系統(tǒng)的高度，著眼于知識(shí)之間的聯(lián)系和規(guī)律，著重于哲理觀點(diǎn)的升華；選取典型的問(wèn)題，不斷變式，進(jìn)行一題多解，多解歸一，多題歸一，使學(xué)生能自覺(jué)地運(yùn)用聯(lián)系的視角看待問(wèn)題，透徹地理解分析問(wèn)題，高端的觀點(diǎn)處理問(wèn)題，例如，案例中教師穿針引線(xiàn)，引領(lǐng)學(xué)生鞏固知識(shí)、感悟思想方法、澄清認(rèn)識(shí)，能從局部和整體分析與解答問(wèn)題，切實(shí)提升學(xué)生的智慧.烏申斯基說(shuō)得好：“智慧不是別的，只是組織得很好的知識(shí)體系.”當(dāng)學(xué)生的頭腦“強(qiáng)大”了，在問(wèn)題面前“運(yùn)籌帷幄”、“縱橫捭闔”，難題自然“無(wú)處遁形”、“落花流水”了.

3.高效課堂應(yīng)聚焦教學(xué)行為的轉(zhuǎn)變

美國(guó)當(dāng)代管理理論大師阿吉里斯曾使用“使用理論”和“信奉理論”兩個(gè)不同的概念來(lái)區(qū)分人們的“行為”與“認(rèn)識(shí)”之間的差距.即人們口頭上陳述的往往是自己的“信奉理論”，而事實(shí)上指導(dǎo)他們行動(dòng)的卻是“使用理論”.很多教師對(duì)轉(zhuǎn)變教與學(xué)方式表示認(rèn)同，但真實(shí)的課堂卻依然如故.這就啟發(fā)我們高效課堂的研究不能局限于觀念的認(rèn)識(shí)，而應(yīng)該外化為教學(xué)的行為.當(dāng)前教學(xué)中，很多教師能向?qū)W生交待思維過(guò)程，期待學(xué)生從看到的過(guò)程中領(lǐng)悟問(wèn)題本質(zhì)，少數(shù)教師只對(duì)答案進(jìn)行告知，缺乏正確的解讀.清末數(shù)學(xué)家華衡芳主張暴露思維過(guò)程，“一切算法無(wú)不坦白示人”，一切解法“不求簡(jiǎn)奧，不避粗俗，惟使人易明而已”.不避粗俗，是指解題過(guò)程中不可避免的彎路；不求簡(jiǎn)奧，是指簡(jiǎn)奧來(lái)自于掙脫困境的反思，否則，學(xué)生只能陶醉在“簡(jiǎn)奧”之美而受益甚微.“當(dāng)時(shí)，希爾伯特（Hilbert）選聽(tīng)富克斯（Fuchs）的課.他的課確實(shí)與眾不同，給人的印象至深.課前，他不大做準(zhǔn)備，因?yàn)樗?xí)慣于在課上把自己置于險(xiǎn)境：對(duì)要講的內(nèi)容，現(xiàn)想現(xiàn)推.正如他的一個(gè)學(xué)生后來(lái)寫(xiě)的那樣，學(xué)生因此而‘得到了一個(gè)機(jī)會(huì)，瞧一瞧最高超的數(shù)學(xué)思維的實(shí)際過(guò)程’.”［2］這種教師（原生態(tài)）的真實(shí)思維過(guò)程，使學(xué)生終身受益.教師要躬親示范，促使學(xué)生從模仿到自覺(jué)領(lǐng)悟.

4.高效課堂應(yīng)源于三個(gè)理解能力的落實(shí)

魏書(shū)生老師曾說(shuō)過(guò)：“學(xué)生的能力是學(xué)出來(lái)的，不是教師教出來(lái)的.”但學(xué)生是向教師學(xué)習(xí)的，教的方式?jīng)Q定著學(xué)的方式，教的深刻，學(xué)的透徹，教有深度，學(xué)有高度.教師的高度決定學(xué)生的高度，教師“三個(gè)理解”的水平?jīng)Q定著教學(xué)的水平.［3］任何教師都想讓自己的學(xué)生更出色，但教師的水平成為左右學(xué)生發(fā)展的瓶頸.“以己昏昏，豈能使人昭昭.”沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)、教學(xué)、學(xué)生等準(zhǔn)確的理解，理念、行為猶如無(wú)源之水，高效課堂乃是空中樓閣.教師要終身學(xué)習(xí)，不斷研究，積累高效課堂的前提與基礎(chǔ).如生8給出的羅爾定理就是筆者分層教學(xué)指導(dǎo)的結(jié)果.如教師對(duì)高等數(shù)學(xué)的理解程度決定著教學(xué)的高度、深度與廣度，如羅爾定理的幾何意義、閉區(qū)間套定理的極限逼近思想、洛比達(dá)法則等.數(shù)學(xué)教育學(xué)家張奠宙先生說(shuō)：“在日常的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)、方法去解釋和理解中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的例子很多，重要的是，作為一名數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具有這樣的思維意識(shí).”

盡管教學(xué)理念得以發(fā)芽生根，局部探究得以實(shí)現(xiàn).但必須提及的是，案例問(wèn)題的初步思考是在課下進(jìn)行的，課堂探究方式方法也不成熟，課堂優(yōu)質(zhì)高效尚未完全落實(shí).教學(xué)是科學(xué)，也是藝術(shù).教學(xué)技能反映著教學(xué)作為科學(xué)的一面，而教學(xué)智慧則展現(xiàn)著教學(xué)作為藝術(shù)的一面.因此，高效的課堂既需要教師專(zhuān)業(yè)化的行動(dòng)策略，也需要教師個(gè)性化的教育智慧.

本文的撰寫(xiě)，得到天津師范大學(xué)津沽學(xué)院劉偉老師、江蘇省睢寧縣古邳中學(xué)苗勇老師的幫助，筆者在此表示衷心的感謝！

1.王光明．重視數(shù)學(xué)教學(xué)效率提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量——“數(shù)學(xué)教學(xué)效率論”課題簡(jiǎn)介［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005（8）.

2.【美】康斯坦絲·瑞德（ConstanceReid），著．希爾伯特——數(shù)學(xué)世界的亞歷山大［M］．袁向東，李文林，譯．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2006．

3．渠東劍.三談啟發(fā)思維重于誘導(dǎo)結(jié)果［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（4）.

5.蘇鴻，主編.高效課堂［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2013.

6.孫維剛.如何讓學(xué)生聰明起來(lái)［J］.中小學(xué)管理，1999（10）.

7.王鋒，鄭良.關(guān)于數(shù)學(xué)“一題多解”教學(xué)的辯證思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（1）.F